导数与定积分

专题:导数和定积分基础题下列求导运算正确的是()A.(xfi)'=14--^-B.(x'cosx)'=-2xsinxXX2C-成)'=3xlog3eD.(log：x)'二一^xln2设曲线y=ax-In(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3(f(Xn+h)-f(Xn-3h)(X。)=-3,则lim°°A.-3B・-12C.-9D.-65.A.-3B・-12C.-9D.-65.己知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则A.-1B.2C.-5D.-3TOC\o"1-5"\h\znI6.定积分£2sin2^-dx+jsillxdx的值等于()A.B.—+-C.D.——14242242设f'(x)是函数f(X)的导函数，y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是()己知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是()A.eB.-eC.— D.-—e ef(x)=ax+sinx是R己知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是()A.eB.-eC.— D.-—e ef(x)=ax+sinx是R上的增函数，则实数a的范围是()A.(-8,1]B.(-8,1)C.(1,+8)D.[1,+8)、lb己知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+l=0,若g(X)w则gz(1)=()A.1B.2C.-业D.2212.己知f(x)—x2+sin(—+x)，4 2f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)

的图象是()13-巳知f(X)=x3-ax2+4x有两个极值点Xi、X：,且f(x)在区间(0,1)上有极大值，无极小值,则实数a的取值范围是()试卷第2页，总5页2设点P是曲线y=ex-y/3x+-±的任意一点，P点处的切线的倾斜角为。，则角。的取值范围是()A.[―it)B・[0,—)U[—C.[0,—)U[—D.[—,—^r)523z6zoTTTT下列4个不等式：(1)故JJg打；亦；(2)J勇sinxdxVJ勇cosxdx；(3)JJexdx<J~xdx；(4)J/sinxdxVJ#dx.能够成立的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+F(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+8)B.(-°°,0)U(3,+8)C.(-8,o)U(0,+oo)D.(3，+°°)己知函数f(X)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x/2时其导函数f'(x)满足(x-2)f‘(x)>0,若2<a<4贝U()A.f(2aA.f(2a)<f(3)<f(log：a)C-f(3)<f(log2a)<f(2a)B・f(log：a)<f(3)<f(2a)D-f(log：a)<f(2a)<f(3)试卷第3页，总5页定义在R上的函数f(x)满足f4=1,r(x)为f(x)的导函数，已知函数y=f(x)的图象如图所示.若两正数人满足f(2a+b)<1,则土的取值范围是()a+2己知函数f(x)=x，+2x、ax+l在区间(-1,1)±恰有一个极值点，则实数a的取值范围是20-己知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b《R)的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为竺，则a的值为421-己知函数f(X)=f'(―)cosx+sinx,则f(―)的值为44己知函数f(x)=x3+3ax2+3bx在x=2处有极值，其图象在x=l处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为2-x,x<0,函数=j——°2，贝叮顼3)么的值为试卷第4页，总5页f(x)=hix+—己知函数x，若对任意的xE[l,+oo)及IDc[1,2],不等式八工)2m~—2〃〃+2恒成立，则实数'的取值范围是试卷第5页，总5页本卷山系统自动生成，靖仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案D【解析】试题分析：根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可.解：A・(x+3‘=1・=,3错误.XX2(x"cosx)'=-2xsinx-x~sinx,•LB错误.(3”)'=3sln3,...C错误.(log：x)'=—-—,正确.xln2故选：D.考点：导数的运算.D【解析】D试题分析:根据导数的几何意义，即f'(x。)表示曲线f(x)在x=x。处的切线斜率，再代入计算.:（0）=a-1=2,.•a—3・故答案选D.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.B【解析】TOC\o"1-5"\h\zC21n23r-141试题分析：I(x-a)dx=—x-—ax-—-a；|4cos2xdx=—sni2x=—，两定枳分相2】2J。2023等，则一=——。=＞。=1,故本题的正确选项为B。\o"CurrentDocument"2答案第1页，总13页本卷由系统n动生成，靖仔细校对后使用，答案仅供参考。考点:定积分的计算。B【解析】f(x+h)

试题分析：根据1im 9—f(x-3h)f(x+4m)-f(k)f(x+h)

试题分析：根据1im 9—0=1iMX——9」］h^O颇f(七+血)-f(七+血)-f(%)4m(X0)，利用条件求得结果・(xo)3,liin

h^Of(x+h)-f(x-3h)Q (xo)3,liin

h^Of(x+h)-f(x-3h)Q 0 =HipC4xh^Of(七+血)4mf(x+4m)-f(x)

9 5—)=4fr4m(xo)=4X(-3)=・12,故选:B.考点：导数的运算.C即可得到结论.【解析】试题分析：根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a,b,c的关系,即可得到结论.解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x二是极小值,即2,・1是1(x)=0的两个根,Vf(x)x'+bx~+cx+d,由f'(x)=3ax~+2bx+c=0,-2b得2+(-1)二3a・1X2=q»=・2,Sa即c二・6a,2b=・3a,答案第2页，总13页本卷由系统ri动生成，清仔细校对后使用，答案仅供参考。即f'(x)=3ax~+2bx+c=3ax~-3ax-6a=3a(x-2)(x+1),「苻'(-3)3a(-3-2)(-3+1)-5X(-2)匚则F⑴一知(1-2)(1+1)一=f故选：C考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算.A【解析】试题分析：因为函数y=ewsinx是奇函数，所以「/lsm〃r=O，所以&sin21事工+Jfsinxdxr?1-COSX.z11.、三,兀1.兀、八兀1皿、鼻==(—x——smx)2=(sin—)-0=.故选A.J。222042242考点:微积分基本定理.B【解析】试题分析：首先对f(X)求导，将f'(1)看成常数，再将1代入，求出f'⑴的值，化简f'(X),最后将x=0代入即可.解:因为f'(x)=2x+2f‘(1),令x=l,可得f'(1)=2+2ff(1),:.ff(1)=・2,:.ff(x)=2x+2fz(1)=2x-4,当x=0,f'(0)=-4.故选B.考点：导数的运算.答案第3页，总13页本卷由系统I'l动生成，清仔细校对后使用，答案仅供参考。C【解析】试题分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0的范闱和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间.解：由y=f'（X）的图象易得当xVO或x>2时，f'（X）>0,故函数y=f（x）在区间（-8,0）和（2,+8）上单调递增；当0VxV2时,f'（x）<0,故函数y=f（x）在区间（0,2）上单调递减；故选C.考点：函数的单调性与导数的关系.C【解析】试题分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.解：Vy=lnx,:•寸—，X设切点为（m,Inm）,得切线的斜率为』，TT所以曲线在点（m,Inm）处的切线方程为:y-lrmMx（x-m）.IT匕原点，•.-1nm—-1,••m—c,Ak=-.e故选c.考点：导数的几何意义.D【解析】试题分析:求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.答案第4页，总13页本卷由系统n动生成，靖仔细校对后使用，答案仅供参考。解：Vf(x)=ax+sinx是R上的增函数,・•・「(X)20恒成立，即「(x)=a+cosx>0/即a>・cosx,•/-1<-COSX<1,."21,故选：D考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质.A【解析】试题分析：求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可.解：•・•函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+l=0,Af(1)=1,f‘(1)=1,(v)f(X)-xfz(x)则/(1)—I

f(1)-r则/(1)—I

f(1)-r⑴2_2_iI[f(1)F2'故选:A.考i-i.V八、、•利用导数研究曲线上某点切线方程.A【解析】试题分析：先化简f(X)x'+sin(―+z)=Ix2+cosx,再求其导数，得出导函数是奇函424答案第5页，总13页本卷由系统n动生成，靖仔细校对后使用，答案仅供参考。数，排除B,D.再根据导函数的导函数小于0的x的范同确定导函数在(-主，生)上TOC\o"1-5"\h\z33单调递减，从而排除C,即可得出正确答案.解：由f(x)—x2+sin+—x2+cosx,\o"CurrentDocument"424•••"(x)=Ax-sinx,它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,D.2又f"(x)—-cosx,当-时,cosx>],f(x)VO,\o"CurrentDocument"332故函数y瑚(X)在区间(-业，—)上单调递减，故排除C.3故选：A.考点：函数的单调性与导数的关系；函数的图象.A【解析】试题分析：求导函数，利用f(X)在区间(0,1)上有极大值，无极小值，可得f'(x)=0的两个根中：xi6(0,1),x：>l,由此可得结论.解：由题意，f'(x)=3/・2ax+4Vf(x)在区间(0,1)上有极大值，无极小值，/.fT(X)=0的两个根中：x】€(0,1),x2>l..•f‘(0)=4>0,f‘(1)=7-2aV0,解得&2故选A.考点：函数在某点取得极值的条件.B【解析】试题分析：由己知—，所以tana"-后〉-必，因为。日0,兀)，所以答案第6页，总13页本卷由系统n动生成，靖仔细校对后使用，答案仅供参考。ac[o，m)u(；，兀).故选成考点：导数的几何意义，直线的倾斜角，正切函数的性质.TOC\o"1-5"\h\zD【解析】试题分析：利用函数的单调性、定积分的性质即可判断得出.解：(1)由于xE(°,1)，・・・出<扳，・•・JJ；扳dx：兀兀*/x£[0,,「•sinxVcosx,JjsinxdxVJjcosxdx；\o"CurrentDocument"22Ve-«<e~x,.•・JleXdx<J*-xdx；令f(x)=x-sinXfxE[0，2]，则f'(x)=1-cosx》0,「.「§sinxdx<「gxdx.J0JU综上可得:正确的命题有4个.故选:D.考点:微积分基本定理.A【解析】试题分析：构造函数g(x)=exf(X)-e\(xGR)，研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解:设g(x)=exf(x)-ex,(xER),则g'(x)=exf(x)+exf(x)-ex=ex[f(x)+f(x)-1],Vf(x)+f'(x)>l,Af(x)+f'(x)・l>0,Agz(x)>0,Ay=g(x)在定义域上单调递增,答案第7页，总13页本卷由系统I'l动生成，清仔细校对后使用，答案仅供参考。*.*exf(x)>ex+3,.*.g(x)>3,又•.％(0)—e°f(0)-e°=4-1=3,・・・g(x)>g(0),・・・x>0故选：A.考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算.B【解析】试题分析：由函数的性质得到函数的对称轴，再由(x-2)f'(x)>0得到函数的单调区间，由函数的单调性得到要证得结论.解：函数f(x)对定义域R内任意x都有f(x)=f(4-x),即函数图象的对称轴是x=2V(x・2)f‘(x)>0.*.x>2时，f'(x)>0,xV2时，f'(x)<0即f(x)在(-8,2)上递减，在(2,+8)上递增V2<a<4•••Klog2a<2<3<4<2a-f(log2a)<f(3)<f(2a)•故选B.考点：导数的运算.D【解析】试题分析：由导数的图像可知，当工£(一8,0)时，函数是单调递减函数，当x£(0,+s)时,答案第8页，总13页本卷由系统ri动生成，清仔细校对后使用，答案仅供参考。1q函数是单调递增函数，所以当a>O.b>0时，只需满足2a+b<4时，求工的取值范a+2a>01Q围，看成线性规划问题，即">0时，求^=—的取值范围，如图，可行域为如图fa+22a+b<4阴影部分，目标函数表示可行域内的点和。（-2,-2）连线的斜率的取值范围，可知B（2,0B（2,0）,C（0,4）,斜率的最小值是岑并Ih，所以斜率的CD取值范围是故选D。考点：lo导数的基本应用;2.线性规划.【方法点睛】本题考查了导数的基本应用与线性规划的简单综合，属于中档题型，本题的一个难点是平时做线性规划的问题都是关于X,的约束条件和目标函数，现在是关于Z?的式子，所以首先要打破做题习惯的束缚，第二个难点是给出导数的图像，要会分析原函数的单调性，根据函数的单调性会解不等式f（2o+/0<l=/（4）,将此不等式转化为关于。力的不等式组，即约束条件，理解z=—表示的几何意义，问题就变得简单了.a+2・lWaV7答案第9页，总13页本卷由系统I'l动生成，清仔细校对后使用，答案仅供参考。【解析】试题分析：首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f(x)=x3+2x2-ax+1在区间(-1,1)上恰有一个极值点，所以f'(-l)f'(1X0,进而验证a二-1与a=7时是否符合题意，即可求答案.解：由题意，f'(x)=3x"+4x-a,当f'(-l)f'(1)V。时，函数f(x)=X3+2X2-ax+l在区间(-1,1)上恰有一个极值点,解得-lVaV7,当a=-l,时，f'(x)=3x'+4x+l=0,在(T,1)上恰有一根x=-—,3当a=7时，f(x)=3x2+4x-7=0在(・1,1)上无实根，则a的取值范围是-lWaV7,故答案为-lWaV7.考点：函数在某点取得极值的条件.-3【解析】试题分析：由图可知f(x)=0得到x的解确定出b的值，确定出f(x)的解析式，由于阴影部分面枳为竺，利用定积分求面枳的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可.4解：由图知方程f(X)二。有两个相等的实根Xx=X-0,于是b=0,43I—-4•，・f(x)(x+a),有m二Jn-(x3+ax2)ldx=~(斗)二*,45xuIQJ.•*.a二±3・又-a>0=>a<0,得定・3・故答案为：-3.考点：定积分.1【解析】答案第10页，总13页本卷山系统n动生成，靖仔细校对后使用，答案仅供参考。试题分析：利用求导法则：(sinx)f=cosx及(cosx)9=-sinx,求出f'(x),然后把x等于匹代入到f‘(x)中，利用特殊角的三角函数值即可求出fz(―)的值，把F(―)444的值代入到f(x)后，把X二史代入到f(X)中，利用特殊角的三角函数值即可求出f(―)4的值.TT解：因为f‘(x)=-fr()Xsinx+cosx4所以r地*弓）xsinA+cosA解得f,（兰）诚-14:Hrq,兀兀、兀・7TV2/饵1、故f（——）=f（——）COS——+sm———（V2-1）+^-==1444422故答案为1.考点：导数的运算；函数的值.7(3,方)【解析】7试题分析：由题意得，/(x)=|x3-x2+av-l的导数为广(工)=2/-2工+〃，由题意可得2工'一2工+。=3,即2工'一2工+。一3=0有两个不等的正根，则△=4一8(。一3)>0，17xkx2=—（d-3）>0,解得3<a<—考点：利用导数研充函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及导数的几何意义、导数在函数问题中应用，着重考查了二次方程实数根的分布，以及韦达定理的运用，同时考查了运算能力和分析、解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，求出函数/(*)的导数，由题意可转化为方程2x2-2x+a-3=0有两个不等的正根，运用判别式和韦达定理列出条件，即可求解实数。的取值范围.4答案第11页，总13页本卷由系统n动生成，靖仔细