-立体几何中的向量方法(精)讲义

1．两个重要向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有_______个．(2)平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有_____个，它们是共线向量．2．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔______________________________；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔_____________________.(2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔______________________.若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔__________________________.(3)平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝______________；若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔________________________.3．利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则(2)求直线与平面所成的角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).(3)求二面角的大小：(Ⅰ)若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))的夹角(如图①所示)．(Ⅱ)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③)． ② ③2平面法向量的求法设出平面的一个法向量n＝(x，y，z)，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标．注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一．2．利用空间向量求角要注意的问题(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求．(2)空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．例题1．如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1例题2．已知点E，F分别在正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC例题3(2012·辽宁卷)如图，直三棱柱ABC—A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′—MN—C为直二面角，求λ的值．例题4如上右图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F【规律方法】(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．(3)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．【例5】(2013·湖南卷)如右图，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1变式思考(1)(2012·陕西卷)如右图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC—A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(2)(2013·全国大纲卷)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于●一种思想：转化思想，即空间平行与垂直关系，空间角的计算可转化为空间向量的几何运算或坐标运算，实现了“数”与“形”的有机结合．●一个警示：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量的坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．(2013·天津卷)如右图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，A