湖南省娄底市锁石实验中学2022年高三数学文测试题含解析

湖南省娄底市锁石实验中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线（a＞0，b＞0）过点P（4，2），且它的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=相切，则该双曲线的方程为（）A．

B．C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线过点P（4，2），且它的渐近线与圆相切，建立方程，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：由题意，，∴a=2，b=2，∴双曲线的方程为=1，故选A．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，直线与圆相切的条件，以及点到直线的距离公式，考查方程思想，化简、计算能力．2.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015P(K2k)0.100.050.025k2.7063.8415.024

附：

参照附表，得到的正确结论是 （）

A．在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”参考答案：C3.函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，+∞）参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合．【分析】分别画出对数函数lnx和函数的图象其交点就是零点．【解答】解：根据题意如图：当x=2时，ln2＜lne=1，当x=3时，ln3=ln＞=ln=，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．【点评】此题利用数形结合进行求解，主要考查了函数的零点与方程根的关系，是一道好题．4.已知，则的最小值为（

）A.10 B.9 C.8 D.7参考答案：C【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】，且，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，涉及的妙用，考查计算能力，属于中等题.5.在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是

A．

B．

C．

D．参考答案：A过做底面于O,连结,

则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.6.点P的底边长为，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则

取值范围是

（

）

A．[0，2]

B．[0，3]

C．[0，4]

D．[—2，2]参考答案：C略7.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为 （A）或（B）或（C）1或（D）或参考答案：D略8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面直角三角形的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，底面ABCD是正方形．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，底面ABCD是正方形．则此图中含有4个直角三角形（除了底面正方形）．故选：C．9.已知函数的导函数为，且满足，则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围（

）A． B． C．(－∞,－2] D．(－∞,－3]参考答案：D题意即为对恒成立，即对恒成立，从而求，的最小值，而，故，即．当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中，的系数是__________．（用数字填写答案）参考答案：通项公式，令，解得，∴系数为．12.(文)已知向量和向量的夹角为，，则和的数量积=

参考答案：313.若实数满足不等式组则的最小值是

．参考答案：14.已知平面，，直线，，给出下列命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．参考答案：③④对于①，若，，，则或，相交，∴该命题是假命题；对于②，若，，，则，可能平行、相交、异面，∴该命题是假命题；对于③④可以证明是真命题．故答案为③④．15.若公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，则{an}的前7项和为

．参考答案：1【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求出首项，再由等比数列的前n项和公式能求出数列的前7项和．【解答】解：∵公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，∴，解得，∴{an}的前7项和为S7=?=1．故答案为：1．16.执行如图所示的程序框图，输出的i=

．参考答案：4【考点】EF：程序框图．【分析】计算每次循环的结果，与判断框条件比较，即可得到结论．【解答】解：第一次循环，S=，i=2；第二次循环，S=，i=3；第三次循环，S=，i=4；此时＞不成立，退出循环，输出i=4．故答案为：4．17.已知命题.若命题p是假命题，则实数的取值范围是

.参考答案：因为命题为假命题，所以。当时，，所以不成立。当时，要使不等式恒成立，则有，即，所以，所以，即实数的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}中，a3＝1，a1＋a2＋…＋an＝an＋1(n＝1,2,3，…)．(1)求a1，a2；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)设bn＝log2Sn，存在数列{cn}使得cn·bn＋3·bn＋4＝1，试求数列{cn}的前n项和．参考答案：(1)∵a1＝a2，a1＋a2＝a3，∴2a1＝a3＝1，∴a1＝，a2＝．(2)∵Sn＝an＋1＝Sn＋1－Sn，∴2Sn＝Sn＋1，＝2，∴{Sn}是首项为S1＝a1＝，公比为2的等比数列．∴Sn＝·2n－1＝2n－2.(3)∵bn＝log2Sn，Sn＝2n－2，∴bn＝n－2，bn＋3＝n＋1，bn＋4＝n＋2，∴cn·(n＋1)(n＋2)＝1，cn＝＝－．∴c1＋c2＋…＋cn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝．19.已知函数的导函数。求函数的最小值和相应的x值。若，求。参考答案：（1）∵f（x）=sin（x-）=sinx-cosx

∴f′（x）=cosx+sinx

∵F（x）=[f′（x）]2-f（x）f′（x），

∴F（x）=（cosx+sinx）2-（cosx+sinx）（sinx-cosx）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，

其最小值为1-，此时x=kπ-，k∈Z，

（2）∵f（x）=2f′（x），∴cosx+sinx=2（cosx-sinx），∴tanx=∴===略20.（本小题满分14分）已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，)，x∈[0，π].（1）若a∥b，求x的值；（2）记f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

参考答案：解：（1）因为，，a∥b，所以.若，则，与矛盾，故.于是.又，所以.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.

21.(本小题满分14分）如图，离心率为的椭圆（）与直线：相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若是圆的直径，为椭圆上的动点，过作圆的两条切线，分别交直线于点、，求当取得最小值时点的横坐标．参考答案：（Ⅰ）由题：，又，∴，从而∴

椭圆的方程为．

………….4分（Ⅱ）易知圆的方程为．∵，∴切线、的斜率均存在，设为、，

则直线：，由其与圆相切得：，

…………6分化简得：

同理：

∴

、是关于的方程的两个根

恒成立．

，，

…………….9分，

，，，，∴

…………….12分，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得最小值，即取得最小值．

……….14分22.已知递增等比数列的前n项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且的前项和．求证：参考答案：（1）．（2）见解析．试题分析：（1）设公比为q，由题意：q>1,