第九章计数原理概率随机变量及其分布第二节二项式定理

第二节二项式定理⁠1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.CONTENTS0102/目录

知识·逐点夯实考点·分类突破01⁠1.二项式定理

提醒

（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.an－kbk

k＋1

2.二项式系数的性质⁠1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

答案：（1）×

（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.

（

）（3）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.

（

）（4）（a＋b）n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.

（

）答案：（2）×

答案：（3）√

答案：（4）√

A.189B.63C.42D.21

3.（2022·北京高考）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝

（

）A.40B.41C.－40D.－41解析：B

法一（赋值法）：依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.

答案：－40x2

解析：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5.答案：5⁠1.若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，则：（1）h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；（2）h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；（3）h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；（4）h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.2.两个常用公式

⁠

A.6B.7C.8D.9

A.31B.32C.15D.16

02⁠二项式中的特定项及系数问题

A.153B.－153C.17D.－17

答案

（1）C

答案

（2）240｜解题技法｜求二项展开式中特定项的步骤⁠

A.27B.24C.26D.25

答案：160二项式系数的性质与各项系数的和考向1

二项展开式中的系数和问题

A.二项式系数和为64B.各项系数和为64C.常数项为－135D.常数项为135

答案

ABD｜解题技法｜赋值法的应用（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；（2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；

考向2

二项式系数的最值问题

A.－126B.－70C.－56D.－28

答案

C

⁠1.若（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则｜a0｜－｜a1｜＋｜a2｜－｜a3｜＋｜a4｜－｜a5｜＝

（

）A.0B.1C.32D.－1

A.常数项为160B.第4项的二项式系数最大C.第3项的系数最大D.所有项的系数和为64

答案：90多项式展开式中特定项（系数）问题考向1

几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例4】

在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是

（

）A.25B.30C.35D.40

答案

C｜解题技法｜

对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.考向2

几个多项式积展开式中特定项（系数）问题

答案

－28｜解题技法｜求几个多项式积展开式中特定项（系数）的方法考向3

三项式展开式中特定项（系数）问题

｜解题技法｜求三项展开式中特定项（系数）的方法⁠1.（2x2－x－1）5的展开式中x2的系数为

（

）A.400B.120C.80D.0

2.（2022·浙江高考）已知多项式（x＋2）（