正余弦函数在常见波形分析中的应用

正余弦函数在常见波形分析中的应用

1传统信号分析方法的运用信号分析的一个基本问题是将复杂信号分解为一系列基本信号的重叠，选择不同的基本函数，并获得不同的分析结果。半个世纪以来，正余频尹函数在无线技术领域得到广泛应用。基于正自变函数的傅立叶变换方法被认为是信号分析的主要工具，在信号分析和信息传输方面发挥着主导作用。随着电子技术的快速发展，尤其是脉冲技术和计算机科学的快速发展，人们发现传统的傅立叶分析远远不够。因此，有必要积极发现适应不同情况的新的分析方法。所使用的基本函数包括radmachi函数、walch函数和最新定义的各种小波函数。在探索和研究新的分析理论和技术方面，桥功能理论也相继提出。由于正交函数在数学上的简单性,传统的信号分析方法一直以正交函数为基础.象正余弦函数一样,方波、三角波、梯形波,虽然也是现代电子学的基本波形,但由于缺乏象正余弦函数一样的正交性,如何把一个任意信号分解为不同频率的电子学常见波形在理论上和技术上一直是一个难题,所以,人们只能利用傅立叶变换把信号从频域变到时域来研究,这就严重地制约了常见电子波形在信号处理和信息传输中的实际应用.借助数论工具,首先把正余弦函数表示为不同频率的常见波形的叠加,并进一步利用泛函分析中双正交函数的概念,找到了把任意信号分解为常见波形的方法,在原则上初步回答了这个问题.文对方波进行了详细的分析.文对一般周期函数进行了分析.本文将以梯形波为研究对象,考虑它的主要性质,回答了如何才能把一个信号表示成梯形波形式等问题.2梯形波系的基本性质定义1函数X(x)、Y(x)、分别称作偶梯形波、奇梯形波:X(x)={2√2π(x+π2)‚√22‚√2π(π2-x)‚-√22‚√2π(x-3π2)‚-π2≤x≤-π4-π4≤x≤π4π4≤x≤34π34π≤x≤54π54π≤x≤32πY(x)={2√2πx‚√22‚2√2π(π-x)‚-√22‚2√2π(x-2π)‚0≤x≤π4π4≤x≤34π34π≤x≤54π54π≤x≤74π74π≤x≤2π梯形波的傅立叶级数表达式为:X(x)=8π2∞∑n=1(-1)n-1√2sin(2n-1)π4(2n-1)2cos(2n-1)x=8π2∞∑n=1A(n)cosnxY(x)=8π2∞∑n=1√2sin(2n-1)π4(2n-1)2sin(2n-1)x=8π2∞∑n=1B(n)sinnx其中:A(n)={(-1)n-1√2sin(π4n)n2,0,n=1,3,5‚⋯n=2,4,6‚⋯B(n)={√2sin(π4n)n2,0,n=1,3,5‚⋯n=2,4,6‚⋯由A(m)A(n)=A(mn),B(m)B(n)=B(mn)知道:A(m),B(m)为完全积性函数.定义2称由8π2‚X(x)‚Y(x)‚X(2x)‚Y(2x)‚⋯⋯‚X(nx)‚Y(nx)⋯⋯组成的函数系为梯形波函数系.下面讨论梯形波系的基本性质:性质1线性无关性,即梯形波系为线性无关的.证明:利用数学归纳法,结论易证,过程从略.性质2完备性首先介绍一个函数,即墨比乌斯函数:μ(d)={1,(-1)r,0,d=1d=p1⋯pr其它p1‚⋯,pr是两两不同的素数墨比乌斯函数有一个十分重要的性质:∑d|nμ(d)={1,0,n=1n=2,3‚⋯利用墨比乌斯函数可以得到如下两个级数:sinx=π28∞∑n=1μ(n)B(n)Y(nx)cosx=π28∞∑n=1μ(n)A(n)X(nx)由于正余弦函数系在L2(-π,π)上是完备的,且能有梯形波系来表示,所以梯形波系也是完备的.性质3非正交性:<X(mx),X(nx)>=2π3A([m,n]2mn)<Y(mx),Y(nx)>=2π3B([m,n]2mn)其中:[m,n]表示m和n的最小公倍数.3fx有梯形波级数首先定义两个函数:gn(x)=π8∑d|nμ(nd)B(nd)sin(dx),n=1,2,⋯hn(x)=π8∑d|nμ(nd)A(nd)cos(dx),n=1,2,⋯结论1对任意的两个自然数m,n,有如下结论:<X(mx),hn(x)>=δmn,<Y(mx),gn(x)>=δmn这里:δmn={1,0,m=nm≠n.结论2梯形波系8π2,X(x),Y(x),X(2x),Y(2x)‚⋯⋯X(nx)‚Y(nx)⋯⋯和函数系π16,h1(x),g1(x),h2(x),g2(x)‚⋯⋯,hn(x),gn(x),⋯⋯是双正交的.结论3若在L2(-π,π)中,f(x)有梯形波级数:f(x)=C0+∞∑n=1[C(n)X(nx)+D(n)Y(nx)](1)则梯形波的系数由以下各式决定:C0=12π∫π-πf(x)dxC(n)=∫π-πf(x)hn(x)dx,D(n)=∫π-πf(x)gn(x)dx并且系数是唯一的.证明由结论2,易知C0=12π∫π-πf(x)dx,C(n)=∫π-πf(x)hn(x)dx,D(n)=∫π-πf(x)gn(x)dx三式均成立.下面证明唯一性:假设f(x)=C′0+∞∑n=1[C′(n)X(nx)+D′(n)Y(nx)](2)由式(1)～(2),得到:0=(C0-C′0)+∞∑n=1[(C(n)-C′(n))X(nx)+(D(n)-D′(n))Y(nx)]对上式两端分别从-π到π积分,得到C0-C′0=0.把X(nx)和Y(nx)代入上式:∞∑n=1[∑d|n(C(d)-C′(d))A(nd)cos(nx)+∑d|n(D(d)-D′(d))B(nd)sin(nx)]=0.则∑d|n(C(d)-C′(d))A(nd)=0,∑d|n(D(d)-D′(d))B(nd)=0.由文知道:C(d)-C′(d)=∑d|n0⋅μ(nd)⋅A(nd)=0,D(d)-D′(d)=∑d|n0⋅μ(nd)⋅B(nd)=0.综合以上结论,得到:C0=C′0,C(d)=C′(d),D(d)=D′(d).所以,f(x)满足唯一性.证毕推论:若f(x)∈L2(-π,π),f(x)的梯形波级数:f(x)=C0+∞∑n=1[C(n)X(nx)+D(n)Y(nx)]若f(x)的傅立叶级数为:f(x)=a0+∞∑n=1[a(n)cosnx+b(n)sinnx]则a0=C0,a(n)