二重积分的第二中值定理

目录1引言 1引言通过对数学分析的学习我们知道，微积分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分.对于整块微积分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容.由此可知，深入的了解中值定理，可以让我们更好的学好数学分析.通过对中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微积分学理论应用的基础。随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们仍然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。2微分中值定理2.1微分中值定理的基本内容2.1.1罗尔中值定理定理2.1（罗尔中值定理）若函数满足如下条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3).则在开区间内至少存在一点,使得.证明由(1)知在上连续，故在上必有最大值和最小值，此时，分两种情况来谈论：(a)若，即在上得最大值和最小值相等，此时为常数，，所以，因此，可知为内任意一点都有；(b)若，因为，使得最大值和最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，由条件(2)在点处可导，故由费马定理推知，.2.1.2拉格朗日中值定理定理2.2（拉格朗日中值定理）若函数满足如下条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导.则在开区间内至少存在一点,使得.证明（利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理）上式又可以写为作辅助函数显然，在上连续，在上可导，且.所以由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得，即2.1.3柯西中值定理定理2.3（柯西中值定理）若函数,满足如下条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3),不同时为零；(4).则在开区间内存在一点,使得.证明作辅助函数.易见在上满足罗尔定理条件，故存在，使得.因为（否则由上式也为零），所以可把上式改成.2.1.4微分中值定理的二元函数定义定理2.4（二元函数的罗尔定理）设二元函数了在有界闭域上连续，在开区域内可微分，且在的边界上函数值相等，即对任意,,有，则在内至少有一点，使..证明因为在有界闭区域上连续，根据多元函数的最大值最小值定理在上取得最大值和最小值，分两种情形证之:（1）如果，则在上取得相同的数值，（对任意）.故可在内任意取一点作为,使.（2）如果，则中至少有一个不等于在的边界上的数值，不妨设，(对任意)，则在内必定至少存在一点，使.这表明，由费尔玛定理便得到.定理2.5（二元函数的柯西中值定值）如果函数在闭凸区域上连续，在开区域内可微,且.为内任一点.则对内任意两点,至少存在一点(联结的线段，)，使得.证明为了利用一元函数的柯西中值定理，作代换.引入,.易见，由连续、可微、复合而成的函数在上连续，在内可微，且.则根据一元函数柯西中值定理，至少存在一点使下式成立..取，由于是凸域，故有.则.定理2.6（二元函数的拉格朗日中值定理）设在有界闭凸区域上连续，在开区域内可微，，则对内任意一点，有证明令.构造新的函数.由的连续性，可微性及复合关系，易见在上连续，内可微，由一元函数的拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得.又由于,且,而是凸域，故有成立.2.2微分中值定理的应用2.2.1证明零点存在性例2.1设且满足,证明方程在内至少有一个实根.证明引进辅助函数,显然.又是多项式函数,在上连续,在可导，即满足罗尔中值定理的条件，故存在,使.而,故方程在内至少有一个实根.2.2.2导数的中值估计例2.2设在上二次可微,,则至少存在一点,使得.证明因为函数在与上可导,所以由中值定理有,,,并整理得.又且在上二次可微,则分别在与内至少存在与，使,并整理得.将式代入式得.令,则.即,.2.2.3证明有关等式例2.3设函数在上连续,在内可导,且.试证：对任意给定的正数在内不同的,使.证明由于所以.又由于在上连续且.由介值性定理,使得.在上分别用拉格朗日中值定理有,即,.即.于是由上面两式有,.将两式相加得.即.2.2.4证明不等式例2.4设,证明.证明显然等式当且仅当时成立.下证当时,有.作辅助函数.则在上满足拉格朗日中值定理,则使.由于,所以.由,有.即.2.2.5函数的单调性例2.5证明：若函数在可导,单调增加,且,则函数在也单调增加.证明对任意,且,则在与均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在,使,,由于单调增加,且,所以.从而.即函数在也单调增加.2.2.6证明函数在区间上的一致连续例2.6设函数在内连续且可导，有，证明：在内一致连续.证明由函数极限的局部有界性知,存在和，使.于是,且不妨设由柯西中值定理,,有,即,故.当,且时,由上面两式得到.于是知在上一致连续，由于在上连续,所以在上一致连续.2.2.7用来判定级数的敛散性例2.7设函数在点的某邻域内有二阶连续导数,且,证绝对收敛.证明由且在可导,知.故在点处的一阶泰勒公式为：,.因,故.取有.由于收敛,由比较判别知绝对收敛.3积分中值定理3.1积分中值定理的基本内容3.1.1积分中值定理定理3.1（积分中值定理）：如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使下式成立.证明由于，同时除以可得.此式表明介于函数的最大值和最小值之间.由闭区间上连续函数的介值定理可得，在闭区间上至少存在一点，使得函数在点处的值与这个数相等，即应该有成立，将上式两端乘以即可得到命题得证.3.1.2积分第一中值定理定理3.2（积分第一中值定理）如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在上是可积的，则在上至少存在一点，使得成立.证明由于在上不变号，我们不妨假设，并且记在上的最大值和最小值为和，即，将不等式两边同乘以可知，此时对于任意的都有成立.对上式在上进行积分，可得此时在之间必存在数值，使得，即有成立.由于在区间上是连续的，则在上必定存在一点，使成立.此时即可得到命题得证.3.1.3积分第二中值定理定理3.3（积分第二中值定理）在区间上可积，在区间上单调，那么在上存在内点，使得.特别的，当在区间两端连续时，有.证明用表示区间上的一个划分，表示划分的最大长度，设非负且单调不增.将得到，其中.用表示在区间的上确界，令,则因为，则，即.下面将用Abel引理变换上面的式子.令，,那么分别用和来表示的在区间的上下确界，显然有，令,由于单调不增且非负，则有：，当，有，.不等式可写为.根据的连续性，区间存在内点，使得.如果非负且单调不减，令,则.其中.因此.综合可得，当在区间上单调，积分第二中值定理可表述为,特别地，若在区间上单调且连续，则3.1.4积分中值定理的二元函数的三种形式.定理3.4(二元函数中值定理的第一种形式)若二元函数在点的邻域存在两个偏导数，则，全改变量其中证明显然，若点，则点与，且连接两点与或与的线段也属于，如图3.1图3.1图3.1为此，将全改变量改写为如下形式上述等式右端第一个方括号内，是常数，只是由变到；第二个方括号内是常数，只是由变到根据一元函数中值定理，有,.其中定理3.5(二元函数中值定理的第二种形式)设二元函数在凸区域上连续，在所有的内点都可微，则对内任意两点存在某使得.证明令.它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在可微，于是根据一元函数中值定理，存在使得.由复合函数的求导法则可得.由于是凸区域，所以.故由、即得所要证的(3.1)式.定理3.6（二元函数中值定理的不等式形式）设二元函数在凸区域内任取一点，沿任意方向的方向导存在一致有界，即存在使得则对内任意两点有其中.为证这个定理，先叙述一个引理.引理3.1设二元函数在凸区域的内点沿方向的方向导数存在，在点沿方向连续.图图3.2证明对任意先证然后在式取极限（先固定）用反证法式，假设存在内点使, 则.把线段上各点按到点的距离大小排列，线段上任意两点，当到的距离小于到的距离时，就记为从而可令.由引理得沿方向连续，故有且.如图3.2对,,则在沿方向导数矛盾.所以.类似可证(3.5)式左边，从而(3.4)式成立.3.2积分中值定理的应用3.2.1用于确定数列的极限例3.1证明证明应用推广的积分第一中值定理，有例3.2证明，为某实数.证明由积分第一中值定理，有.为介于与之间的某值，则或，而.由无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量及迫敛性得3.2.2确定函数的极限例3.3设函数连续，且，求极限.解令,则.因为所求函数为型不定式，有洛必达法则及积分中值定理有此处为介于0与之间，由连续有3.2.3用于判别级数的敛散性例3.4设单调下降且非负，证明与有相同的敛散性.证明=.因为递减非负，,故.这表明与有相同的敛散性；另一方面，根据积分法判别与有相同的敛散性，由此既得所要结论.3.2.4用于确定函数零点的分布例3.5设函数在上连续，内可导，且，证明在内至少有一个零点.证明由积分中值定理知：在上存在一点，使得，从而.故在区间上满足罗尔定理的条件.因此在内至少存在一点，使得.3.2.5用于证明积分不等式例3.6设在上连续，单调增加，证明.证明因为===,==（单调增加）.所以3.2.6估计定积分的值例3.7估计的值.解由推广的积分第一中值定理,得其中.因为.所以.即，故4积分第二中值定理的证明积分第二中值定理：在区间上可积，在区间上单调，那么在上存在内点，使得：特别的，当在区间两端连续时，有积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel引理。Abel引理：数列和，对于任意的，有实际上：下面给出Abel引理的一个理解方式，便于记忆。众所周知，积分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是对连续函数而言，一个是对离散的数列而言，只要把函数与数列的一些定理放在一起比较，就会发现异曲同工之处。那么就来回顾一下分部积分的方法：区间上的连续函数与，有再看上面的Abel引理，对应，对应，符号对应，对应，对应，最后你会发现上面的Abel引理就对应了分部积分的这种形式。我们在计算积分的时候，适时使用分部积分会给计算带来很多好处，同样对于数列的处理，利用Abel引理进行变换也能带来很多好处，下面就进入正题，证明积分第二中值定理。用表示区间上的一个划分，表示划分的最大长度，接下来设非负且单调不增。将得到：，其中。用表示在区间的上确界，令，则：因为，则，即。下面将用Abel引理变换上面的式子：令，，那么，分别用和来表示的在区间的上下确界，显然有，令，由于单调不增且非负，则有：，当，有，，不等式可写为：，根据的连续性，区间存在内点，使得。如果非负且单调不减，令，则，其中，因此，综合可得，当在区间上单调，积分第二中值定理可表述为：。特别地，若在区间上单调且连续，则这种情况可以用分部积分给出推导过程，尽管不是严格的证明，但是从这个过程中应该能加深对积分第二中值定理的理解。令，可知，则，在区间上，当单调不减时，，，单调不增的情况同理可得。结束语人们对中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代，对中值定理的研究从微积分建立之始就开始了，至今有关中值定理问题的研究非常活跃，且已有丰富的成果,本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容的知识的学习，并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容，其中还包括自己对这些内容的理解，还通过多方面的了解和研究，且在此和老师和同学们的一起探讨，通过了解到中值定理的内容，也对二元中值定理做了探讨，接着对中值定理的应用做了归纳总结.希望通过本课题能加深对中值定理的理解和应用，也希望通过例题的解析，能使得在应用微分中值定理上更加的娴熟。在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，积分是被广泛应用的数学概念，积分贯穿了我们整个的学习时段.既然在数学学习中处于核心地位，本文就积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用这几个方面来深入研究.在以后的学习生活中，积分都是非常重要的基础和工具，具有一定的理论意义和现实意义。许多专家学者对积分中值定理及其应用作了研究，并取得了一定的突破.对积分中值定理一系列讨论和证明是本文的核心点，本文通过一些定理来讨论积分中值定理的证明并加以综合运用。参考文献[1]杜争光.广义积分型Cauchy中值定理中间点的渐近性[J].宁夏师范学院学报，2018，39（01）：6-10.[2]杨桥艳，屈红萍.例谈与积分有关的极限问题[J].萍乡学院学报，2017，34（06）：17-20.[3]于春华，杨志林.一道数学竞赛题的推广及证明[J].高等数学研究，2017，20（06）：40-41.[4]刘蒋巍.一道积分不等式的命题研究——演绎深化，逆推生成[J].高等数学研究，2017，20（06）：58-60.[5]王良成，马秀芬，杨明硕.Cauchy积分中值定理逆问题的注记[J].大学数学，2017，33（05）：86-91.[6]李小娟.巧构辅助函数解决微分中值定理相关习题[J].教育教学论坛，2017（40）：223-224.[7]徐建，黄晋.新的Nystrom法解二维第二类Fredholm积分方程[J].四川师范大学学报（自然科学版），2017，40（05）：609-614.[8]胡茂林.介值定理的一种推广[J].淮阴师范学院学报（自然科学版），2017，16（03）：210-213.[9]余小飞.积分中值定理在积分不等式中的应用[J].当代教育实践与教学研究，2017（08）：59.[10]黄永忠，周少波，吴洁.一道硕士研究生入学试题的研究[J].大学数学，2017，33（04）：94-99.[11]严兴杰，祁伟.定积分第一中值定理的一点注记[J].教育现代化，2017，4（30）：136-138.[12]刘冬红，张树义，丛培根.积分中值定理中间点函数的可微性[J].北华大学学报（自然科学版），2017，18（04）：434-438.[13]刘冬红，张树义，郑晓迪.第二积分中值定理“中间点函数”的可微性[J].南阳师范学院学报，2017，16（06）：5-8.[14]陈杰.微积分中值定理及其应用[J].吕梁教育学院学报，2017，34（02）：92-94.[15]沈霞，叶浩.关于复数域上的中值定理[J].九江学院学报（自然科学版），2017，32（02）：64-65.[16]肖劲森，林全文.一个推广的积分中值定理[J].韶关学院学报，2017，38（06）：1-3.[17]崔艳，储亚伟，马玉田，李雯雯.复变函数中积分中值定理的改进和推广[J].牡丹江师范学院学报（自然科学版），2017（02）：34-35+40.[18]潘娟娟，凌雪岷.高等数学中不等式证明的几类常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2017，33（