14结构的稳定计算(清华版)详解

第十五章结构的稳定计算§15-1两类稳定问题概述§15-2两类稳定问题计算简例§15-3有限自由度体系的稳定

——静力法和能量法本课程主要内容高强度材料应用、结构形式的发展，结构趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算日益重要。失稳大到整个结构，小到局部构件！钢筋的失稳（纵筋与箍筋的绑扎－箍筋的间距）；柱模板（沿高度方向加箍）;

桁架中的受压杆件（上弦杆）；高层结构中受压柱的失稳（轴压比）。共性：①受压；

②几何特征问题。（强度与长细比的关系）一、结构设计应满足三方面的要求

1、强度2、刚度3、稳定性。二、基本概念

1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称“失稳”

2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。

3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。

强度问题与稳定问题（1）两种极限状态：我国《规范》规定：在进行建筑结构设计时必须考虑两种极限状态。

1）承载能力极限状态（Ultimatelimitstate）指结构或构件达到最大承载力或达到不适合继续承载的变形的极限状态。主要包括结构、构件的强度（Strength）和稳定（Stability）的计算。

2）正常使用极限状态（Serviceabilitylimitstate）指结构或构件达到正常使用或耐久性的某项规定限值，如轴心受压杆的长细比：梁的挠度：梁的裂缝宽度：（2）强度、稳定问题的区别：

1）强度问题指由作用（Action）对结构或构件产生的截面最大内力（或截面上某点的最大应力）是否超过截面的承载能力（或材料强度），因此，强度问题是应力问题。

2）稳定问题是要找出作用与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态即变形开始急剧增大的状态，从而设法避免进入该状态，因此，稳定问题是一种变形问题。说明：作用直接作用：如：永久荷载、可变荷载，等间接作用：如：地震、基础沉降、砼收缩、温度变化，等（3）弹性稳定问题的特点：

一阶分析（FOA－FirstOrderAnalysis）以未变形的结构变形分析它的平衡，不考虑变形对作用效应的影响。应力问题通常采用一阶分析，也称线性分析。

二阶分析（SOA－SecondOrderAnalysis）针对已变形的结构变形分析它的平衡，考虑变形对作用效应的影响。稳定问题则采用二阶分析，也称几何非线性分析。

1）稳定问题采用二阶分析小变形，可用一阶分析计算。叠加原理适用条件：材料符合虎克定律：强度问题（应力）稳定问题（变形）

2）不能应用叠加原理

3）稳定问题不必区分静定和超静定结构§15-1两类稳定问题概述平衡状态从稳定性角度考察稳定平衡状态：干扰消失后，结构能够回到原来的平衡位置。不稳定平衡状态：结构继续偏离，不能回到原来的位置。中性平衡状态：由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态假设结构原来处于某个平衡状态，后来由于受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置分析方法大挠度理论。小挠度理论。静力法能量法刚性小球平衡状态(1)稳定平衡状态(2)不稳定平衡状态(3)随遇平衡状态根据受力状态稳定问题分类1.完善体系：理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将变化，也即随荷载变大有分叉点，称分支点稳定。分支点失稳失稳前后平衡状态的变形性质发生变化2.非完善体系受压杆有初曲率或受偏心荷载，为压弯联合受力状态非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷载反而减少），这类稳定现象称极值点稳定。极值点失稳失稳前后变形性质没有变化FPcr

cr突跳失稳FPcr

cr由受压变成受拉，系统产生翻转C3、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性.⑴分支点失稳：（第一类失稳）完善体系（或称理想体系）直杆（无初曲率），中心受压（无初偏心）。Pl/2l/2PΔOP1<Pcr=1<PcrABP1Pcr原始平衡状态是稳定的是唯一的P2>PcrΔⅠ(稳定)Ⅰ(不稳定)Ⅱ(大挠度理论)Ⅱ(小挠度理论)DD´P2原始平衡状态是不稳定的。存在两种不同形式的平衡状态(直线、弯曲）。分支点B将原始平衡路径Ⅰ

分为两段。在分支点B出现平衡的二重性。原始平衡由稳定转变为不稳定。临界荷载、临界状态2>Pcr由于荷载自Pcr至压溃历程极短，故Pcr就成了失稳的标志。而大挠度理论和小挠度理论求出的临界荷载十分贴近，可采用简单的小挠度理论求Pcr。

Pcr

Pcrqcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合

Pcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合原始平衡：平面弯曲新平衡形式：斜弯曲加扭转结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，这种现象带有突然性——质变失稳。分支点失稳的特点：其它结构的分支点失稳⑵极值点失稳：（第二类失稳）非完善体系：具有初曲率的压杆承受偏心荷载的压杆

P

PPΔOPcr(大挠度理论)(小挠度理论)PePe接近于中心压杆的欧拉临界荷载稳定问题与强度问题的区别：强度问题是在稳定平衡状态下：当,小变形，进行线性分析（一阶分析）。当,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。重点是求内力、应力稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。非线性分析，叠加原理不再适用。极值点失稳的特点：结构一开始受压就处于压弯状态，失稳与稳定无明显的界限，只是当接近失稳时，荷载增加很小，而挠度迅速增加。P-Δ曲线具有极值点。由于结构的变形过大，结构将不能正常使用——量变失稳。一、分支点失稳lEIP---临界荷载稳定平衡中性平衡不稳定平衡PP完善体系结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。二、极值点失稳偏心受压PP有初曲率非完善体系虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。pcrpe稳定自由度P1个自由度PP2个自由度无限自由度§15-2两类稳定问题计算简例在稳定计算中，一个体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的独立几何参数的数目。

稳定问题的分析方法在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论：线性理论(小挠度理论)中变形是一阶微量，计算中将略去高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时的实验结果有较大偏差。非线性理论(大挠度理论)中考虑有限变形对平衡的影响，其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复杂。

Plk1、单自由度完善体系的分支点失稳EI=∞1）按大挠度理论分析

PθRAPθOAPcrBⅠ(稳定)Ⅰ(不稳定)Ⅱ(大挠度理论)不稳定平衡Ⅱ(小挠度理论)随遇平衡分支点A处的临界平衡也是不稳定的。2）按小挠度理论分析

(θ<<1)小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当θ较大时平衡路径Ⅱ的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。注:1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。

2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。

Plk2、单自由度非完善体系的极值点失稳EI=∞1）按大挠度理论分析

P

θRAεP/klθOε=0ε=0.1ε=0.210.7850.380.6600.421.371.47π/2P/klεO10.20.6600.10.7850.30.556这个非完善体系是极值点失稳.Pcr

随ε增大而减小.

PlkEI=∞2）按小挠度理论分析

PθRAεP/klθO设：ε<<1，θ<<1，再按泰勒公式展开，并取其一阶微量。ε=0ε=0.1ε=0.2ε=00.40.81.21.610.80.60.40.2(1).各曲线都以水平直线P/kl=1为渐近线,并得出相同的临界荷载值Pcr=kl；(2).对于非完善体系，小挠度理论不能得出随着ε的增大Pcr会逐渐减小的结论。3、几点认识1）一般说来，完善体系发生分支点失稳，非完善体系生极值点失稳。2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为临界荷载的上限考虑。

以下只讨论完善体系分支点失稳问题，并由小挠度理论求临界荷载。§15-3有限自由度体系的稳定

——静力法和能量法稳定计算最基本最重要的方法静力法：考虑临界状态的静力特征。（平衡形式的二重性）能量法：考虑临界状态的能量特征。（势能有驻值，位移有非零解）PlABk要点是利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外寻找新的平衡位置，列平衡方程，由此求临界荷载。lθ=0，原始平衡θ≠0，新平衡形式特征方程（稳定方程）临界荷载MA=kθ

确定体系变形形式(新的平衡形式)的独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.PAB转动刚度系数kB´λθEI=∞1、静力法对于具有n个自由度的结构，新的平衡形式需要n个独立的位移参数确定，在新的平衡形式下也可列出n个独立的平衡方程，它们是以n个独立的位移参数为未知量的齐次代数方程组。根据临界状态的静力特征，该齐次方程组除零解外（对应于原有平衡形式），还应有非零解（对应于新的平衡形式），故应使方程组的系数行列式为零，D=0即为稳定方程，从稳定方程求出的最小根即为临界荷载Pcr。例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方法求其临界荷载。lllPkkABCDPkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）静力法设变形状态求支座反力列变形状态的平衡方程（a）如果系数行列式=0y1，y2不为零，对应新的平衡形式。ABCD1-1对称问题可利用对称性做。P2、能量法静力法对等截面压杆的稳定分析较为简单，而对变截面杆、有轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。刚性小球运动稳定性与能量的关系设静止点A、B、C点Ep=0ABCA点为稳定平衡，偏离A点δEp＞０其势能将增加，故知稳定平衡位置的势能为最小。B点为随遇平衡，偏离B点δEp=０势能不变。C点为不稳定平衡，偏离C点δEp＜０其势能将减小，故知不稳定平衡位置的势能为最大。

对于弹性变形体系，其稳定性与能量的关系与刚性小球情况相似。设原始平衡状态为零势能点，让体系微小偏移，荷载在位移上做功W（外力势能UP=－W）使体系偏移，内力在变形上产生变性能U，使体系恢复原位置。总势能Ep=U+UP即总势能的增量δEp。

如总势能Ep=U+UP>0（δΠ>0），体系能恢复原位置，平衡是稳定的；

如总势能Ep=U+UP=0（δΠ=0），体系能在任意位置平衡，平衡为中性的；如总势能Ep=U+UP<0（δΠ<0），体系不能恢复原位置，平衡是不稳定的。

用能量法求临界荷载，依据于临界状态的平衡条件，它等价于势能驻值原理：弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即δEp=0PlABklMA=kθPABB´λθEI=∞Π=0弹性体系的平衡方程

势能驻值原理：对于弹性体系，在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能Π为驻值，即：δEp=0,Ep=应变能U+外力势能UPMA=kθ22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=kθ弹性应变能荷载势能:应用势能驻值条件:位移有非零解得：PlABkB´λθEI=∞

总势能是位移θ的二次函数，1）P<k/l，当θ≠0，Ep恒大于零（Ep为正定）(即U>UP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)当θ=0，Ep为极小值0。对于稳定平衡状态，真实的位移使Ep为极小值2）P>k/l，当θ≠0，Ep恒小于零（Ep为负定）(即U<UP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置)。当θ=0，Ep为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。3）P=k/l

，当θ为任意值时，Ep恒等于零(即U=UP)。体系处于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l

。θΠP<PcrθΠP>PcrθΠP=Pcr结论：1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能为驻值δEp=0

，且位移有非零解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr

时，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。Pkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位置各杆端的相对水平位移)(1222121+-=yyyyl])([212221221+-+=\yyyyllD点的水平位移弹性支座应变能:)(22221+=yykU荷载势能:)(222121+--=-=yyyylPPUPl体系总势能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPEp势能驻值条件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=¶¶=¶¶yyEpEp以后的计算步骤同静力法能量法步骤:①给出新的平衡形式;②写出总势能表达式;③建立势能驻值条件;④应用位移有非零解的条件,得出特征方程;⑤解出特征值,其中最小的即临界荷载Pcr。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。体系总势能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPEp总势能Ep是位移y1、y2的对称实数二次型。1）如果P<kl/3=Pcr，Π是正定的。5）如果kl/3<P<kl，Π是不定的。2）如果P=kl/3=Pcr，Π是半正定的（当y1=－y2时，Π=0）。4）如果P=kl，Π是半负定的（当y1=y2时，Π=0）。3）如果P>kl，Π是负定的。由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是：在荷载达到临界值的前后，势能Π由正定过渡到非正定。（或说：势能达驻值，位移有非零值）非正定PPllABCk例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。1、静力法：两个自由度，取θ1θ2

为位移参数，设失稳曲线如图。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程并求解：求失稳曲线：实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线2、能量法：外力势能：PPllABCk2qk()21qq-kλ应变能：总势能：根据势能驻值条件：由位移参数不全为零得稳定方程：以下计算同静力法。例3：用静力法求图示体系的临界荷载。两个自由度，取θ1θ2

为位移参数，设失稳曲线如图。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP例3：用能量法求图示体系的临界荷载。两个自由度，取θ1θ2

为位移参数，设失稳曲线如图。求变形能和外力势能：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。P例4：用静力法求图示体系的临界荷载。EI=∞两个自由度，取Δ1Δ2

为位移参数，设失稳曲线如图。分析受力列平衡方程：由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’1-1P例4：用能量法求图示体系的临界荷载。EI=∞两个自由度，取Δ1Δ2

为位移参数，设失稳曲线如图。由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’求变形能和外力势能：Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求

EI=∞1