基于munich链梯法的未决账款公积金评估

基于munich链梯法的未决账款公积金评估

一、储备评估的链梯度法1.已决收款及预测随着中国康复按摩技术的普及和提高，计算机从业人员逐渐意识到使用传统链梯法的评价准备金存在两个不足。首先，他们没有充分考虑历史信息中的索赔和报告损失之间的关系。其次，如果基于这两个数据获得的索赔准备金数量差异很大，则大多数人无法理解这两个数据的选择。为此,下面考虑两类数据的相关性,进而提出改进链梯法的基本思路。链梯法假设不同事故年的赔款支出具有相同的进展模式。设事故年i、进展年j的累计已决赔款为Pi,j,累计已报案赔款为Ii,j(1≤i≤I,1≤j≤J,I=J=n)。当1≤j≤n+1-i时,Pi,j和Ii,j为已知数据;当n+1-i<j≤n时,Pi,j和Ii,j为待预测的未知量。定义事故年i、进展年j的(P/I)比率为:(Ρ/Ι)i,j=Ρi,jΙi,j(1)所有事故年在进展年j的加权平均(P/I)比率为:(Ρ/Ι)j=1∑ni=1Ιi,j∑ni=1Ιi,j(Ρ/Ι)i,j=∑ni=1Ρi,j∑ni=1Ιi,j(2)经过推导,可以得到以下重要结论:(Ρ/Ι)i,j(Ρ/Ι)j=(Ρ/Ι)i,n+1-i(Ρ/Ι)n+1-i(n+1-i<j≤n)(3)式(3)表明,事故年i的(P/I)i,j比率的预测值与所有事故年加权平均(P/I)j比率的比值为常数,它等于准备金评估日对应的比值。也就是说,如果事故年i的(P/I)i,n+1-i比率比所有事故年的加权平均(P/I)n+1-i的比率大,链梯法会把这种趋势在进展中逐步扩大。鉴于这些不足,为了更准确地评估准备金,Quarg和Mack(2004)提出了通过调整进展因子来减小两类数据得到的未决赔款准备金之间的差异,即MunichChainLadder(MCL)方法。2.mcl方法(1)已判决账款进展因子回归与其他事故年相比,如果事故年i的(P/I)i,n+1-i比率高于平均(P/I)n+1-i比率,那么,意味着事故年i截至准备金评估日的已决赔款偏多,或者已报案未决赔款准备金偏少,因此,在未来进展年的赔款额会减少,从而应该减少下一进展年的已决赔款进展因子,增加已报案赔款进展因子,即通过{(Ρ/Ι)i,j}比率调整单个进展因子{fΙi,j}。同理,通过{(Ι/Ρ)i,j}比率调整单个进展因子{fΡi,j}1。(2)扩展mack模型假设MCL方法基于Mack模型的假设,并同时考虑已决赔款和已报案赔款数据,进一步扩展了Mack模型的假设。设事故年i到进展年j的累计已决赔款进展序列为Pi(j)={Pi(1),…,Pi(j)},累计已报案赔款进展序列为Ii(j)={Ii(1),…,Ii(j)}。方差参数①对不同的事故年i和k‚{Ρi,j}和{Ρk,j}相互独立,{Ιi,j}和{Ιk,j}相互独立。②对所有的1≤i,j≤n,存在加权平均进展因子fΡj→j+1>0和fΙj→j+1>0,使得E(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=fΡj→j+1=∑n-ji=1Ρi,j+1∑n-ji=1Ρi,jE(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=fΙj→j+1=∑n-ji=1Ιi,j+1∑n-ji=1Ιi,j(4)③对所有的1≤i,j≤n,存在方差参数σΡj→j+1≥0和σΙj→j+1≥0,使得σ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=σΡj→j+1√Ρi,jσ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=σΙj→j+1√Ιi,j(5)p/p比的条件残差①定义(P/I)过程和(I/P)过程。(P/I)过程和(I/P)过程的定义类似,下面只给出(P/I)过程。对所有事故年i,令Qi=Ρi/Ιi=(Ρi,j/Ιi,j)j∈{1,2,⋯,n}=(Qi,j)j∈{1,2,⋯,n}表示(P/I)过程。对所有的1≤i,j≤n,存在比率qj>0和方差参数ρΙj≥0,使得E(Qi,j|Ιi(j))=qjVar(Qi,j|Ιi(j))=(ρΙj)2/Ιi,j(6)②定义条件残差。下面定义进展因子、(P/I)比率和(I/P)比率的条件残差。Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=Ρi,j+1Ρi,j-E(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))σ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=Ιi,j+1Ιi,j-E(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))σ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))Res(Qi,j|Ιi(j))=Ρi,jΙi,j-E(Ρi,jΙi,j|Ιi(j))σ(Qi,j|Ιi(j))Res(Q-1i,j|Ρi(j))=Ιi,jΡi,j-E(Ιi,jΡi,j|Ρi(j))σ(Q-1i,j|Ρi(j))容易看出,这四个残差的均值为0,方差为1。③考虑进展因子和(P/I)比率、(I/P)比率的相关性。设Bi(j)={Pi(1),…,Pi(j),Ii(1),…,Ii(j)},对所有事故年i,存在常数λP和λI,使得进展因子条件残差与(I/P)比率(或(P/I)比率)的条件残差之间满足如下线性关系。E[Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))|Bi(j)]=λΡRes(Q-1i,j|Ρi(j))(7)E[Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))|Bi(j)]=λΙRes(Qi,j|Ιi(j))(8)对式(7)、式(8)进行整理,可以得出E(Ρi,j+1Ρi,j|Bi(j))=fΡj→j+1+λΡσ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))σ(Q-1i,j|Ρi(j))(Q-1i,j-E(Q-1i,j|Ρi(j)))(9)E(Ιi,j+1Ιi,j|Bi(j))=fΙj→j+1+λΙσ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))σ(Qi,j|Ιi(j))(Qi,j-E(Qi,j|Ιi(j)))(10)(3)求各sq-1i,j[i,j[i,λP=Corr(Q-1i,j,Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=Corr[Res(Q-1i,j|Ρi(j)),Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))](11)λI=Corr(Qi,j,Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=Corr[Res(Qi,j|Ιi(j)),Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))](12)3.mcl方法的参数估计2(1)基于mack模型参数的无指定推测酶n-j,bn-j,ffˆfΡj→j+1=∑n-ji=1Ρi,j+1∑n-ji=1Ρi,jˆfΙj→j+1=∑n-ji=1Ιi,j+1∑n-ji=1Ιi,j(13)n-l-b1n-1i(ˆσΡj→j+1)2=1n-j-1n-j∑i=1Ρi,j(Ρi,j+1Ρi,j-ˆfΡj→j+1)21≤j≤n-2(14)(ˆσΙj→j+1)2=1n-j-1n-j∑i=1Ιi,j(Ιi,j+1Ιi,j-ˆfΙj→j+1)21≤j≤n-2(15)式(14)、式(15)没有给出σ2n-1→n的估计。以已决赔款为例,在进展年n-1和n之间仅有一个观察值Pi,n/Pi,n-1不足以估计两个参数fΡn-1→n和(σΡn-1→n)2‚(σΡn-1→n)2的一种近似估计为:(ˆσΡn-1→n)2=min[(ˆσΡn-3→n-2)2,(ˆσΡn-2→n-1)2](16)(2)mcl方法的扩展参数的估计首先，p.i比率没有得到估计ˆqj=∑n+1-ji=1Ρi,j∑n+1-ji=1Ιi,jˆq-1j=∑n+1-ji=1Ιi,j∑n+1-ji=1Ρi,j(17)jq-1i,n-1,18(ˆρΡj)2=1n-jn+1-j∑i=1Ρi,j(Q-1i,j-ˆq-1j)21≤j≤n-1(18)(ˆρΙj)2=1n-jn+1-j∑i=1Ιi,j(Qi,j-ˆqj)21≤j≤n-1(19)已约化2,j为1i,j为1.由通常的最小二乘估计(OLS)可以得出:ˆλΡ=∑n-ji=1Res(Q-1i,j|Ρi(j))⋅Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))∑n-ji=1Res(Q-1i,j|Ρi(j))21≤j≤n-2(20)λ^Ι=∑i=1n-jRes(Qi,j|Ιi(j))⋅Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))∑i=1n-jRes(Qi,j|Ιi(j))21≤j≤n-2(21)(3)[1e采用1-in,1.2,2,5.2,2,10.2,10.2,10.2,10.2,10。[2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2Ρ^i,j+1=Ρ^i,j[f^j→j+1Ρ+λ^Ρσ^j→j+1Ρρ^jΡ(Ι^i,jΡ^i,j-q^j-1)]1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1(22)Ι^i,j+1=Ι^i,j[f^j→j+1Ι+λ^Ισ^j→j+1Ιρ^jΙ(Ρ^i,jΙ^i,j-q^j)]1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1(23)(4)未决收款保证金rv的估计MCL方法可得到最终损失的估计∑i=1nΡ^i,n和∑i=1nΙ^i,n,未决赔款准备金(RV)的估计。RV^Ρ=∑i=2n(Ρ^i,n-Ρi,n+1-i)RV^Ι=∑i=2n(Ι^i,n-Ρi,n+1-i)(24)4.未决收款保证金的预测算法事故年i的未决赔款准备金R^iΡ、R^iΙ的预测均方误差的估计量分别为:MSEP[R^iΡ]=Ρ^i,n2∑j=n+1-in-1((σ^j→j+1Ρ)2(f^j→j+1Ρ)2)(1Ρ^i,j+1∑i=1n-jΡi,j)2≤i≤n(25)MSEP[R^iΙ]=Ι^i,n2∑j=n+1-in-1((σ^j→j+1Ι)2(f^j→j+1Ι)2)(1Ι^i,j+1∑i=1n-jΙi,j)2≤i≤n(26)所有事故年的未决赔款准备金总额R^P、R^I的预测均方误差的估计量分别为:MSEP(∑i=2nR^iΡ)=∑i=2nΜSEΡ[R^iΡ]+2∑2≤i<k≤nΡ^i,nΡ^k,n∑j=n+1-in-1(σ^j→j+1Ρ)2(f^j→j+1Ρ)2⋅1∑i=1n-jΡi,j(27)MSEP(∑i=2nR^iΙ)=∑i=2nΜSEΡ[R^iΙ]+2∑2≤i<k≤nΡ^i,nΡ^k,n∑j=n+1-in-1(σ^j→j+1Ι)2(f^j→j+1Ι)2⋅1∑i=1n-jΙi,j(28)二、基于循环模拟方法的估计误差虽然MCL方法可以更合理地评估未决赔款准备金,并得到了MSEP估计的解析形式,但是解析解相对复杂,并且MSEP仅度量了一阶矩和二阶矩,为了更深入地研究波动性,可以基于Bootstrap方法估计参数误差,并按照模型假设,在随机模拟中考虑过程方差,可以同时得到MSEP的估计和未决赔款准备金的预测分布。1.就业状态的模拟结果及分析(1)基于Bootstrap的随机性MCL(SMCL)方法的两种基本思路。第一,在应用Bootstrap方法时,考虑两类增量赔款数据的残差,其基本思路为:①将累计已决赔款Pi,j和累计已报案赔款Ii,j转化为增量已决赔款Xi,jΡ和增量已报案赔款Xi,jΙ(i,j≥1,i+j≤n+1)。②构造残差。计算上三角数据中每个进展年增量数据的均值X¯jΡ和X¯jΙ、标准差σjΡ和σjΙ,标准化后,得出下面的残差流量三角形:Res(Xi,jΡ)=Xi,jΡ-X¯jΡσjΡRes(Xi,jΙ)=Xi,jΙ-X¯jΙσjΙi,j≥1,i+j≤n+1③这里对步骤②得到的残差乘以因子(n+2)/n加以调整4,然后再进行Bootstrap再抽样,进而得到模拟的上三角增量赔款数据和累计赔款数据。④应用MCL方法,计算模拟的下三角累计已决赔款i,jB5和累计已报案赔款i,jB,进而得到一次模拟中,两种累计数据对应的最终损失、未决赔款准备金和IBNR的均值估计。⑤基于MCL方法的假设,对下三角数据(1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1)进一步假设。Ρi,j+1∼Ν(f^´j→j+1ΡBΡ^i,jB,(σ^j→j+1Ρ)2BΡ^i,jB)Ιi,j+1∼Ν(f^´j→j+1ΙBΙ^i,jB,(σ^j→j+1Ι)2BΙ^i,jB)这里类似式(22)、(23)所示,f^′j→j+1ΡB和f^′j→j+1ΙB是按照模拟数据调整后的单个进展因子。进而可以从均值为f^′j→j+1ΡBi,jB,方差为(σ^j→j+1Ρ)2BΡ^i,jB的正态分布中抽取随机数,得到未决赔款准备金预测分布的一次模拟,同理,也可得到基于已报案数据的一次模拟结果。⑥重复步骤③、④、⑤,B次Bootstrap再抽样后,即可得到两类数据情况下最终损失、未决赔款准备金、IBNR的预测分布,并得到相关的分布特征。第二,在应用Bootstrap方法时,考虑MCL方法中参数的四类残差,其基本思路为:①计算进展因子的无偏估计f^j→j+1Ρ和f^j→j+1Ι,方差参数的无偏估计(σ^j→j+1Ρ)2和(σ^j→j+1Ι)2;比率的无偏估计q^j和q^j-1,方差参数的无偏估计(ρ^jΡ)2和(ρ^jΙ)2。②构造Pearson残差。按照第一部分定义的条件残差,构造四类残差的流量三角形。包括两个进展因子条件残差流量三角形(1≤i≤n-j,1≤j≤n-2),(P/I)比率和(I/P)比率条件残差流量三角形(1≤i≤n+1-j,1≤j≤n-1)。③对步骤②得到的残差乘以因子(n-j)/(n-j-1)加以调整6,然后再进行Bootstrap再抽样,分别得到模拟累计已决、已报案赔款进展因子Pi,j+1B/Pi,jB和Ii,j+1B/Ii,jB的流量三角形,比率Pi,jB/Ii,jB和Ii,jB/Pi,jB的流量三角形。④类似步骤①,计算模拟数据得到的估计值f^j→j+1ΡB和f^j→j+1ΙB‚(σ^j→j+1ΡB)2和(σ^j→j+1ΙB)2‚q^jB和q^j-1B‚(ρ^jΡB)2和(ρ^jΙB)2。并类似式(20)、(21)计算调整后残差的相关系数λ^PB和λ^IB。在保持主对角线最近评估日历年赔款数据不变的假设下,应用MCL方法,后续处理与SMCL方法1的步骤④、⑤、⑥完全相同。(2)两种思路的比较。第一,抽样方法侧重点不同。SMCL方法1是基于原始数据的抽样方法,考虑了Mack模型中不同事故年i和k‚{Ρi,j}和{Ρk,j}‚{Ιi,j}和{Ιk,j}相互独立的假设,对两类增量赔款数据的调整后残差进行Bootstrap再抽样。SMCL方法2是基于模型参数的抽样方法,考虑了Mack模型和MCL方法扩展假设中进展因子和比率的均值、方差假设,对模型参数的调整后残差进行Bootstrap再抽样。第二,(P/I)比率和(I/P)比率的残差的相关性处理方式不同。在按照SMCL方法1进行Bootstrap再抽样时,不需要考虑这两类残差之间的相关性。这是因为按照这种方法产生模拟数据后,这种相关性在后续的MCL方法中得以体现。在按照SMCL方法2进行Bootstrap再抽样时,需要对四类调整后的Pearson残差进行再抽样。在这四类残差中,(P/I)比率的残差和(I/P)比率的残差之间不是独立的,存在负的相关性。在进行Bootstrap再抽样的过程中,要考虑这种相关性。一种直观的处理方法是绑定这两个流量三角形每个单元格的对应元素,组成有序元素组,然后成对地抽取随机数。第三,上三角模拟数据不同。由于抽样方法不同,SMCL方法1模拟的是累计已决、已报案赔款流量三角形数据,SMCL方法2模拟的是MCL方法中进展因子和比率参数的流量三角形数据。第四,预测均方误差的估计。基于Bootstrap方法的SMCL方法模拟预测分布的过程中,同时也可以得到MSEP。其中,参数误差就是B次Bootstrap模拟的未决赔款准备金估计值的样本方差。过程方差通过从下三角正态分布的假设中抽取随机数得以体现。以已决赔款为例,事故年i的未决赔款准备金的过程方差7为B次模拟得到的估计量(Ρ^i,nB)2∑j=n-i+1n-1(σ^j→j+1Ρ)2B/(f^´j→j+1ΡB)2Ρ^i,jB的样本均值,所有事故年未决赔款准备金总额的过程方差就是所有事故年估计量之和的样本均值。总之,与MCL方法相比,这两种SMCL方法各有特色,本文实证分析部分分别给出了MCL方法、两种SMCL方法得到的MSEP、预测分布以及相关的分布特征,并对其进行了比较,希望能为保险公司精算人员学习和使用随机性准备金评估方法提供理论基础。2.bootstud方法是模拟中的合理处理(1)残差参数估计时组合SMCL方法1进行Bootstrap模拟时,是对调整以后的残差进行再抽样。这是因为理论上标准化后残差的均值应为0,方差应为1。但是实际中,我们已经证明残差的均值为0,标准差为n/(n+2),此值小于1,因此需要对残差乘以因子(n+2)/n加以调整。这样的调整使得在均值保持不变的情况下,方差变为1。SMCL方法2进行Bootstrap模拟时,如对残差进行再抽样,未考虑被估计参数个数,将低估参数误差。为修正估计偏差,本文通过对每列残差乘以相应的因子(n-j)/(n-j-1)加以调整。类似地,这样的调整使得在均值保持不变的情况下,方差接近于1。(2)基于增量数据的残差建模从SMCL方法1构造的残差可知,进展年n只有一个数据,其标准差为0,无法计算对应的残差和模拟后的增量数据。鉴于流量三角形中所有残差是独立同分布的,本文假设上端点也参与其他残差样本的Bootstrap再抽样。SMCL方法2在对Pearson残差进行调整时,无法计算上三角进展年n-1、n的调整后残差,类似地,本文假设这三个值也参与其他残差样本的Bootstrap再抽样。(3)smcl方法的再抽样个数为了防止方差被低估,本文允许上端点也参与其他残差样本的Bootstrap再抽样。因此,对于事故年和进展年都为n的上三角数据,SMCL方法1的再抽样个数为(n+2)(n-1)/2;SMCL方法2中进展因子上三角数据的再抽样个数为(n+1)(n-2)/2,比率上三角数据的再抽样个数为(n+3)(n-2)/2。(4)单元编码函数如果两种方法模拟的i,jB和i,jB为负值,而方差不能为负,那么从正态分布中抽取随机数就会出现错误。以累计已决赔款数据为例,本文对模拟出的下三角累计已决赔款的每个单元定义了如下符号函数:这样就可先从均值为f^´j→j+1ΡB|Ρ^i,jB|,方差为(σ^j→j+1Ρ)2B|Ρ^i,jB|的正态分布中抽取随机数,最后再乘以sign(i,jB)。对累计已报案赔款数据可类似处理。三、mcl方法估计的未决账款恶意程序msep本文实证分析部分中的数据来源于Quarg和Mack(2004),如表1、表2所示。在准备金评估的相关文献中,这些数据被经常引用,这里也是为了更好地与MCL方法的结果进行比较。另外,本文假设已发生已报案未决赔款保持不变,即等于评估日历年累计已报案赔款减去累计已决赔款,其目的是为了避免模拟得到的两类数据之间的相互影响。按照第二部分的思路,表3给出了MCL方法中最终损失、未决赔款准备金和IBNR的估计。表4和表5分别给出了在Mack模型假设下,MCL方法基于已决、已报案赔款数据得到的MSEP,两表中第二列给出的是Mack模型估计的未决赔款准备金。为了更好地与SMCL方法的结果进行比较,也可以将第二列数据替换成MCL方法估计的未决赔款准备金,这里采用Mack模型的结果,更严格地讲应是Mack模型的MSEP。表6和表7分别给出了SMCL方法1基于已决、已报案数据得到的MSEP,表8和表9分别给出了SMCL方法2基于已决、已报案数据得到的MSEP。由于每次模拟得到的未决赔款准备金的估计值与MCL方法的估计值差别不大,这四个表中第二列给出的是MCL方法估计的未决赔款准备金。图1和图2分别给出了SMCL方法1、方法2得到的未决赔款准备金的预测分布,其对应的分布特征如表10所示。四、完成结论和方法建议1.未决收款保证金的预测分布(1)估计结果的一致性。表6～表9与表4、表5相比,可以看出两种基于Bootstrap方法的SMCL方法得到的参数误差、过程方差、MSEP与Mack模型的结果都很接近,从某种程度上体现了这两种SMCL方法具有一致性。(2)与表4、表5类似,随着事故年已有信息的减少,表6～表9中的MSEP也相应增大,这是符合实际的。因为已有信息越少,估计误差就越大,精度就越低。(3)Bootstrap方法的基本思路简单、操作性强、可靠有效。Bootstrap方法比较容易理解,在计算机上易于编程实现。(4)本文只给出了两种SMCL方法模拟的未决赔款准备金的预测分布,如图1和图2所示。由于SMCL方法1每次模拟的评估日历年赔款数据都不同,所以最终损失和未决赔款准备金的预测分布的图形形状存在差异,而SMCL方法2假设评估日历年赔款数据不变,故两类分布的图形形状相同。表10中SMCL方法1模拟的最终损失和未决赔款准备金的标准差不同,