第三讲线性方程组3

矩阵的“范数”是对向量和矩阵的大小的一种度量,可以看作是是二维和三维向量长度概念的推广。数域:数的集合,对加法、乘法和除法（除数不为零）封闭。线性空间:线性代数中向量空间概念的抽象和推广,定义了元素的加法与乘法。向量空间

§3.5向量和矩阵的范数n维向量的非空集合，对于加法及数乘两种运算封闭。定义一、向量的范数注：定义在n维向量空间上且满足上述条件的任意实的非负函数都是向量的范数。例如：--------(1)--------(2)--------(3)显然由于--------(4)例题求下列向量的各种常用范数解:范数的性质性质1性质2

定义(向量序列收敛)可用向量范数的大小判断向量序列的收敛性。定理证明：定义二、矩阵的范数（用来表示全体n阶矩阵的集合）关于向量范数与矩阵范数的关系，我们有：定义（相容范数）成立，则说上述矩阵范数和向量范数是相容的。

定义（算子范数，也叫从属范数）可以证明它满足矩阵范数的4个条件--------(5)--------(6)--------(7)可以得到从属于1-范数、2-范数、-范数的矩阵范数不难验证其满足定义2的4个条件。称为Frobenius范数,简称F-范数（又称为Schur范数）另外，还有一种常用的矩阵范数，类似向量的2-范数可以验证：tr为矩阵的迹。但它不是算子范数。定义定理证明例题求矩阵A的各种常用范数解:由于特征方程为容易计算计算较复杂;但对矩阵元素的变化比较敏感;性质较好;使用最广泛.不是算子范数较少使用三、方程组的性态和条件数用数值方法解线性方程组时，计算结果有时不准确。原因主要可能在两个方面。1.计算方法设计不合理；2.方程组本身有问题，再好的方法也无济于事。关于第一个原因，我们在前面已经有这方面的例子，例如用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮点数计算）关于第二个原因，请看下例：例4.如下两个方程组例5.如下两个方程组定义即有--------(8)--------(9)--------(10)所以又因为可得(8)和(9)两式相乘,得相对误差上式表明，由常数项产生的误差,最多可将解的相对误差放大倍。如果假设则--------(11)定义同理可推导得显然即任意方阵的条件数不小于1根据范数的不同也有不同的条件数:--------(12)--------(13)根据矩阵范数定义,(10)式和(11)式可表示为-----(14)取范数讨论前面例题中的条件数：例4.例5.

6.2线性方程组的迭代法用直接法解线性方程组时要对系数矩阵不断变换如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大,并且大量占用计算机资源.因此对线性方程组有必要寻找更经济、适用的数值解法，迭代方法就是一种适合这个要求的方法.--------(1)如果能将线性方程组(1)变换为等价形式--------(2)则可以对线性方程组(2),采用以下迭代格式:-----(3)如果其极限存在,则称迭代法收敛,x*就是方程组的解。否则称为发散。即一、简单迭代法(Jacobi迭代法)设线性方程组(1)的一般形式为--------(4)根据上式作迭代过程则(4)式转化为矩阵形式--(5)令A的下三角部分的负矩阵A的上三角部分的负矩阵则有故迭代过程(5)化为等价线性方程组为简单迭代法的更一般形式可以采用如下方法得到------(6)称(6)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法。取迭代格式例题用Jacobi迭代法求解方程组,运算保留4位小数解:

x1=2.50003.00003.0000x2=2.87502.36361.0000x3=2.13642.04550.9716x4=3.02411.94780.9205x5=3.00031.98401.0010x6=2.99382.00001.0038x7=2.99902.00261.0031x8=3.00022.00060.9998x9=3.00031.99990.9997x10=3.00001.99990.9999x11=3.00002.00001.0000x12=3.00002.00001.0000迭代结果如下：方程组的解为二、迭代法收敛的条件若将迭代格式改写为如下形式或迭代格式（*）何时收敛，若收敛又收敛到何处？考察如下式子，具体地，我们可给出如下结论进一步分析Jacobi迭代法的迭代过程,三、Gauss-Seidel迭代法构造下列迭代格式或称上式为高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代格式。Gauss-Seidel迭代法收敛的条件：前面的三个充分条件依然成立。迭代过程的终止：则上式的Gauss-Seidel

迭代格式为：--------(7)例题用Gauss-Seidel迭代法求解例1.解:x1=2.50002.09091.2273x2=2.97732.02891.0041x3=3.00981.99680.9959x4=2.99981.99971.0002x5=2.99982.00011.0001x6=3.00002.00001.0000x7=3.00002.00001.0000通过迭代,至第7步得到满足精度的解x7从例1和例2可以看出,Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法要快。四、严格对角占优矩阵的Jacobi和G-S迭代法则称A为严格对角占优矩阵。占优矩阵，则一定存在收敛的Jacobi和G-S迭代格式。易见，例6.构造下列方程组收敛的雅可比和高斯—赛得尔迭代格式。解：由于系数矩阵是严格对角占优矩阵，所以直接分离变量：所以，收敛的雅可比迭代格式为：收敛的高斯—赛得尔迭代格式为：例7.写出下列