《复变函数与积分变换》§8.1 Laplace变换的概念

第八章拉普拉斯变换§8.1Laplace变换的概念§8.2Laplace变换的性质§8.3Laplace逆变换§8.4应用举例本章内容

本章将从分析Fourier变换的某些不足出发，引出Laplace变换的基本概念，研究其基本性质及Laplace逆变换的求法，最后给出一些应用性的例子，并研究它同Fourier变换的关系．§8.1Laplace变换的概念Fourier变换的限制一1）Fourier变换要求像原函数除了满足Dirichlet条件以外，还要求在上满足绝对可积的条件．2）Fourier变换要求像原函数在整个数轴上有定义．

为了克服上述缺点，人们自然想到对于已知函数加以改造，例如乘以转化为，而是指数衰减函数，同相乘能使之的Fourier变换是存在的．但是，由于像原函数的改变，引起了核函数和积分区域的改变，因而也就产生了一种新的积分变换，称之为Laplace变换．相乘就将其定义域由是单位阶跃函数，同因子，选取得适当，一般说来，

变为绝对可积．这样，只要Fourier变换的限制一设为定义在上一个函数，对于取Fourier变换，可得其中，记Fourier变换的限制一这样，我们就得到一个新的积分变换，它将定义于实数域的信号函数变换成定义在复数域中的函数，习惯上，人们称这种变换为Laplace积分变换．Fourier变换的限制一定义1设函数在时有定义，若广义积分对参变量在某一区域D内收敛，则此广义积分在区域D内定义了称复变函数为函数的Laplace变换，记为一个复变函数Fourier变换的限制一称为的Laplace逆变换，记为和构成了一对Laplace变换对，

称为变换的像原函数．其中称为变换的像函数，而Fourier变换的限制一例1求单位阶跃函数的Laplace变换．解：根据Laplace变换的定义，有Laplace变换的存在性与收敛域二定理1(Laplace变换的存在定理)若函数满足下列条件：1）在的任一有限区间上满足Dirichlet条件；2）存在常数，使得对充分大的实数有成立，的增长速度不超过某一指数函数．时，即当这时，称的增长是指数级的，为它的增长指数．显然，成立，增长指数通常取其中的最小值或下界的最大值．当使上面的不等式成立时，比大的一切值也使上面的不等式Laplace变换的存在性与收敛域二的Laplace变换在右半平面内有以下结论成立广义积分在此半平面内绝对收敛．一定存在，其中，在右半平面内处处解析，且有即(8.1.4)Laplace变换的存在性与收敛域二函数与构成Laplace

变换对，式(8.1.3)成立，即在的连续点处有成立．说明1物理和工程技术中常见的函数大都能满足定理中的两个条件．一个函数的增长是指数级的和函数绝对可积这两个条件相比，两者的条件弱得多．Laplace变换的存在性与收敛域二，这里，这里等函数都不满足Fourier积分定理中绝对可积,例如的条件，但它们都满足Laplace变换存在定理中的条件2)：由于所以充分大以后，有，即，这里由此可见，对于某些问题，Laplace变换的应用更广泛．Laplace变换的存在性与收敛域二说明2我们约定：以后若写，应理解为，即也就是说，今后我们若提到，它的图形应理解为图8-1中的曲线，而不是图8-2中的曲线，这是因为我们在Laplace变换中，讨论的都是单边函数．对其它函数也应作同样的理解．Laplace变换的存在性与收敛域二图8-1图8-2Laplace变换的存在性与收敛域二说明3说明4说明5若点趋于无穷远，且

无限制地增大时，由定理的证明可知．这个结论指出若，则不可能满足定理的条件．定理中的条件仅是充分的，而不是必要的，即若不满足定理中的条件，Laplace变换仍可能存在．这里的像原函数可以是实变复值函数．一些常用函数Laplace的变换三利用Laplace变换的定义来推导一些常用函数的Laplace变换．求指数函数(为任一复常数)的Laplace变换．解：根据Laplace变换的定义，有例2一些常用函数Laplace的变换三解：

其中，为Gamma函数，其定义为(详看本书附录Ⅲ)(取除去所有负整数的一切实数)求幂函数(常数)的Laplace

变换．

例3一些常用函数Laplace的变换三当，

函数的性质有