流体力学 有旋流动和有势流动

船舶与海洋工程流体力学第五章有旋运动和无旋运动2023最新整理收集do

something第五章有旋运动和无旋运动§5.1有旋运动§5.2旋涡的诱导速度§5.3卡门涡街§5.4有势流动§5.5理想不可压流体恒定平面势流§5.6流网的特征及其绘制§5.7基本的平面势流§5.8势流叠加原理5.1有旋流动

旋涡（vortex,有旋流动）在自然界普遍存在

旋涡（有旋流动）的产生和变化对流体运动有重要的影响空中看鸣门海峡空中看鸣门海峡卫星云图：气旋北半球南半球一.涡量、涡线、涡管、涡通量

涡量涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：涡量的方向：微团的瞬时转动轴涡量场：(x,y,z,t)---速度场的旋度涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：

在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如同在速度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。

一.涡量、涡线、涡管、涡通量

涡线涡线：一条在有涡运动中反映瞬时旋转角速度方向的曲线，即在某同一时刻，处于涡线上的所有各点的流体质点的角转速方向都与该点的切线方向重合。涡线方程：一.涡量、涡线、涡管、涡通量

涡管涡管：在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管涡束：截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。一.涡量、涡线、涡管、涡通量

涡通量和涡管强度涡通量：在流场中取某曲面A，则涡量的面积分称为涡通量。涡管强度：通过涡管任一截面的涡通量称为该涡管的涡管强度。二.速度环量和斯托克斯定理

速度环量速度环量：流场中流速沿任一封闭曲线L的线积分速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，积分时t为参变量。速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述旋涡场。二.速度环量和斯托克斯定理

斯托克斯定理：联系速度环量和涡通量——单连通域内容：沿包围单连通面域的有限封闭曲线的速度环量等于通过此单连通域的涡通量。斯托克斯定理将线积分和面积分联系起来；即将速度环量和旋涡强度（涡通量）联系起来二.速度环量和斯托克斯定理

斯托克斯定理：——双连通域LC二.速度环量和斯托克斯定理

斯托克斯定理：——双连通域LCBE

处理：双连通域－－－转化为单连通域二.速度环量和斯托克斯定理

孤立涡管情况ILAC说明：沿涡管外任一围绕涡管的封闭曲线的速度环量等于该孤立涡管的涡管强度；推广到有多个孤立涡管的情况；三.旋涡随空间的变化规律

涡管强度守恒定理：同一时刻、同一涡管上任一截面的涡通量是相同的，即涡管强度保持不变。证明：于某时刻，任取涡管如图截面A1、A2和侧面A3（涡面）组成封闭曲面A，其体积为VA1A2A3n1

n2n3三.旋涡随空间的变化规律

涡管强度守恒定理：A1A2A3n1

n2n3将A1的外法线n1改为内法线n1’

，使其与n2方向一致，则三.旋涡随空间的变化规律

涡管强度守恒定理：元涡管，截面的法线方向与涡矢量方向一致，并认为为常失，则结论：涡管截面不可能收缩为零，即涡管不能在流体中终止或开始。涡管的存在形式：（1）本身封闭；（2）两端位于边界或无穷远。四.旋涡随时间的变化规律

速度环量的时间变化率xyzoLL’证明过程略四.旋涡随时间的变化规律

开尔文速度速度环量定理定理：理想、正压流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化：证明：00四.旋涡随时间的变化规律

开尔文速度速度环量定理定理：理想、正压流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化：说明：1.影响速度环量随时间变化的三个因素为：质量力是否有势、流体是否正压、流体是否具有粘性；2.旋涡不生不灭定理；3.涡管及涡管强度保持性定理——无粘、正压、体力有势的情况下，某时刻组成涡管的流体质点将永远组成涡管，且涡管强度在运动过程中保持不变。欢迎提问如果您有任何问题，请毫不犹豫地提出!Ifyouhaveanyquestion,DONOThesitatetoaskme!5.2旋涡的诱导速度

上节讨论旋涡本身随时间和空间的变化规律

本节讨论旋涡对周围流场的影响

诱导速度：指孤立的旋涡带动周围不可压流体运动的速度

产生原因：是由于流体的粘性引起的；

理想流体：不会带动周围的流体一起运动；旋涡区流场

实际流体：粘性保证了速度分布的连续性；一.曲线涡的诱导速度—毕奥－萨伐公式

曲线涡

满足：dLONAr则微元段dL对A点的诱导速度为：毕奥－萨伐公式则整个曲线涡对A点的诱导速度为：一.曲线涡的诱导速度—毕奥－萨伐公式

曲线涡

dLONAr

速度大小

速度方向按照右手螺旋法则确定每个微元段的诱导速度的方向

说明曲线涡对本身有诱导速度，故其本身在运动过程中会不断改变形状。二.单个直线涡的诱导速度

ABMRdlr

d

直线涡的诱导速度为：

诱导速度的方向：

垂直纸面向外二.单个直线涡的诱导速度

直线涡的诱导速度为：

ABMRdlr

d

特例1—半无限长直线涡（

1=0,2=/2）：

特例2—无限长直线涡（

1=0,2=）：二.单个直线涡的诱导速度

无限长直线涡-

平面点涡一根无限长直涡线，在与其垂直的平面内诱导的流场为平面流动，因此可以简化为平面点涡。yx二.单个直线涡的诱导速度

平面点涡的诱导速度yxr

说明：（1）平面点涡的诱导速度对本身不起作用；（2）诱导速度场是无旋的；（3）包围点涡的速度环量为

；（4）不包围点涡的速度环量为0；三.一组直线涡的诱导速度

涡系的诱导速度：（1）涡系决定的诱导速度场是每个涡诱导速度场的代数和；（2）每个涡的运动速度等于其它涡对该涡的诱导速度代数和；yxM(x,y)则：则n个直线涡在M点的诱导速度：注意：旋转方向以逆时针为正三.一组直线涡的诱导速度

思考？——某个涡的运动速度？yx答案：每个涡的运动速度等于其它涡对该涡的诱导速度代数和；yxM(x,y)n个点涡对某点M(x,y)的诱导速度n-1个点涡对某点涡的诱导速度三.一组直线涡的诱导速度

思考？——某个涡的运动速度？yx答案：每个涡的运动速度等于其它涡对该涡的诱导速度代数和；n-1个点涡对某点涡的诱导速度三.一组直线涡的诱导速度

补充知识——涡对(n＝2)——热带双台风速度：yx2个点涡——涡对迹线：惯性中心：三.一组直线涡的诱导速度

补充知识——涡对(n＝2)——热带双台风yx2个点涡——涡对迹线：惯性中心：三.一组直线涡的诱导速度

补充知识——涡对(n＝2)——热带双台风藤原效應如果兩個颱風靠近時，它們將繞著相連的軸線成環狀相互作反時鐘方向旋轉，旋轉中心的位置，由兩個颱風的相對質量及颱風環流之強度來決定。旋轉時通常較小的一個走得快些，較大的一個走得慢些，有時亦可能合而為一，日本氣象學家藤原先生最早研究此種雙颱風旋轉現象，故稱此現象為藤原效應。三.一组直线涡的诱导速度

补充知识——涡对(n＝2)——热带双台风双台风效应是指两个台风靠近时，它们将绕着相连的轴线成环状，且互相作逆时针方向旋转，旋转中心与位置依两个台风相对质量及台风环流之强度而定。由于“宝霞”和“桑美”相距仅1000公里左右，专家认为这两个台风可能形成“双台风”效应。

四.自由涡、强迫涡及其组合涡yx

实际旋涡（圆柱涡）必须考虑内部结构（1）假设圆柱涡内部如同刚体以角速度

绕圆心转动；内部速度：内部运动为有旋运动——强迫涡：（2）圆柱涡的外部为圆柱涡的诱导速度场；外部速度场；外部运动为无旋运动——自由涡；（3）兰肯组合涡＝强迫涡＋自由涡；四.自由涡、强迫涡及其组合涡

兰肯组合涡的速度场内部速度与r成正比：外部速度与r成反比；四.自由涡、强迫涡及其组合涡

兰肯组合涡的压强场（1）旋涡外部：外部流动定常且无旋，故可用欧拉积分式确定速度和压力的关系。略去质量力有四.自由涡、强迫涡及其组合涡

兰肯组合涡的压强场（2）旋涡内部：内部流动有旋5.3卡门涡街绕流问题：随着雷诺数的增大边界层首先出现分离，分离点并不断的前移，当雷诺数大到一定程度时，会形成两列几乎稳定的、非对称性的、交替脱落的、旋转方向相反的旋涡，并随主流向下游运动，这就是卡门涡街。5.3卡门涡街塔科马大桥

事故：1940年美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的Tacoma大桥，大桥中央跨距为853米，为悬索桥结构，设计可以抗60m/s的大风，但不幸的是大桥刚建成４个月就在19m/s的风吹拂下整体塌毁。原因：Tacoma大桥遭风塌毁的原因就是气流与大桥的共振所引起的。当风吹过大桥时，气流会在大桥的背风面产生旋涡，而在19m/s风速时旋涡脱落的频率与悬索上桥板的固有频率刚好一致，从而产生了强烈的共振。因此尽管桥塌毁的这天的风并不是很大，但却吹垮了整座大桥。5.4有势流动一.速度势函数

无旋运动存在速度势函数对于无旋流场，处处满足：×u＝0，由矢量分析知，任一标量函数梯度的旋度恒为零，所以速度一定是某个标量函数(x,y,z,t)的梯度，即流场的速度等于势函数的梯度。因此，称为速度势函数，简称速度势；称无旋流动为有势流动，简称势流。一.速度势函数

速度势函数的性质（1）速度势函数

加减一个常数，不影响流速场；一.速度势函数

速度势函数的性质（2）

为常数的曲面为等势面，其法线方向与速度矢量重合，即等势面与速度矢量垂直；dsu一.速度势函数

速度势函数的性质（3）单连域内任两点A,B的速度势之差等于沿两点间任意连线的速度环量；（4）不可压缩流体的速度势函数满足拉普拉斯方程；二.不可压缩流体的流函数

不可压缩流体存在流函数不可压缩流体连续方程：为流函数。二.不可压缩流体的流函数

说明

不可压缩流体必然存在流函数。

流函数和流速的关系：二.不可压缩流体的流函数

流函数的性质（1）流函数加减一个常数，不影响流速场；二.不可压缩流体的流函数

流函数的性质（2）等流函数线为流线；流函数和流速的关系：二.不可压缩流体的流函数

流函数的性质（3）任意两条流线之间的单宽流量等于这两条流线上流函数差；xyoABdsnu则通过ds的单宽流量dq为dsdydx

ncos

sin

其中：于是：二.不可压缩流体的流函数

流函数的性质（4）在有势流动中，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数；流函数和流速的关系：速度和速度势函数关系速度和流函数关系

共轭函数满足柯西—黎曼条件的两个函数称为共轭函数。在恒定平面势流中，流函数和势函数为共轭函数三.复势、复速度

柯西—黎曼条件三.复势、复速度

势函数和流函数的关系（1）等势线与等流函数线处处正交

等流线：斜率：等势线：斜率：斜率之积：三.复势、复速度

势函数和流函数的关系（2）共轭调和函数（势函数和流函数）可以组成复势复势W(z):实部代表势函数，虚部代表流函数说明:

任何一个不可压缩平面势流必然具有一个确定的复势；一个确定的复势则代表一个不可压缩平面势流；三.复势、复速度

势函数和流函数的关系（2）共轭调和函数（势函数和流函数）可以组成复势复速度:速度矢量的复数表示:速度矢量和复速度:三.复势、复速度

复势的主要性质（1）复势W(z)可以相差一个常数，不影响流速场；（2）复速度沿封闭曲线C的积分，其实部为沿封闭曲线的

速度环量，虚部为通过曲线C的流量；5.5理想不可压流体恒定平面势流一.基本方程及边界条件

连续方程--

拉普拉斯方程

运动方程--

欧拉运动方程

边界条件（1）物面；法向速度为0；滑移条件（2）无穷远；（3）自由液面；p=p05.5理想不可压流体恒定平面势流二.求解方法

奇点分布法：势流叠加原理

镜像法

保角变换法

数值计算法：有限差分法，有限元法等5.6流网的特征及其绘制

流网恒定平面势流中，存在两族曲线：流线和等势线，由这两族曲线构成的正交网格，称为流网。一.流网的特征（1）组成流网的等势线与流线是相互垂直的一.流网的特征（2）流网中每一网格的边长ds/dn之比等于j和

的增值之比（dj/d

），若取dj=d

，则流网网格为正方形网格。u

流线间隔为dn，等势线间隔为ds

据势函数的性质：

据流函数的性质：

则：一.流网的特征

流网表明的流动情况，可以求得速度分布与压强分布

速度分布：因流网中，任两相邻流线之间D

相同，亦即网格内流量Dq=常数；（1）已知某点流速求其它点流速；（2）流线间距反映流速的大小（分布）；

压强分布：二.流网的绘制1）固体边界上的运动学条件是垂直于边界的流速分量应为零，液体必然沿固体边界流动，所以固体边界本身是流线之一。等势线与边界正交。2）自由液面处和液面垂直的流速等于零。所以自由液面必是流线。3）根据事先选定的网格比例绘制出流线和等势线。再根据流网特征反复修改，力争使每一个网格都绘制成曲边正方形。课后任务

作业

5.2，5.9（4），5.10（1），5.15

复习所学知识要点；

预习第七节

——几种基本的平面势流§5.7基本的平面势流

均匀等速（直线）流xyou

点源与点汇yx

点涡（势涡）yx一.均匀等速（直线）流

定义流体作等速直线运动，流体中各点速度的大小和方向都相同的流动称为均匀流。xyou

速度场设流速u与x轴成

角

一.均匀等速（直线）流

流函数xyou

势函数注：令过原点o的流线上的

及等势线上的

为零，则c1=c2=0;xyou

复势

流动平行于x轴速度场流函数势函数xyou复势二.平面点源与点汇定义点源（Q>0）：流体从一点均匀地流向各方向；

点汇（Q<0）：流体从各方向均匀地流入一点。xyxy点源点汇二.平面点源与点汇

速度场xy点源仅有径向流速，设沿z轴单位长度上的流量为q（源流强度），则证明：取半径为r的圆周，则过该圆周的流量为：说明：对于点源，q>0;

对于点涡，q<0;二.平面点源与点汇

流函数和势函数极坐标下速度和流函数与势函数的关系二.平面点源与点汇

流函数和势函数流函数势函数xyxy点源点汇二.平面点源与点汇

复势

复速度注意点源速度场流函数势函数点汇注意

复势

源（汇）位于z0三.点涡（势涡）

物理背景一根无限长直涡线，在与其垂直的平面内诱导的流场称为点涡。

yx三.点涡（势涡）

定义流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与半径r成反比的流动。又被称为自由涡。yx

速度场仅有圆周向流速，设沿含涡心的封闭曲线的速度环量为

c三.点涡（势涡）流函数势函数yx复势三.点涡（势涡）复势复速度复速度沿包围奇点的任一条封闭曲线的积分三.点涡（势涡）

势涡特性：1.势涡作圆周运动，为无旋流动——自由涡。yx证明三.点涡（势涡）

势涡特性：2.流速u与半径成反比。yx注意：涡心处的速度为无穷大，为奇点。此处为有旋运动（对实际粘性流体而言）欢迎提问如果您有任何问题，请毫不犹豫地提出!Ifyouhaveanyquestion,DONOThesitatetoaskme!§5.8势流叠加原理

可叠加性：势流具有可叠加性，即简单势流叠加后的流动仍为势流。

复合势流的流函数：

复合势流的势函数：

复合势流的流速分量：

意义：研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。§5.8势流叠加原理一.平面偶极子流＝等强度源＋汇yox＋q－q

hAB

AP(x,y)rArBr

B

点源和点汇的叠加

速度势：

流函数：一.平面偶极子流＝等强度源＋汇

偶极子：

h

0，q满足

m称为偶极子的强度，方向：汇

源一.平面偶极子流＝等强度源＋汇

偶极子的速度势和流函数

速度势：yoxm

P(x,y)r

等势线j＝C:一.平面偶极子流＝等强度源＋汇

偶极子的速度势和流函数

流函数：yoxm

P(x,y)r

流线

＝C:一.平面偶极子流＝等强度源＋汇

偶极子的速度场和复势

速度场：

复势:

说明:绕原点任意封闭曲线的复速度积分为0，即其绕曲线的速度环量与穿过曲线的流量均为0。二.二维钝体绕流＝直线等速流＋点源已知:位于原点的强度为Q（Q＞0）的点源与沿x方向速度为U的均匀流叠加成一平面流场。求：（1）流函数与势函数；（2）速度分布式；（3）流线方程；（4）画出零流线及部分流线图。解：（1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为(a)(b)yxoQU（2）速度分布式为(c)(d)（3）流线方程为(e)（4）画出零流线及部分流线图

求驻点(c)(d)

过驻点流线方程(e)于是过驻点流线方程为过驻点流线过驻点流线方程（1）流线的左半支是负x轴的一部分：θ=π（2）通过驻点A的右半部分零流线

部分流线如图

在无穷远处θ→0和2π，零流线的两支趋于平行。由（g）式两支距x轴的距离分别为三.圆柱绕流＝直线等速流＋偶极子流yxoUm

叠加后的速度势、流函数、复势

速度势：

流函数：

复势：三.圆柱绕流＝直线等速流＋偶极子流

流线

零流线方程：

说明x轴与r=a的圆周为零流线，即叠加后的流场在r>=a的区