弱空间的内插结果及其应用

弱空间的内插结果及其应用

1内插定理对弱orlcz加入空间的嵌入关系在不久的将来，作为弱宇宙的补充分析和之前的泾算理论的应用，弱宇宙的存在将越来越受到关注。特别是fe弗里曼和索纳讨论了wl1空间。威尔斯研究了弱宇宙空间和弱原子分解。许多关于弱空间的插值结果被获得。首先，刘培德引入了弱或中等空间，并对其进行了比较系统的研究。1968年，caioxob首先介绍了m条件。在这项工作中，我们研究了满足m条件的n-函数生产的弱or中等空间的插值理论。通过弱硬件条件下的弱原子分解，我们证明了该插值原则也适用于弱或略向空间。从应用获得的插值原则中，我们获得了满足一定条件的两个n-函数生成的弱或略向空间的嵌入关系。设Φ是一个Young函数,即Φ在[0,∞)是凸的和非减的,Φ(0)=0,limx→∞Φ(x)=∞.一个好的Young函数Φ,称为N-函数,是一个连续的Young函数满足Φ(x)=0当且仅当x=0,limx→0Φ(x)/x=0;limx→Φ(x)/x==+∞.关于函数的进一步的性质参见文献.设(Ω,∑,P)是完备的概率空间,则Orlicz空间LΦ是满足EΦ(cf)<∞,对某个c>0的可测函数的集合,其范数是E是关于∑的条件期望.容易验证LΦ是Banach空间.关于LΦ的基本理论参见文献.我们考虑所有可测函数的集合并且称wLΦ为弱Orlicz空间.文献表明wLΦ是一个拟Banach空间.当Φ(t)=tp时,wLΦ=wLp.设Φ1和Φ2是两个Young函数.称Φ1强于Φ2,记作Φ1>Φ2(或Φ2<Φ1),如果对某个常数a>0和与a有关非负常数x0有设Φ(x)是一个可测函数.称Φ(x)满足MΔ(p)条件,记作Φ∈MΔ(p),如果CaJIeXoB在1968年首先介绍了MΔ(p)条件,下面的性质是容易验证的:1)若N-函数Φ∈MΔ∈则Φ-1∈MΔ(1/p),Φ-1是Φ的反函数.2)Φ0和Φ1是满足Φ0∈MΔ(p1)和Φ2∈∈MΔ(p1)的N-函数.如果那么Φ也是N一函数,并且.例2∀a>1,.应该指出,一般情形下,,并且,这里Δ2是指存在常数c>0,使得Φ(2t)≤cΦ(t),∀t>0.2p12p2p2p引理2.1设Φ1和Φ2是两个Young函数.1)Φ1<Φ2当且仅当,2)Φ1<Φ2,则,即存在c>0,使得.如果f∈wLΦ2,则∀t>0,彐c>0,受约束于Φ2(ct)P(|f|>t)<∞,于是所以.若Φ1<Φ2不成立.可以选择增加的实数序列un>0(n=1,2,...),使得令G1,…,Gn,…是G的不交子集,并且.考虑则所以.但Vλ>0,令m/2>1/λ,我们有所以f不属于,这是一个矛盾.2)Φ1<Φ2,则存在k>0和x0≥0,使得Φ1(x)≤Φ2(kx),x≥x0.令β=Φ1(x0)+1≥1,所以.推论2.2Φ1～Φ2(即Φ1<Φ2并且Φ2<Φ1)当且仅当.引理2.3设N-函数Φ(x))∈MΔ(p),则∀ε>01)xp-ε<Φ(x)<xp+ε,2)wLp+ε↪wLΦ↪wLp-ε(“↪”表示连续嵌入).证明由MΔ(p)条件和引理2.1,容易证明.引理2.4设Φ1和Φ2是两个N-函数,Φ1∈MΔ(s),Φ2∈MΔ(r).如果T:wLp→wLq是有界的,其中1≤p<s,1≤r<q,那么T:是有界的,即存在常数c>0,使得证明选择ε满足p<s-ε,q>r+ε.由引理2.3所以因为T从到wLq是有界的,,∀f∈wLp,于是,定理2.5设i=0,1,1≤p0<p1,1≤q0<q1,Mi(x)∈MΔ(pi+εi),Φi(x)∈MΔMΔ(qi-δi),其中εi和δi是任意的非负实数满足p0+ε0<p1+ε1,1≤q0-δ0<q1-δ1.令如果T从(i=0,1)是有界的,那么T从wLM到wLΦ是有界的,即存在c>0,使得证明容易知道M(x)和Φ(x)都是N-函数,并且满足M(x)∈MΔ(s),Φ(x)∈MΔ(r)其中而且对上述θ∈(0,1),设则1≤p<s,1≤r<q.因为T从(i=0,1)是有界的,由Marcinkiewicz内插定理,得到T从wLp到wLq是有界的,并且从引理2.4,T:wLM→wLΦ是有界的,而且3kt,f+a1kt,f我们将给出一个类似的弱Orlicz鞅空间内插定理.设(Ω,∑,P)是完备的概率空间,{∑n}n≥0是∑的递增的子σ-代数序列,满足∑=∨∑n.我们用En表示关于∑n的条件期望.对任意的鞅f=(fn)n≥0,定义Δnf=fn-fn-1,n≥0(f-1=0,∑-1={Ω,Φ}),则极大算子、均方算子、条件均方算子分别定义如下:用Λ表示非负的、递增的随机变量序列的集合,其中ρ=(ρn)n≥0∈Λ满足ρ∞=limn→∞ρn.称鞅f=(fn)n≥0在Lp中有可料的控制是指存在序列ρ=(ρn)n≥0∈Λ,使得弱Lp空间是所有可测函数的集合,满足记作wLp,其中f*(t)=inf{y:P(|f|>y)≤t}(t>0)是f的重排不变函数.和平常一样,我们定义下面的鞅空间如果在上面的定义中用wLp范数或者wLφ范数替换Lp范数,则分别得到弱鞅空间wHp,wQp,wDp或者弱Orlicz鞅空间wHΦ,,wQΦ,wDΦ·设A0和A1是两个连续嵌入一个拓扑空间A中的拟赋范空间.对0<θ<1,0<q≤∞,A0和A1的内插空间是可测函数的集合f∈A0+A1满足其中K(t,f;A0,A1)=inf{‖f0‖A0+t‖f1‖A1;f=f0+f1,fi∈Ai,i=0,1}现在给出个基本的内插结果.引理3.1设T是定义在A0+A1上的拟线性算子,是有界的,则对0<θ<1,0<q≤∞,是有界的.通过弱鞅Hardy空间的弱原了分解,我们将给出一个引理,在下面的内插定理证明中起到了重要作用.引理3.2设0<θ<1,,0<p1<p0<∞,则证明设.由文献中定理2.1,其中(ak)k∈Z是关于停时(vk)k∈Z的w-1-原子序列.对任意固定的t∈,令y=tα(sf)*(t)α=θ+1/p.对上述y,选择j∈Z,使得2j≤y<2j+1.因为在{n≤vk}上,所以在集合{vk=∞}上s(ak)=0.另一方面,,于是所以,从而.注意到p1<p<p0,有.这也表明h从而我们得反过来,考虑次线性算子T:f→s(f).那么,T:和T:都是有界的.从文献中得到由引理3.1有也是有界的.对,∞有引理证毕.注1因为wQp和wDp的弱原子分解也是成立的,所以用wQp或者wDp代替,引理3.2也成立.下面引理的证明类似引理2.4,不再赘述.引理3.3设Φ1和Φ2是两个N-函数,Φ1∈MΔ(s),Φ2∈MΔ(r).若T:是有界的,其中11<p<s,1<r,则T:是有界的,即存在c>0,使得定理3.4设i=0,1,1≤p0<p1,1≤q0<q1,Mj(x)∈MΔ(pi+εi),Φi(x)∈MΔ(qi+δi),其中εi和δi是任意正实数,满足p0+ε0<p1+ε1,1≤q0-δ0<q1-δ1.令若T:是有界的,i=0,1,则T从到wLΦ也是有界的,即存在c>0,使得证明类似的,M(x)和Φ(x)都是N-函数,满足M(x)∈MΔ(s),Φ(x)∈MΔ(r),其中容易看到对上述θ∈(0,1),令则1≤p<s,1≤r<q.对,分别由引理3.2和文献中定理5.3.1,得到因为T从(i=0,1)是有界的,由引理3.1,T从到wLq是有界的,并且再通过引理3.3,T从到wLΦ是由界的,并且定理证毕.注2如果我们用wQp或者wDp替,那么定理3.4依然成立.推论3.5设i=0,1,1≤p0<p1,Mi(x)∈MΔ(pi+εi),Φi(x)∈MΔ(qi+δi),其中εi和δi是任意正实数,满足p0+ε0<p1+ε1,1≤p0-δ0<p1-δ1.令若T:是有界的,i=0,1,则T从到wLΦ是有界的,即存在c>0,使得通过内插定理我们给出弱Orlizc鞅空间的一些嵌入关系.首先介绍一个引理引理3.6对任意的鞅f=(fn)n≥0,下面的不等式成立:(i)0<p<2,(ⅱ)0<p<∞,定理3.7设i=0,1.Mi(x)∈MΔ(pi+εi),Φi(x)∈MΔ(pi-δi),其中εi和δi是任意正实数,满足p0+ε0<p1+ε1,1≤p0-δ0<p1-δ1.令则下面的不等式成立:证明设f*=Tf.对1≤p0<p1<2,