大学物理第五版第五章静电场马文蔚详解

第五章静电场

5-1电荷的量子化

电荷守恒定律闪电避雷针引言电磁现象是自然界中极为普遍的自然现象。

公元前600年古希腊哲学家泰利斯就知道一块琥珀用木头摩擦之后会吸引草屑等轻小物体

春秋战国时期

《韩非子》和《吕氏春秋》都有天然磁石（Fe3O4）的记载1785年库仑定律提出，电磁学进入科学行列

1820年奥斯特发现电流的磁效应（电产生磁）

1831年法拉第发现电磁感应现象

（磁产生电）1865年麦克斯韦建立了以麦克斯韦方程组为基础的完整的电磁场理论1887年赫兹利用振荡器在室验上证实了电磁波的存在

1905年爱因斯坦创立了相对论，解决了经典力学时空观与电磁现象新的实验事实的矛盾

电磁场是一个统一的整体,电磁学的研究在现代物理学中也具有相当重要的地位。奥斯特赫兹麦克斯韦法拉第洛仑兹富兰克林欧姆爱迪生库仑安培1.静电场力的性质：库仑定律、电场强度、电场散度2.静电场能的性质：静电场作功、电势能、电场能量电磁学静电学静磁学电磁学真空、金属中静电荷与静电场介质中的静电荷与静电场稳恒电势差与稳恒电场静电荷产生的静电场磁场对电荷与电流的作用磁现象的电本质磁场的性质散度与旋度磁产生电电产生磁电磁场的散度与旋度麦克斯韦方程组内容结构

电磁学和力学的主要区别力学电磁学研究对象实物场已知某些量的分布状态参量问题特点已知某些量数学工具微积分应用少微积分应用多求其他量求其他量的分布矢量分析少矢量分析多一电磁学的研究对象电磁学研究物质间电磁相互作用及其运动规律的科学二电磁场的研究方法1.“实物物质”的研究方法实物：由原子、分子等微观粒子构成的物质形态场物质：通常将弥漫于空间、不是由原子、分子等微观粒子构成的物质形态，称为“场”从物理角度，场是一种弥漫于空间的物质形态，它是相对于“实物”的物质形态而言的从数学角度上，场是某一物理量的某种时空分布“实物”的研究方法研究实物物质间相互作用的力的性质研究实物物质间相互作用的能的性质2.“场物质”的研究方法(1).力的本质作用力的本质：力的相互作用是由力的传播子来实现的(2).研究场的基本方法标量场：场量只与空间和时间参量有关，与方向无关矢量场：场量不仅与空间和时间参量有关，而且与方向有关爱因斯坦说过：“我们有两种存在，实物和场，场是物理学中出现的新概念，是自牛顿时代以来最重要的发现。用来描述物理现象最重要的不是带电体，也不是粒子，而是在带电体之间空间的场，这需要用很大的科学想象力才能理解”。标量场，如温度场、密度场。矢量场，如速度场，更重要的如引力场、电磁场、核力场等等。

基本属性：不是由分子、原子等实物粒子组成；具有迭代性、波动性、弥漫性和物质性；一、电荷及其性质正负性:

等量的正、负电荷相遇后，对外不再呈现电性，这种现象称为电中和

两种电荷：正电荷和负电荷同性相斥，异性相吸.基本电荷电子是自然界中具有最小电荷的粒子电荷量只能取分立的、不连续量值的性质，称为电荷的量子化。

Q=Ne

N=±1、2、3…夸克带分数电荷2.量子性在孤立系统中,电荷的代数和保持不变.称为电荷守恒定律2）电荷可以成对产生或湮灭，但代数和不变1）自然界的基本守恒定律之一

-e+e

-e+e

3.守恒性4.相对论不变性一个电荷的电量与它的运动状态无关，运动粒子的电量不随速度的变化而变化。在不同的参考系观察，同一带电粒子的电量保持不变．电磁能的特点和优势：电磁能转换相对容易电磁能便于远距离传输电磁能传输速度快电磁测量灵敏度高，可靠性好电容器最基本的工作原理是充放电，电容器充电后两极板间的电荷作用力大小和方向？它们之间的作用力怎么实现？第五章静电场

5-2库仑定律

法国库仑（C.A.Coulomb）1785~1789年用扭称测量静电力和磁力，导出著名的库仑定律。库仑定律使电磁学的研究从定性进入定量阶段，是电磁学上一个重要的里程碑。点电荷

带电体的大小、形状可以忽略

把带电体视为一个带电的几何点(一种理想模型)库伦定律(1785)

在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个点电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。电荷q1对q2的作用力F21电荷q2对q1的作用力F12

为真空电容率库仑定律的有理化形式：

令大小：矢量式：

真空中讨论

点电荷代数量

实验定律

自然界的重要相互作用力库仑力的叠加点电荷对的作用力由力的叠加原理得所受合力

在氢原子内,电子和质子的间距为

.求它们之间库仑力和万有引力,并比较它们的大小.（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）例解第五章静电场

5-3电场强度人与人相互作用力：电荷与电荷之间的作用力怎么实现？一静电场电荷电场电荷物质实物场电场的两条基本性质：力的性质能的性质——放入电场的电荷要受到电场力的作用——电荷在电场运动时，电场力对电荷要作功——引入电场强度E——引入电势U二电场强度1试验电荷场源电荷试验电荷描述场中各点电场的强弱变化的物理量——电场强度（1）（正）点电荷——可以准确的测量电场的分布（2）电量足够小——不显著地影响电场的分布把试验电荷放到电场中任意场点，测量受力情况，试验表明：与试验电荷无关（2）比值（1）受力与位置（场点）有关定义电场强度：电场中某点处的电场强度等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受力方向。单位:讨论:定义电场强度后，点电荷（q）处于外场中时受电场作用力：静电场为矢量场：

和试验电荷无关三点电荷电场强度P四电场强度叠加原理点电荷系的电场电荷连续分布的电场电荷体密度

+电荷连续分布的电场电荷面密度

+电荷连续分布的电场电荷线密度

五电场强度的计算电偶极矩(电矩)+-电偶极子的电场强度

电偶极子如研究人体生物电——心电时，心肌细胞等也可看作电偶极子模型。无极分子：如He、N2、CH4等的位移极化；有极分子，如HCl、CO、H2S等取向极化；束缚电荷：在物体内不能移动且不能用传导的方法移走的电荷；电介质极化：在外电场作用下各向同性均匀的电介质表面（垂直于外电场方向的端面）出现束缚电荷的现象。这些都可看作电偶极子模型来分析。（1）轴线延长线上一点的电场强度..+-..+-（2）轴线中垂线上一点的电场强度.-+解：例长为L

的均匀带电直杆，电荷线密度为

，求它在其延长上P点的电场强度。（P点到杆的中心距离为a

）aPxOdqaPxyO它在空间一点P产生的电场强度。（P点到杆的垂直距离为

a

）解dqr

统一积分变量：

2

1例长为L

的均匀带电直杆，电荷线密度为

求无限长直导线讨论aPxyOdqr

2

1P点位于中垂线时由对称性有解

例

正电荷均匀分布在半径为的圆环上.计算在环的轴线上任一点的电场强度.讨论（1）（点电荷电场强度）（2）（3）

例

有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为

.

求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度.

解rdr讨论

已知带电系统的电荷分布时，根据电场强度的定义求电场中任一点P的电场强度，其方法和步骤是：应用点电荷电场强度的计算公式，在选定的坐标系中写出某一电荷元dq在P点电场强度；根据给定的电荷分布，恰当的选择电荷元和坐标系；再应用电场强度叠加原理将每个电荷元产生的电场强度相加，即可得到该点的电场强度；注意：要把向各坐标轴上投影，化矢量相加或矢量积分为标量相加或标量积分，同时还要重视对称性的分析，这样可省略一些不必要的计算；补1.线电荷密度为的无限长均匀带电线弯成图中形状，其中半径为R,O为圆心，求O点的场强。(补2.设电荷Q均匀分布在半径为R的球面上，求球外任一点的场强（要求用场强迭加法计算）。AB为圆周，﹢﹢﹢﹢﹢﹢﹢﹢●第五章静电场

5-4电场强度通量

高斯定理描述电场的两种方法：电力线和电通量。一、电场线（1）曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致（2）电场线密度PQdS为形象描述电场分布情况,用一些假想的有方向的曲线——电场线代表场强度的大小和方向。规定:

疏密表示电场强度的大小

正点电荷与负点电荷的电场线

一对等量异号点电荷的电场线

一对不等量异号点电荷的电场线

带电平行板电容器的电场线

一对等量正点电荷的电场线典型电场的电场线分布图形+正点电荷与负点电荷的电场线-一对等量正点电荷的电场线++-+一对等量异号点电荷的电场线一对不等量异号点电荷的电场线-q2q+++++++++++++-------------

带电平行板电容器的电场线平板电容器极板间电场强度？电场线能直观形象地描述电场中各点的电场大小和方向。（在定性地分析问题时利用电场线非常简单）。电场线越密的地方，电场强度越大；反之，越稀的地方，电场强度越小。说明：电场线是为了形象地描述电场而引入的,并不是真实存在的曲线,也不是带电粒子在电场中的运动轨迹。几种典型带电系统的电场线对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。电场线的性质：电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，没有电荷处不中断；两条电场线不会相交，不能相切。通过电场中任意一给定面的电力线总条数，即为通过该面的电通量匀强电场通过面积元的电通量为通过面积元的电通量为——面元的法向单位矢量二、电通量把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场对整个曲面积分，即得：E非匀强电场通过任意曲面的电通量

1.的正、负取决于面元的法线方向与电场强度方向的关系如图所示：若面元法向相反：

2.通过闭合曲面的电通量规定闭合曲面法线方向向外为正！S讨论

例

三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中.求通过此三棱柱体的电场强度通量.解S1S2S1S2三、高斯定理

高斯(K.F.Gauss)是德国物理学家和数学家，他在理论物理和实验物理以及数学方面均有杰出的贡献。他导出的高斯定理表述了电场中通过任一闭合曲面的电通量与该曲面所包围的源电荷之间的定量关系，是静电场的一条基本定理，也是电磁场理论的基本规律之一。

(1777

1855）真空中的高斯定理：

在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/

o倍。验证高斯定理：1.点电荷在球形高斯面的圆心处+dSE球面场强：2.点电荷在任意形状的高斯面内3.电荷q在闭合曲面以外S1S2S穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲面S的电通量必然为q/

0，即由于从q发出的电场线，凡是穿入S面的，必定又从S面穿出，所以穿过S面的电场线净条数必定等于零，曲面S的电通量必定等于零。

4.任意电荷系的静电场真空中的高斯定理：

在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/

o倍。高斯面与电荷量，电荷的分布有关与闭合面内的电量有关,与电荷的分布无关(2)库仑定律只适用于静电场，而高斯定理适用于迅变电磁场，因此高斯定理源于库仑定律高于库仑定律。

(3)

净电荷就是电荷的代数和

(1)高斯定理是静电场的基本定理之一，揭示了场和场源的内在联系．它从一个侧面反映了静电场是有源场。说明四、高斯定理的应用高斯定理从理论上阐明了电场与电荷的关系，并且在源电荷分布具有高对称性的条件下，提供了根据源电荷分布来计算场强的方法。当然，反过来也可由场强的分布来确定源电荷的分布。利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路分析电荷对称性；

根据对称性取高斯面；根据高斯定理求电场强度。dq2dq1均匀带电球面内外的电场(设半径为R,带电量q)解：分析电场球对称性如图：（1）选r

>R

的高斯球面S1根据高斯定理OP1的方向：沿半径的方向。（2）选r<R

的高斯球面S2★

结论：均匀带电球面的场强(1)球面外的场强

=电量集中于球心处的点电荷的场强；(2)球面内的场强处处为0。Oq解：2.均匀带电球体内外的电场(设半径R,带电量

q

)

(1)球体外(

r>R

)(2)球体内

(

r<

R

)电荷体密度★

结论：均匀带电球体的场强(1)球体外的场强

=电量集中于球心处的点电荷的场强；(2)球体内的场强，球心处。≥≥≥≤≤≤≤3.“无限长”均匀带电直线的电场(电荷线密度λ)解:分析:电场分布为柱对称，选高为，半径为的闭合圆柱面为高斯面。★

结论：无限长均匀带电直线的场强方向：垂直带电直线向外；垂直指向带电直线。大小：与电场叠加原理计算的结果相同。４.求无限长均匀带电圆柱面的电场分布解:单位长度圆柱面的带电量为（1）柱面外（2）柱面内★

结论：无限长均匀带电圆柱面的场强（1）圆柱面外的场强（2）圆柱面内的场强处处

=

0

。=把电量集中于轴线上的无限长均匀带电直线的场强；E

r关系曲线REr0思考题：圆柱体内的场强=？解:对称性分析5.无限大均匀带电平面的电场(已知电荷面密度)的方向垂直带电平面向外，S侧S底P距面同远处的大小相同。取长为的圆柱面为高斯面，则：★

结论：无限大均匀带电平面的电场是均匀电场。垂直带电平面向外；垂直指向带电平面。大小：方向：S侧S底P+s无限大带电平面的电场叠加问题

球对称问题选择与带电球体、球面、球壳同心的球面为高斯面待求点应选在高斯面上R

平面对称问题选择与带电平面垂直的圆柱面为高斯面待求点应选在高斯面上

柱面对称问题选择与带电柱面同轴的柱面为高斯面常见应用高斯定理求解的问题高斯定理无法完全确定空间电场分布，只能求解高度对称的电场分布。思考题：利用场强叠加原理，求如下带电体的电场分布1.两平行的无限大带电平板内外的电场；2.带小缺口的细圆环；3.带有空腔的圆柱体O

处；4.带有空腔的球体O

处；5.带圆孔的无限大平板。s1s2raOO’OO’sxR条件：电荷分布具有较高的空间对称性1、分析带电体的电荷分布和电场分布的特点，以便依据其对称特点选取合适的闭合面（高斯面）。应用高斯定律求解电场强度的一般步骤：2、闭合面（高斯面）选取类型：a、面上各点电场强度与面垂直，大小处处相等；b、面上一部分各点电场强度处处相等且与面垂直，另外部分电场强度与面处处平行。第五章静电场

5-6静电场的环路定理

电势能电场中的带电粒子在电场作用下受库仑力而被加速，这在很多领域都有应用。医用放疗器件中使用了电子直线加速世界上最大的直线加速器——斯坦福直线加速器实验室CRT钟——电子经电场加速成为电子束，轰击荧光粉使之发光离子推进器——新型航天推进器离子推进器，又称离子发动机，其原理是先将气体电离，然后用电场力将带电的离子加速后喷出，以其反作用力推动火箭。这是目前已实用化的火箭技术中，最为经济的一种。一、静电场力作功的特点在点电荷q的电场中移动

q0，由a

b点过程中qabq电场力对作的功：—

与路径无关。静电场力作功只与电荷始末位置有关，与路径无关。★

结论：静电场力是保守力。在点电荷系

q1

,q2,…

的电场中移动q0

，电场力作的功：结论：静电场力做功，与路径无关.

连续分布电荷的静电场连续分布电荷是由大量电荷元dq（可视为点电荷）组成的故以上结论同样成立。结论：

试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对q0做的功仅与试探电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。静电场力是保守力，静电场是保守场。二、静电场的环路定理试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，电场力对q0做的功

W=？安培在闭合路径L上任取两点P1、P2，将L分成L1、L2两段P2P1L2L1(L2)(L1)(L1)(L2)即静电场的环路定理

在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环路）恒为零。该定理还可表达为：电场强度的环路等于零。任何力场，只要其场强的环流为零，该力场就叫保守力场或势场。综合静电场高斯定律和环路定理，可知静电场是有源的保守力场，又由于电场线是不闭合的，既形不成旋涡的，所以静电场是无旋场。三、电势能静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值.电场力做正功，电势能减少.静电场是保守场，静电场力是保守力。保守力必有相应的势能，对静电场则为电势能。令

试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值上等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.(1)电势能应属于q0和产生电场的源电荷系统所共有。(3)选电势能零点原则：(2)电荷在某点电势能的值与电势能零点有关,而两点的差值与电势能零点无关实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选无穷远处。无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。说明第五章静电场

5-7电势与q0无关，只与一电势

电势定义

a点电势电势零点的选取：

物理意义：

把单位正电荷从点A移到无限远处时静电场力作的功.

有限带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零.将单位正电荷从A移到B时电场力作的功

电势差

静电场力的功说明（1）电势能的值与电荷q0

有关。它是电场和电荷整个系统共有的，它并不直接描述电场中某一点的性质.

电势与q0无关，只决定于场源的情况以及场中给定的位置。

电势和场强一样是反映电场本身客观性质的物理量。（2）电势是标量。（3）电势只有相对意义，而电势差才有绝对意义。(4)如果场源电荷分布在有限空间，则可选取无穷远处为零电势点。（如果场源电荷分布在无限空间，则只有在选取空间某一确定点为零电势点才有意义。）原子物理中能量单位:电子伏特eV几种常见的电势差（V）生物电10-3普通干电池1.5汽车电源12家用电器110或220

高压输电线已达5.5105闪电108

109点电荷的电势：越低；越远距VqVq,0,0>>越高。越远距VqVq,0,0<<二点电荷电场的电势点电荷的电势是球对称的，对称中心在点电荷处；电势是标量，正负与电荷及电势零点选择有关。三电势的叠加原理点电荷系

在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。dqrP对于电荷元

按电势叠加原理，P点的总电势为

依据电荷分布特点将连续带电体分成许多电荷元，再根据电势叠加原理进行积分计算。对于连续分布电荷计算电势的方法（1）利用电势的定义已知在积分路径上的函数表达式有限大带电体，选无限远处电势为零.（2）利用电势叠加原理解建立如图坐标系，选取电荷元dq均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为

。例圆环轴线上一点的电势求RPOxdqr当x=0

时，即圆环中心O处的电势为：当x＞＞R时，RPOx（另解

）由电荷分布，先求出来电场强度的分布取无穷远处为电势零参考点EOxUxxdqRr

通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线上任意点的电势.半径为R均匀带电球面，所带电量为＋q。例求带电球面产生的电势分布OR＋＋＋＋＋＋＋＋＋Pr解由电荷分布的球对称性，用高斯定理很容易求出电场强度的分布为：(1)球面外:

r>R沿半径方向积分，则P点的电势为由于球内外场强分布不同,积分必须分段进行，即(2)球面内:

r<R★

结论：均匀带电球面电场的电势（1）球面外的电势=

电量集中于球心处的点电荷的电势；（2）球面内是等势区，球面是等势面

。O≥≤求电荷线密度为

的无限长带电直线空间中的电势分布解取无穷远为势能零点？例取a点为电势零点，a点距离直线为xa(场中任意一点P的电势表达式最简捷)XO

P离带电直线的距离xp

axa取发散例.

求两个同心匀带电球面的和的分布。ⅠⅡⅢ已知：内球面：，，外球面：，解：

方法一：先用高斯定理求，再用积分关系求。Ⅰ区：Ⅱ区:ⅠⅡⅢⅢ区：ⅠⅡⅢ讨论：求V可用电势叠加原理

半径为R，带电量为q

的均匀带电球体解根据高斯定律可得：求带电球体的电势分布例++++++RrP对球外一点P：对球内一点P1：++++++RP1

心电知识

心脏的跳动是由心壁肌肉有规律收缩产生的，而这种有规律的吸缩又是电信号在心肌纤维传播的结果。心肌纤维是由大量的心肌细胞所组成，讨论心脏的电学性质就必然从心肌细胞入手。心肌细胞处于静息状态时，在其细胞膜内外分布着等量的负、正离子，形成一均匀的闭合曲面电偶层。（a）、（c）、（e）极化（b）除极（d）复极我们可将心脏等效为一个大的电偶极子，称为心电偶，它在某时刻的电偶极矩就是所有心肌细胞在该时刻的电偶极矩的矢量和，成为瞬时心电向量。心电偶在空间产生的电场称为心电场。心电图导联：通过电极引导体表电势与心电图机相连接的电路。心电图：根据人体表面两点间的电压描绘的一条曲线。第五章静电场

5-8电场强度与电势梯度点电荷的等势面典型等势面:（1）定义：空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面.为了描述空间电势的分布。

一、等势面（电势图示法）电偶极子的等势面+等势面平板电容器电场的等势面+++++++