8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型一：角的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．模型分析证法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．证法二：∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC又∵∠AOD＝∠BOC∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型分析模型分析模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；

解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角，∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．②，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝360°．（四边形内角和为360°）练习：1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝

；

解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180°解法二：（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝

．解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°解法二：2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝

．解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°解法二：

模型二：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．

模型分析解法一：如图①，作射线AD．∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C解法二：如图②，连接BC．∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

.

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=

.模型三：边的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．

模型分析∵OA+OD>AD①，OB+OC>BC②，由①+②得：OA+OD+OB+OC>BC+AD

即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：(1)AB+BC+CD+AD>AC+BD；(2)AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.

证明：(1)∵AB+BC>AC①，CD+AD>AC②，AB+AD>BD③，BC+CD>BD④

由①+②+③+④得：2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).

即AB+BC+CD+AD>AC+BD.(2)∵AD<OA+OD①，BC<OB+OC②，由①+②得：AD+BC<OA+OD+OB+OC．

∴AD+BC<AC+BD.（边的8字模型），同理可证：AB+CD<AC+BD.∴AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型

如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型分析如图，延长BD交AC于点E。∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC，DE+EC>CD，∴BE+EC>BD+CD.②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.如图，点O为三角形内部一点．求证：(1)2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC；(2)AB+BC+AC>AO+BO+CO.

证明：(1)∵OA+OB>AB①，OB+OC>BC②，OC+OA>AC③

由①+②+③得：2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC(2)如图，延长BO交AC于点E，∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC.①∵BE+EC=BO+OE+EC，OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②

由①②可得：AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）

同理可得：AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤

由③+④+⑤得：2(AB+BC+AC)>2(AO+BO+CO).即AB+BC+AC>AO+BO+CO.1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.

证法一：如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。由平移可得AC=BF，∵AC∥BF，∴∠ACE=∠BFD，∵BD=CE∴△AEC≌△FDB，∴DF=AE如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF.∵AB+BG>AG，∴AB+BF>AG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，∵DG+GF>DF，∴AG+GF>AD+DF②，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.∴AB+AC>AD+AE.

证法二：如图②，将AC