初中数学几何模型大全(精心整理)

三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360°∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=12∠A外外角平分线模型∠D=90°-12平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型D是BC的中点S△ABD=S△ACD倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD=S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CFAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12∠得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。将军饮马问题PA+PB的最小值已知点C.求CA+CB+AB和为最小值已知点B.求CA+CB+AB和为最小值已知AB.求作四边形使得周长最小。已知A.D两点.求作AB+BC+CD和最小。已知点A,B,D.求作四边形周长最小.已知点AB,求作五边形周长最小。求作六边形周长最小值.对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。旋转最值(共线有最值)说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型三角形→四边形四边形→四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形→正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形→正方形面积等分费马点模型：点0到三个定点的距离和最小。中位线模型：DE//BCDE=12B直角三角形斜边中线模型DB=12平移构造全等旋转半角模型对称构造全等模型对称半角模型射影定理模型①CD²=AD·DB；②BC²=BD·BA；③AC²=AD·AB；④AC·BC=AB·CD相似八大模型旋转相似模型两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。相似模型注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。二次函数中平行四边形存在性模型手拉手模型旋转型全等等边三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED等腰直角三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED模型二：手拉手模型旋转型相似一般情况【条件】：CD∥AB，将△OCD旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA特殊情况【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°将△OCD旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤连接AD、BC，必有；⑥模型三、对角互补模型全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=OC；③全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：原结论变成：①；②；③。可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③注意OC平分∠AOB时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？模型四：角含半角模型90°角含半角模型90°1【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【结论】：①∠EAF=45°；角含半角模型90°2【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE；角含半角模型90°3【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【结论】：（如图1）若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论仍然成立（如图2）角含半角模型90°变形【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：△AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型倍长中线类模型1【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【结论】：AF⊥CF模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。倍长中线类模型2【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360°旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型倍长中线法【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；突破点：△ABD≌△CBG；难点：证明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型补全法【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC；辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF。任意相似直角三角形360°旋转模型补全法【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。任意相似直角三角形360°旋转模型倍长法【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD最短路程模型最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：①动点在直线上；②起点，终点固定最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？辅助线：将作Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，则MP+PQ=MP+PQ’MH(垂线段最短）最短路程模型二（点到直线类2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【问题】：n为何值时，最小？求解方法：①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若PA的最大值为10，则OC=6；若PA的最小值为1，则OC=3；若PA的最小值为2，则PC的取值范围是0<PC<2【条件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；⑤△OBC绕点O旋转【结论】：PA最大值为OA+OB=；PA的最小值为如下图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。模型八：二倍角模型【条件】：在△ABC中，∠B=2∠C；辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、则BA=AA’=CA’(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型A字型8字型A字型相似三角形模型--基本型平行类：DE∥BC；结论：(注意对应边要对应）相似三角形模型斜交型【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°；【结论】：AE×AB=AC×AD【条件】：如右图，∠ACE=∠ABC；【结论】：AC2=AE×AB第四个图还存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；相似三角形模型一线三等角型【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；（3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【结论】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。相似三角形模型圆幂定理型【条件】：（2）图：PA为圆的切线；【结论】：（1）图：PA×PB=PC×PD；（2）图：PA2=PC×PB;（3）图：PA×PB=PC×PD；以上结论均可以通过相似三角形进行证明。全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。旋转最值(共线有最值)说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型三角形→四边形四边形→四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。矩形→正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形→正方形面积等分旋转相似模型两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。相似模型说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．AFAFGCEBODAPCDAPCDB求证：△PBC是正三角形．（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1DD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）ANANFECDMB求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．·A·ADHEMCBO（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．·GAODB·GAODBECQPNM求证：AP＝AQ．3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．·O·OQPBDECNM·A4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．PCPCGFBQADE经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．AFAFDECB2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）EEDACBF3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．DFEDFEPCBAODODBFAECP经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．APAPCB2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）PPADCB3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）CCBDA4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）FFPDECBA经典难题（五）设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．AAPCB2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．ACACBPDACBPACBPDEDCBA4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30EDCBA经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,从而可得∠A2B2C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于，由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。从而可得PQ==，从而得证。经典难题（三）1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。经典难题（四）顺时针旋转△ABP600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角