函数极限的定义

第三节函数极限的定义2021/5/91一、函数在有限点处的极限

在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.2021/5/92引例设函数尽管函数在点

处没有定义，但当无限趋近于1而不等于1时，相应无限趋近于2.2021/5/93或定义设函数

在点的某个空心邻域中有定义，如果存在常数

，使得对于任意给定的正数

，总存在正数，对于满足的一切

，都有那么常数

就称作函数

当

时的极限，记为2021/5/94函数极限的几何意义对于任意，对满足的一切，都有总存在正数，

2021/5/95例函数注1：函数在点

处的极限与函数在这一点是否有定义、或

为多少毫无关系，它所反映的是在则有该点附近的变化趋势.2021/5/96经过不等式的变形，得到关系注2:函数

在点

的极限的定义说明了如何去证明其中是一个与

无关的常量.再取，则当函数在点

的极限为的方法：对于考虑时，有：2021/5/97此即说明2021/5/98例1证明下列极限⑴

证⑴因⑵所以,,取，当时，可使故2021/5/99⑵因欲使即所以不妨取此时令则当时，有因而2021/5/910例2证明证因所以,,取，当，可使所以2021/5/911例3

证明证

因为能解出不等式，要对

进行适当的控制，为此限定

的变化范围为，此时有所以,,取，当时，可使所以2021/5/912证因例4证明取即所以所以,,取，当时，2021/5/913所以2021/5/914证

因例5设，证明所以,,取，当时，可使所以2021/5/915左右极限考虑函数:是当在该点两侧趋近于

时，函数有一个确定的变化趋势.但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论.前面讨论的是函数在某一点

的极限，它反映的2021/5/916该函数在点

两侧的变化趋势是不同的:当

在0的右侧趋近于0时，当

在0的左侧趋近于0时，这就导出左右极限的概念.2021/5/917那么

称作

在处的左极限，记为左极限定义：若当时，使得那么

称作

在处的右极限，记为右极限定义：若当时，使得或或2021/5/918容易证明：例如：定理极限存在的充分必要条件是在点处的左右极限存在并且相等.即存在均存在，且2021/5/919解因例6说明极限不存在.

所以极限不存在.2021/5/920二、函数在无穷远处的极限定义设函数在

时有定义，为常数.①若，，当时，使得则称为函数

在时的极限，记为或②若，，当时，使得则称为函数

在时的极限，记为或2021/5/921③若，，当时，使得则称为函数

在时的极限，记为或2021/5/922例7证明

证

因所以,,取，当时，使得所以2021/5/923例8证明

证

因只要，即所以,,取，当时，使得所以类似可证

2021/5/924证

因例9证明

所以,,取，当时，使得所以2021/5/925例10证明

所以,,取，当时，使得证

因当时，则有不等式2021/5/926所以2021/5/927三、极限的性质2021/5/928即：在

的某个空心邻域内有界.定理1(局部有界性)如果极限存在，证

设，由定义，对存在当，即有那么在

的某个空心邻域内，函数有界.2021/5/929证

设，由定义，对存在当时，有从而定理(有界性)如果极限存在，那么存在取，则对所有的，有使得对所有的，有2021/5/930定理2(极限的保号性)如果，则存在点的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：证

设，由定义，对存在当时，有2021/5/931定理2’(保号性)如果，则存在正整数当时，有：推论在的某个空心领域中，有且则注意：如果推论的条件改成（严格大于），则不能推出例如时但2021/5/932证设，则当时，定理3(函数极限与数列极限的关系)则此数列相应的函数值数列收敛，且设存在，又设是函数定义域中的一个任意数列，且2021/5/933由条件故对，当时，有