24 点集间的距离

第五节

点集间的距离第二章n维空间中的点集点集间的距离定义d

(x,B

)?

inf{d

(x,y):y

?

B}d

(A,B

)?

inf{d

(x,y):x?

A,y?

B}注：a.若x∈B,则d(x,B)=0反之则不一定成;立，如x=0,B=(0,1)b.若

A

?

B

?

?

,则

d(A,B)=0;

反之则不一定成立，如A=(-1,0),B=(0,1).例1

设E

为R

n中非空点集

，则d(x,E)是R

n上关于x的一致连续函数证明：利用d(x,E)≤d(x,z)≤d(x,y)+dz(∈y,Ez)可得d(x,E)≤d(x,y)+d(y，,E)同理d(y,E)≤d(x,y)+d(x,E),故有|d(x,E)d-(y,E)|≤d(x,y)所以d(x,E)是R

n上关于x的一致连续函数。定理：设A为非空有界闭集，x∈R

n

，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)1n?1

,?y?A,使得d(x,A)?d(x,y)?d(x,A)?n

n

n闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨iii??由于{yn

}为有界点列，故

?{yn

}的子列{yn

}，使

lim

yn

?

yd(x,A)?

d(x,y

)?

d(x,A)?

1ni

ni又Ａ为闭集，故y∈A,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由d(x,A)?inf{d(x,y):y?A}可得定理1：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A,y∈B,使得d(x,y)=d(A,B)n1n可知?1

,?xn

?A,yn

?B,使得d(A,B)?d(xn

,yn

)?d(A,B)?i?

?由于A

有界，故

?{xn

}的子列{xni

}，使limxni

?

x证明：由d(A,B)?inf{d(x,y):x?A,y?B}ABijijij?

?}，使lim

yn

?

y从而?{yn

}的子列{ynnij

nij1nijd(A,B

)?

d

(x

,y

)?

d(A,B

)?又B为闭集，故y∈B,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而x∈A，并可得{yni}有界因为当ni充分大时，d(x,

yni)

≤

d(x,nxi

)

+

d(xni,

yni)

≤1

+

(

d(A,B)

+

1/in）P?

E对???0,?P1

?E,使?(P0

,P1

)??(P0

,E)???d.定理2.设E

是一点集，d?0,U

是所有到E的距离小于d的点P作成的集合，即U?{P;?(P,E)?d},则U

是一开集，且U?E.证明:对?P?E，有?(P,E)?0?d.故P?U,于是E?U.设P0

?U，则?(P0

,E)?d.于是???0,使?(P0

,E)???d.因为?(P0

,E)?inf{?(P0

,P)},所以由下确界定义知0

0令?P

?

d

?

?

(P0

,P1

)?

0,则得到P0的领域N

(P0

,?

P

)?

U

.000P)?

U

.?(q,E)??(q,P1

)?d,从而q

?U,即N(P0

,?P)?d.因为P1

?E,所以故?

(q,P1

)?

?

(q,P0

)?

?

(P0

,P1

)?

?P

?

(d

?

?事实上，任取q

?N(P0

,?P

),有?(P0

,q)??P

.又由?(P0

,P1

)?d-?P

.0

0

0所以P0为U的内点，于是U为开集.?

?

,定理3：设F1,F2是两个非空有界闭集，F1

?F2则有开集G

1,G

2使G

1

?F1，G

2

?F2，G

1

?G

2

??.证明：既然F1

?F2

??，则有r??(F1

,F2

)?0.},2

21r2r2?

F2

.)?},G ?

{Q

;

(Q

,FG

?

{P;

(P

,F1

)?则由定理2知，G

1，G

2都是开集，且G

1

?F1，G

2令??.12

111

2

1

2

1

2r2r2,

(P

,Q

)?????的定义，应有点P1

?F1

,Q?F使(P,P)?现证G

?

G ?

?

.若不然，便有

P

?

?

G

?

G

，则从G

，G1111矛盾.于是rr

r2

2? ?

.(P

,Q

)?(P

,P

)?(P

,Q

)?r

?????

?例2

：设F

1，

F

2为R

n中两个互不相交的非空闭集，则存在R

n

上的连续函数f(x)，使得（1

）0≤

f(x)≤，1

x∈

R

n（2

）

f(x)=0，

x∈

F

1;

f(x)=1,

∈xF

2d

(x,F1

)?

d

(x,F2

)d

(x,F1

)，x?

(??

,??

).证明：作函数f(x)?F2F1先证d(x,F1

)?d(x,F2

)?0,则f(x)有意义.因为，若d(x,F1

)?d(x,F2

)?0，则d(x,F1)?d(x,F2

)?0，于是x?F1

?F2

,与假设F1

?F2

??矛盾.再证d(x,F1

)是x的连续函数.因为对任意x0，有d(x0

,F1

)?x0

?x?d(x,F1

)和d(x,F1

)?x?x0

?d(x0

,F1

)，所以d(x,F1

)-d

(x0

,F1

)?x?x0

，即知d(x,F1

)是x的连续函数.类似可证d(x,F2

)也是x的连续函数.因为f(x)是连续函数d

(x,F1

)与d(x,F2

)的复合函数（分母不为零）,所以f(x)是x的连续函数.又当x?F1时，d(x,F1

)?0,故f(x)?0.当x?F2时，d(x,F2

)?0,故f(x)?1.例3.每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并?

?n?1

n?1从而E??G

n

,下证?G

n

?EG

nEnn证明：设E为闭集，取G

nx?

E?

?

O

(x,1

)则G为开集，E?G

n1n11nn

nnnnx?

E1

1xn

?

O

(x,

)，即x

-x

?

.进一步有?x ?

E

,使得任取,有x

?

G

n

?

?

O

(x,

).?x??G

n

,则?n?1G

nE再由E为闭集，可得x∈E从而每个闭集必是可数个开集的交，n

???

E

中点列

{xn

}使得

lim

xn

?

x从而通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并.11nn

nnnnx?

E1

1xn

?

O

(x,

)，即x

-x

?

.进一步有?x ?

E

,使得任取,有x

?

G

n

?

?

O

(x,

).?x?

?G

n

,则?n?1习题例1.证明：任意有限集E是闭集.证明：因为对有限集

E，显然E

?

?

?

E，所以E是闭集.例2.证明：A

是包含A的最小闭集.即对任何闭集F，若F?A,则F?A.证明：设