概率论与数理统计：随机向量及其分布

概率论与数理统计概率论与数理统计概率论部分

2第三章随机向量及其分布§1二维随机向量2.二维r.v.(联合)分布函数:

3若将(ξ,η)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(ξ,η)落在阴影部分的概率(如图1)图1图243.分布函数的性质(1)F(x,y)关于x和y都是不减函数;F(-,y)=0,F(+,y)=?.F(x,-

)=0,F(x,+

)=?F(-

,-

)=0,F(+,+)=1(3)F(x,y)关于x右连续,关于y右连续.(2)0≤F(x,y)≤1;54.二维离散型和连续型r.v.

(一)二维离散型r.v.6例1.设r.v.ξ在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.η则在1~ξ中等可能地取一整数,试求(ξ,η)的分布律和分布函数.作业：3.17(二)二维连续型r.v.8二维连续型r.v.(ξ,η)落在平面G上概率,就等于密度函数f(x,y)在G上的积分,这就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了.注9作业：3.2(1),(2),(4)10§2.边缘分布

一、边缘分布函数：11二、边缘分布律：12例1(续)

η1234p•j

11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16

pi•ξ13三、边缘概率密度:14作业：3.2(3),3.4(1)15§3.条件分布

一、二维离散型r.v.的情况:16

17例1.设(ξ,η)的分布律为:

ξ5713182010.080.0100.020.1420.110.100.090.010.0430.030.070.150.060.09求在ξ=2时η的条件分布律.η例2一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0<p<1),射击到击中目标两次为止,设以ξ表示首次击中目标进行的射击次数,以η表示总共进行的射击次数,试求ξ和η的联合分布律和条件分布律.18二、二维连续型r.v.1920例4.设数ξ在区间(0,1)上随机地取值,当观察到ξ

=x(0<x<1)时,数η在区间(x,1)上随机地取值,求η的概率密度.作业：3.2(5)(6),3.4(2),3.621求边缘分布和条件分布。22注:由二维随机变量(ξ,η)的联合分布可唯一地确定ξ和η的边缘分布；

反之,若已知ξ,η的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布.23§4.多维随机变量242.离散型多维随机向量25多项分布26273.连续型多维随机向量282930(2)多维正态分布31特例:32§5.相互独立的随机变量

1.定义:(1)当n个随机变量相互独立时,由每个随机变量的边缘分布函数可唯一地确定联合分布函数.注(2)当n个随机变量相互独立时,条件分布化为无条件分布.即:(3)本质推广332.等价定义:★.对于离散型随机变量:★.对于连续型随机变量:343.命题：设(ξ,η)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是r=0.作业：3.5,3.8354.随机向量的独立性注每个随机向量的各分量之间未必相互独立365.进一步的结论:37(一)对于离散型r.v.的函数的分布:设ξ1,ξ2是离散型r.v.且相互独立,其分布律分别为:P{ξ1=i}=pi,i=0,1,2,3,…,P{ξ2=j}=qj,j=0,1,2,3,…,求η

=ξ1+ξ2的分布律.为η=ξ1+ξ2的分布律.结论§6.随机向量的函数的分布一.和(η=ξ1+ξ2)的分布:38例设ξ1,ξ2是相互独立的r.v.,分别服从参数为

1,2的泊松分布,试求(1)η=ξ1

+ξ2的分布律.(2)ξ1

关于η的条件分布律.39(二)连续型随机变量和的分布:已知(ξ1,ξ2)的联合密度是f(x,y),求η=ξ1+ξ2的密度.结论40例1.设ξ1和ξ2相互独立,且都服从N(0,1),求:η=ξ1+ξ2的分布密度.结论:41例2.设ξ1和ξ2相互独立,分别在(0,1)、(0,2)上服从均匀分布。求:η=ξ1

+ξ2的分布密度.作业：3.11(1)42二.商(积)的分布43(四)利用“分布函数法”导出两r.v.的和,商等的分布函数或密度函数的公式,其要点为:注意方法44三.最大（小）随机变量的分布45推广46作业：3.1347例3.(书P51)48四.随机向量的变换定理:4950以n=2为例作讨论：对应的函数方程组为：51(1)有唯一的反函数满足：52推广：若方程组53作业：3.17(1),3.1954第三章习题课一.主要内容：(1)二维r.v.的分布函数,离散型r.v.的联合分布,连续型r.v.的联合概率密度.(2)边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.(3)条件分布律;条件概率密度.(4)随机变量的相互独立.(5)两个r.v.函数的分布.二.课堂练习：551.设某人从1,2,3,4四个数中依次取出两个数,记X为第一次所取出的数,Y为第二次所取出的数,若第一次取后不放回,求X和Y的联合分布律.565.设离散型随机变量X与Y的分布列分别为X0