齐次多项式线性空间的构造

齐次多项式线性空间的构造

文本显示了通用多项式线性空间的构造方法（对称类型方法）和表示算法（逐渐指定系数法）。由于多个本地对称项的对称类型不同，本文将重点放在完全对称、交替对称和三种对称空间的问题上。在这项工作中，我们以四个变量的平均值为例，讨论了基于两人对称的双重空间和基于对称称称的三种差分空间的线性空间。本文以三元对称算子为基础，描述了三元对称算子在三维空间中的概念和方法。给出了在实物范围内预测多个方程的若干解释。最后，提出了两个问题。1xn中的n元对称式设f≡f(x1,x2,…,xn)是关于变元x1,x2,…,xn的n元多项式,则f的对称类型不外乎有如下几种:如果f关于x1,x2,…,xn中的n个变元是完全对称的,则称f为n元-n元对称式,简称为n元对称式;如果f关于x1,x2,…,xn中的n-1个变元是完全对称的,则称f为n元-n-1元对称式;…;如果f关于x1,x2,…,xn中的2个变元是完全对称的,则称f为n元-2元对称式;如果f关于x1,x2,…,xn中的1个变元是完全对称的,则称f为n元-1元对称式,此时由于f是关于1个变元对称的,故本质上就是一个完全不对称式.2次数空间维数计算文提出了齐次多项式线性空间亏的概念.它的含义是:齐次多项式线性空间的维数与相应半正定齐次多项式线性空间的维数之差.亏是反映多项式内在属性的一个量,它与多项式的对称性及元数有关,呈现出明显的规律性.34元3,4对称式由文知,用对称类型方法确定多项式线性空间的基,关键要能够写出多项式的对称类型通式.设f(x1,x2,x3,x4)是4元-3元对称多项式,这就意味着f(x1,x2,x3,x4)关于x1,x2,x3,x4中的某3个元是对称的,即f(x1,x2,x3,x4)关于x2,x3,x4,或x1,3,x4,或x1,x2,x4,或x1,x2,x3是对称的.根据这4种情形可以写出4元-3元对称类型通式:4对称程式的省称其中sdc4模块的输入参数是多项式的次数,功能是根据次数输出一个4元-3元对称多项式列表,由于15句与(1)式含义相同,故省去了实际表达式;sdc4_z模块的输入参数是多项式的次数,功能是根据次数输出一个半正定4元-3元对称多项式列表,由于28句与(1)式含义类似,故省去了实际表达式.54对称式线性空间的维数和亏利用程序sdc可以得到4元-3元对称多项式线性空间基和维数的验证数据.例1在读入文中的程序lbqdxs4的情况下,键入命令xg_prove4(sdc4(8)),则输出一个4元8次-3元对称多项式列表,这个列表中有92个符号不确定的多项式(具体表达式略),这说明4元8次-3元对称多项式线性空间的维数为92.接着键入命令xg_prove4(sdc4_z(8)),经过近48小时运算后,显示一个由80个多项式构成的列表(具体表达式略),这说明半正定4元8次-3元对称多项式线性空间的维数为80.由于92-80=12,故4元8次-3元对称多项式线性空间的亏为12.为便于应用和发现规律,现将4元-3元对称多项式线性空间维数和亏的验证数据总结为表1.对照文中的维数表可知,文中有关3元对称类型的验证数据是不对的,错误的原因就是因为文使用的4元-3元对称类型通式不完整.完整的通式应当是本文中的(1)式.64f,6,,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,设f(x1,x2,x3,x4)是4元-2元对称多项式,这意味着f(x1,x2,x3,x4)关于x1,x2,x3,x4中的某2个元是对称的,即f(x1,x2,x3,x4)关于x1,x2,或x2,x3,或x3,x4,或x1,x4,或x1x3,或x2,x4是对称的.根据这6种情形可以写出4元-2元对称类型通式:(x1,x2),(x2,x3),(x3,x4),(x1,x4),(x1,x3),(x2,x4)∑4f=tw∑4f=f(x3,x2,x4,x1)+f(x3,x1,x4,x2),f(x4,x2,x3,x1)+f(x4,x1,x3,x2),f(x1,x3,x2,x4)+f(x2,x3,x1,x4),f(x2,x3,x4,x1)+f(x1,x3,x4,x2),f(x2,x4,x3,x1)+f(x1,x4,x3,x2),f(x4,x3,x1,x2)+f(x4,x3,x2,x1),f(x3,x4,x1,x2)+f(x3,x4,x2,x1),f(x4,x1,x2,x3)+f(x4,x2,x1,x3),f(x3,x1,x2,x4)+f(x3,x2,x1,x4),f(x1,x2,x4,x3)+f(x2,x1,x4,x3),f(x1,x2,x3,x4)+f(x2,x1,x3,x4),f(x1,x4,x2,x3)+f(x2,x4,x1,x3),f(x2,x3,x4,x1)+f(x4,x3,x2,x1),f(x1,x4,x3,x2)+f(x1,x2,x3,x4),f(x3,x4,x1,x2)+f(x3,x2,x1,x4),f(x4,x1,x3,x2)+f(x2,x1,x3,x4),f(x4,x3,x1,x2)+f(x2,x3,x1,x4),f(x2,x1,x4,x3)+f(x4,x1,x2,x3),f(x1,x3,x2,x4)+f(x1,x3,x4,x2),f(x3,x1,x2,x4)+f(x3,x1,x4,x2),f(x1,x2,x4,x3)+f(x1,x4,x2,x3),f(x3,x2,x4,x1)+f(x3,x4,x2,x1),f(x2,x4,x1,x3)+f(x4,x2,x1,x3),f(x2,x4,x3,x1)+f(x4,x2,x3,x1),f(x4,x3,x2,x1)+f(x4,x1,x2,x3),f(x1,x2,x3,x4)+f(x3,x2,x1,x4),f(x1,x4,x3,x2)+f(x3,x4,x1,x2),f(x2,x3,x4,x1)+f(x2,x1,x4,x3),f(x1,x3,x4,x2)+f(x3,x1,x4,x2),f(x4,x1,x3,x2)+f(x4,x3,x1,x2),f(x2,x1,x3,x4)+f(x2,x3,x1,x4),f(x2,x4,x1,x3)+f(x2,x4,x3,x1),f(x4,x2,x1,x3)+f(x4,x2,x3,x1),f(x3,x2,x4,x1)+f(x1,x2,x4,x3),f(x3,x4,x2,x1)+f(x1,x4,x2,x3),f(x4,x3,x1,x2)+f(x1,x3,x4,x2),f(x1,x3,x2,x4)+f(x4,x3,x2,x1),f(x4,x2,x1,x3)+f(x1,x2,x4,x3),f(x2,x1,x3,x4)+f(x2,x4,x3,x1),f(x4,x2,x3,x1),f(x1,x4,x2,x3)+f(x1,x3,x2,x4),f(x2,x3,x4,x1)+f(x2,x4,x3,x1),f(x1,x3,x4,x2)+f(x1,x4,x3,x2),f(x1,x2,x3,x4)+f(x1,x2,x4,x3),f(x2,x1,x3,x4)+f(x2,x1,x4,x3),f(x3,x4,x2,x1)+f(x4,x3,x2,x1),f(x4,x3,x1,x2)+f(x4,x2,x1,x3),f(x1,x3,x4,x2)+f(x1,x2,x4,x3),f(x3,x4,x1,x2)+f(x4,x3,x1,x2),f(x3,x1,x4,x2)+f(x2,x1,x4,x3),f(x2,x4,x3,x1)+f(x3,x4,x2,x1),f(x2,x1,x3,x4)+f(x3,x1,x2,x4),f(x4,x1,x2,x3)+f(x4,x1,x3,x2),f(x4,x2,x3,x1)+f(x4,x3,x2,x1),f(x1,x4,x2,x3)+f(x1,x4,x3,x2),f(x3,x4,x1,x2)+f(x2,x4,x1,x3),f(x1,x2,x3,x4)+f(x1,x3,x2,x4),f(x2,x3,x4,x1)+f(x3,x2,x4,x1),f(x2,x3,x1,x4)+f(x3,x2,x1,x4),f(x1,x3,x2,x4)+f(x3,x1,x2,x4).(2)7对称程式的生成其中erydc4模块的输入参数是多项式的次数,功能是根据次数输出一个4元-2元对称多项式列表,由于16句与(2)式含义相同,故省去了实际表达式;erydc4_z模块的输入参数是多项式的次数.功能是根据次数输出一个半正定4元-2元对称多项式列表.由于29句与(2)式含义类似,故省去了实际表达式.84半第二元5.2元对称传统观点中多元对称传统线性空间在半第二元84.例2键入命令xg_prove4(erydc4(6)),则显示一个由82个多项式构成的列表(具体表达式略),这说明4元6次-2元对称多项式线性空间的维数为82.为了得到半正定4元6次-2元对称多项式线性空间的一组基,键入命令xg_prove4(erydc4_z(6)),则得到一个由79个多项式构成的列表(具体表达式略),这说明半正定4元6次-2元对称多项式线性空间的维数为79.由于82-79=3,故4元6次-2元对称多项式线性空间的亏为3.将4元-2元对称多项式线性空间维数和亏的验证数据总结为表2.由表2可以看出,4元-2元对称多项式线性空间的亏好像恒为3.有关4元-2元对称和4元-3元对称多项式更多的例子请参阅文.9k1、k1的关系式材料参数得到多项式线性空间维数的计算公式一直是受关注的问题之一,例如文就提出过这个问题.一般来说,要得到维数计算公式是很困难的,但对某些特殊对称类型的子空间来说,却可以得到它精确的计算公式.现以3元轮换对称多项式为例,说明维数公式的构造思路和推导过程.为了便于发现规律和进行验证,现列出3元3次到3元100次轮换对称多项式线性空间的维数:h=[3,4,6,9,11,14,18,21,25,30,34,39,45,50,56,63,69,76,84,91,99,108,116,125,135,144,154,165,175,186,198,209,221,…,1649,1683,1716];求列表h的一阶差分,得列表dh:dh=[1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,7,8,9,8,9,10,9,10,11,10,11,12,11,12,13,12,13,14,13,14,15,14,15,…,33,34,33];将dh中序号为奇数的放入k1,序号为偶数的放入k2,则得k1=[1,3,3,3,5,5,5,7,7,7,9,9,9,11,11,11,13,13,13,…,33,33,33];k2=[2,2,4,4,4,6,6,6,8,8,8,10,10,10,12,12,12,14,14,14,…,32,32,32,34];容易发现,k1的通项为2[i+13]+1‚k2的通项为2[i3]+2,其中[x]表示不超过x的最大整数.由于dh是h的差分,而k1和k2分别是dh的奇数项和偶数项,故有如下关系式:h=3;h=k1+h;h=(k1+k2)+h=1∑i=1(k1[i]+k2[i])+h;h=(k1+k2)+k1+h=1∑i=1(k1[i]+k2[i])+k1+h;…一般地,h[t]=12(t-1)∑i=1(k1[i]+k2(i))+h(t为奇数);h[t]=12(t-2)∑i=1(k1[i]+k2(i))+k1[t2]+h(当t为偶数).将k1和k2的通项代入h[t]表达式,整理得h[t]=212(t-1)∑i=1([i+13]+[i3])+32(t+1),(t为奇数,t≥3);(3)h[t]=212(t-2)∑i=1([i+13]+[i3])+2[t+26]+32t+1,(t为偶数,t≥3).(4)由于在列表h中,维数是以3次为起始的,故维数在h中的序号比次数小2.设多项式的次数用n表示,则n=t+2.将t=n-2代入(3),(4)式整理,得到维数关于次数n的计算公式:h[n]=212(n-3)∑i=1([i+13]+[i3])+32(n-1),(n为奇数,n≥3);(5)h[n]=212(n-4)∑i=1([i+13]+[i3])+2[n6)+32n-2,(n为偶数,n≥3).(6)(5),(6)式就是3元轮换对称多项式线性空间维数的计算公式.采用类似办法还可求得4元轮换对称多项式线性空间维数的计算公式为h[n]=124(n-1)(n2+7n+18),(n为奇数);(7)h[n]=124n3+18n2+712n+2+212(n-4)∑i=1([i+22]),(n为偶数).(8)用Maple语言可编写公式(5),(6)和(7),(8)的计算程序(分别用jsws3和jsws4表示这两个程序,源程序从略).例如对程序jsws3取n=36,立即输出234;对程序jsws4取n=36,立即输出2289,这说明3元和4元36次轮换对称多项式线性空间的维数分别是234和2289.这与文表1中的验证数据是一致的.10线性空间文和文探讨了变元为正数时多项式半正定的分拆证明问题.下面将这一研究课题拓展到一般实数中.为了叙述方便,约定实数范围内半正定齐次多项式全体所构成的集合用S‖表示.易知S‖中的多项式一定是偶次的.我们有如下定理(证明见文):定理1在实数范围内,3元4次对称多项式线性空间的一组基可取为f1=∑3(y-z)2(y+z-x)2;f2=∑3x2(y-z)2;f3=∑3(x-y)2(x-z)2.且有gi(t)∈S‖(i=1,2,3,4,t∈R),其中g1(t)=f1t2+(2f3-f1-f2)t+f2,g2(t)=(f2+f1-f3)t2+(-3f1-5f2+4f3)t+2f1-3f3+6f2,g3(t)=f2t2+(2f3-f1-f2)t+f1,g4(t)=f2t2+(-3f2-f1+2f3)t+2f1-2f3+2f2.定理2在实数范围内,4元4次对称多项式线性空间的一组基可取为f1=3σ14-64σ4-16σ12σ2+16σ22+16σ1σ3,f2=σ22+12σ4-3σ1σ3,f3=σ22-4σ4-2σ1σ3,f4=3σ14-36σ4-14σ12σ2+9σ22+18σ1σ3.且有gi(t)∈S‖(i=1,2,3,4,5,k∈R),其中σi(i=1,2,3,4,5)为4元初等对称式,g1(k)=(σ22-4σ4-2σ1σ3)k2+(-2σ12σ2+6σ22-24σ4)k+9σ22-36σ4+3σ14+18σ1σ3-14σ12σ2,g2(k)=(3σ14-36σ4+9σ22+18σ1σ3-14σ12σ2)k2+(12σ22-48σ4-4σ12σ2)k-8σ1σ3+4σ22-16σ4,g3(k)=(32σ22-42σ12σ2+40σ1σ3-64σ4+9σ14)k2+(64σ4-48σ22-76σ1σ3-18σ14+7