《二面角》第一课时示范教学课件人教新课标B版

二面角第一课时新知探究问题1

日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．新知探究如图所示，在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．新知探究问题1

日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？比如，我们在地地理学科上学过的黄赤交角，指的就是黄道平面与赤道平面之间的夹角，大小为23°26′，如图所示．新知探究问题2

“门开大点”“门开小点”说明了什么问题？平面角可以用量角器进行度量，二面角的大小可以用量角器来度量吗？如何确定二面角唯一的测量结果？哪个角能够表示二面角呢？“门开大点”“门开小点”说明了门和墙体所形成的二面角的平面角的大小的变化情况，平面角可以用量角器进行度量，二面角的大小无法用量角器来度量．二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0且不大于90°的角的大小．这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成的角的大小都是唯一确定的．新知探究追问：根据二面角的平面角的定义，你是否能总结出二面角的平面角的定义的三个主要特征？二面角的平面角的定义有三个主要特征：①过棱上任意一点；②分别在两个半平面内作射线；③射线垂直于棱．二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关．新知探究问题3

根据二面角的平面角的定义，你能否总结出如何利用定义法求二面角的平面角的大小？步骤如下：找到或作出所求的二面角的平面角．证明或说明所作图形为所求的二面角的平面角．计算求解．此时一般为解斜三角形，需要用余弦定理及其变式．明确答案．写出所求问题的结论．初步应用例1

如图所示，已知二面角α－l－β的棱上有A，B两点，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AB＝6，AC＝3，BD＝4，CD＝7，求二面角α－l－β的大小．解答：如上图所示，在平面内过A作BD的平行线AE，且使得AE＝BD，连接CE，ED．EABDClαβ因为四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α－l－β的一个平面角，且AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC，从而在△AEC中，由余弦定理可知因此

，即所求的二面角的大小为

．初步应用问题4

如图所示，设S为二面角α－AB－β的半平面α上一点，过点S作半平面β的垂线SS′，设O为棱AB上一点．（1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件；（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？因为S′是S在平面内的射影，所以S′O是SO在平面β内的射影，从而根据三垂线定理及其逆定理可知，SO⊥AB是S′O⊥AB的充要条件；当二面角α－AB－β是一个锐角时，由此我们能得到作出它的平面角的另种方法：过其中一个半平面内一点S，作另一个半平面的垂线段SS′，过S（或S′）作棱的垂线SO（或S′O），连接S′O

（或SO）即可．初步应用问题4

如图所示，设S为二面角α－AB－β的半平面α上一点，过点S作半平面β的垂线SS′，设O为棱AB上一点．（1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件；（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？在图中，如果二面角α－AB－β的大小为θ，则可以看出△S′AB与△SAB在AB边上的高之比为cosθ，因此这两个三角形的面积之比也为cosθ．初步应用要注意以下几个方面该作法只适用二面角α－AB－β为锐角的情形．当二面角α－AB－β为钝角时，要将其中一个半平面延伸，即作出辅助半平面，先求出二面角α－AB－β的补角，再确定二面角α－AB－β的值．当二面角为直二面角时不作探讨．这种作二面角的平面角的依据是三垂线定理及其逆定理．找垂线注意应用已知的条件以及有关垂直的判定和性质定理，按三垂线定理的条件，一条垂线垂直于二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线．初步应用例2

如图所示三棱锥S－ABC中，面SAC⊥面ABC，SA＝SC＝

，AB＝BC＝2，且AB⊥BC，求二面角S－AB－C的大小．解答：设O，E分别为AC，AB的中点，连接SO，OE，SE，因为SA＝SC，所以SO⊥AC，又因为OE为△ABC，因此SE在平面ABC内的射影为OE，ACSBOE又因为面SAC⊥面ABC，所以SO⊥面ABC，又因为OE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥OE，从而由三垂线定理可知AB⊥SE，因此∠SEO为二面角SABC的一个平面角．从而可知∠SEO＝45°，即所求二面角的大小为45°．由AB＝BC＝2且AB⊥BC可知又因为

，而且EO＝

BC＝1，初步应用例2

如图所示三棱锥S－ABC中，面SAC⊥面ABC，SA＝SC＝

，AB＝BC＝2，且AB⊥BC，求二面角S－AB－C的大小．ACSBOE

知∠SEO＝60°，即此时所求的二面角的大小为60°．

初步应用注意（1）画图过程中要充分借助题目中的“等长”条件，构造等腰三角形的底边中点，进而应用等腰三角形的“三线合一”结论；（2）对作出的二面角的平面角要证明是所要求的二面角的平面角；（3）注重推理的逻辑性及格式、步骤的规范与完整．归纳小结问题5

什么是半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角、直二面角？平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．如图所示，在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．作业布置作业：教科书第52页练习A1，2题．1目标检测C解析：易知∠A1BA为二面角A1

－BC－A的平面角，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BC－A的余弦值为（）A．B．C．D．cos∠A1BA2目标检测解析：过A作AO⊥BD，交BD于O，连接PO，已知矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝

，则二面角A－BD－P的正切值为________．O∵矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，∴∠POA是二面角A－BD－P的平面角，PA⊥平面ABCD，且PA＝∴BD＝

＝5，PO⊥BD，∵

×BD×AO＝

×AB×AD，∴AO＝

∴二面角A－BD－P的正切值为

．∴tan∠POA＝

3目标检测解析：

如图取BC的中点为E，连接AE，DE，已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝