浙江省杭州市市育新中学高三数学文上学期期末试卷含解析

浙江省杭州市市育新中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，,，在边上，且,则A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知函数，若对任意都有成立，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：试题分析：因为对任意都有成立所以的最小值为因为函数所以因为所以方程在范围内只有一根所以所以设所以在单调递增，在单调递减所以即故答案选考点：函数的恒成立；构造函数.【名师点睛】本题函数的定义域为，且由题目条件任意都有成立，可以确定的最小值为，继而得知为函数的一个极小值点，可得的关系式，所以本题即可转化为求的最大值或最小值问题.3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里（）A．156里 B．84里 C．66里 D．42里参考答案：D【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{an}，其中q=，S6=378．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{an}，其中q=，S6=378．则=378，解得a1=192．后3天一共走了a4+a5+a6==192××=42．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.任取k∈[-1，1],直线L:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M、N两点，则∣MN∣≥

的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：A圆的圆心坐标为，则，解得，，于是有，故

选A．5.已知向量，，.若，则实数k的值为（

）A．－8

B．－6

C．－1

D．6参考答案：B6.数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{bn}满足bn=1+a1+a2+…+an（n=1，2，…），数列{cn}满足cn=2+b1+b2+…+bn（n=1，2，…）．若{cn}为等比数列，则a+q=（）A． B．3 C． D．6参考答案：B【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意求得数列{bn}的通项公式，代入即可求得数列{cn}的通项公式，根据等比数列通项公式的性质，即可求得a和q的值，求得a+q的值．【解答】解：数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，an=aqn﹣1，则bn=1+a1+a2+…+an=1+=1+﹣，则cn=2+b1+b2+…+bn=2+（1+）n﹣×=2﹣+n+，要使{cn}为等比数列，则，解得：，∴a+q=3，故选B．7.设函数若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(

)A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，+∞)C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(1，+∞)参考答案：D分析：由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．详解：由题意或?或?或.故选D.点睛：本题主要考查的是解分段函数不等式，做此类题根据变量的不同取值范围进行讨论，代入相应的解析式求解.8.正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=1，BF=，将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P—DEF的体积是(A)

(B)(D)

(D)参考答案：B略9.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A． B． C． D．参考答案：D两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．

10.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=

E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A

2

B

C

D

1

参考答案：D连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线

与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在直角梯形ABCD中，。动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设,则的取值范围是__________________.参考答案：略12.有下列五个命题：

.①为等比数列，是其前n项和，则成等比数列；②在同一坐标系中，当时，与的图象有且只有一个交点；③在一个四面体中，四个面有可能全是直角三角形；④则,；⑤当m>n>0时，的最小值为4.其中直命题是_______（填出所有真命题的编号）.参考答案：②③⑤略13.若，，，则的取值范围是

．参考答案：(－∞,0]由题意，，则，由，则，即函数f(x)在上单调递增，则恒有，所以，又，所以，即，从而问题可得解.

14.已知，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=_______。参考答案：略15.定义：表示大于或等于的最小整数（是实数）．若函数，则函数的值域为____.参考答案：16.在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于的概率为．参考答案：考点： 几何概型；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题： 概率与统计．分析： 设DE是△ABC平行于BC的中位线，可得当P点位于△ABC内部的线段DE上方时，能使△PAB的面积大于，因此所求的概率等于△ADE的面积与△ABC的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．解答： 解：分别取AB、AC中点D、E，连接DE∵DE是△ABC的中位线，∴DE上一点到BC的距离等于A到BC距离的一半设A到BC的距离为h，则当动点P位于线段DE上时，△PAB的面积S=BC?h=S△ABC=S因此，当点P位于△ABC内部，且位于线段DE上方时，△PAB的面积大于．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S△ADE：S△ABC=由此可得△PAB的面积大于的概率为P==．故答案为：．点评： 本题给出三角形ABC内部一点P，求三角形PBC面积大于或等于三角形ABC面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．17.正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为．参考答案：：1【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】作图分析．【解答】解：如图：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S=6a2；正四面体的边长为则其表面积为4?sin60°=2a2；则面积比为6a2：2a2=：1．故答案为：：1．【点评】考查了学生的空间想象力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？参考答案：(1)由题意得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即x2－500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多调整出500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工创造的年总利润为10(1000－x)万元，则10x≤10(1000－x)，所以ax－≤1000＋2x－x－x2，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立，因为＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝500时等号成立．所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范围为(0,5]．19.不等式选讲

设函数f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－4｜．

（I）解不等式f（x）>2；

（II）求函数y＝f（x）的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）令，作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．20.某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．参考答案：【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．【分析】（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．【解答】解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y在上单调递增；当时，y'＜0，此时y在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．21.（本题满分14分）已知数列满足，数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数的值.参考答案：（1）证明：由得，则。代入中，得，即得。所以数列是等差数列。………………6分（2）解：因为数列是首项为，公差为等差数列，则，则。………………8分从而有，故。…………11分则，由，得。即，得。故满足不等式的所有正整数的值为2，3，4。………………14分22.已知椭圆过点，其焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图（1）

图（2)

参考答案：(1)（2），直线MN始终与圆相切.解析：（1）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：