北师大版九年级数学上册 专题3.8 圆周角和圆心角的关系（专项练习）

专题3.8圆周角和圆心角的关系（专项练习）填空题知识点一、圆周角概念1．如图，点均在圆上，则图中有________个圆周角．2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=__________．在半径为的中，弦、分别是、，则的度数为________．知识点二、圆周角定理4．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．5．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____6．如图，点、、、、在上，且弧为，则________．7．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=_____．8．如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．9．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______．10．如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是_____．12．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．13．如图，是⊙的直径，、是⊙上的两点，，则_____．知识点三、同弧或等弧所对的圆周角相等14．如图，点，，，在上，，，，则________．15．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=______．17．如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．18．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．19．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．20．如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．21．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为______．22．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____°．23．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA=CD，∠ACD=80°，则∠CAB=__°24．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.知识点四、半圆或直径所对的圆周角等于90度25．如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为__．26．如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为_______．27．如图，ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=_____．28．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．29．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，则∠BCD的度数___．30．如图，是的外接圆的直径，若，则______．31．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________

．32．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是________．33．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，则AC＝__________.知识点五、90度的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆34．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____．35．如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是_____．36．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝_____．37．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是度．38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为_____．39．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为_____．40．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，AC＝BC，AD与CB交于点E．∠DAB＝25°，则∠E＝___．41．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为__．42．如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC＝30°，则点C的坐标为__．43．如图所示，：是直径，________，反之，，________.知识点六、圆周角综合训练二、解答题44．已知⊙的直径为，点，点，点在⊙上，的平分线交⊙于点．（）如图①，若为⊙的直径，，求，，的长．（）如图②，若，求的长．45．如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.（1）BD与DE相等吗？为什么?（2）若∠BAC=90°，DE=4，求△ABC外接圆的半径.46．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，(1)求证：AE是⊙O的直径；(2)若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．47．已知是上一点，过点作不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点(不与，重合)，连接、若．（1）如图1，当，，时，求的半径；（2）如图2，选接，交于点，点在线段上(不与重合)，连接，若，探究直线与的位置关系，并证明．48．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．参考答案1．8【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可把顶点分别为A、B、C、D的圆周角数出来，即可得到答案．【详解】解：以点为顶点的圆周角各有1个，以点为顶点的圆周角各有3个，共有8个圆周角．故答案为8．【点拨】本题考查圆周角的定义和分类思想的应用，根据圆周角的定义对图中圆周角进行分类统计即可得到正确答案．2．【分析】连接OD,则OD=OB=OC，由DE=OB,得OD=OB=OC=DE，所以，∠E=∠DOE,∠C=∠CDO，再证∠CDO=2∠E,∠C=2∠E,可得∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°.【详解】连接OD,则OD=OB=OC因为，DE=OB,所以，OD=OB=OC=DE所以，∠E=∠DOE,∠C=∠CDO所以，∠CDO=2∠E,所以，∠C=2∠E,所以，∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°，所以，∠E=故答案为【点拨】本题考核知识点：圆半径的性质，等腰三角形性质,三角形外角性质.解题关键点：利用三角形的外角和等腰三角形性质得到角的关系.3．或【分析】根据圆的对称性分两种情况讨论求解．【详解】如图一，分别连接OA，OB，OC．做OD⊥AB于D，OE⊥AC．∴AD=，AE=．∵OA=1，∵，，∴∠AOD=45°，∠AOE=60°．∴∠AOC=120°，∠AOB=90°．∴∠BOC=150°，∴∠BAC=75°．（圆周角定理）如图二，∠BOC=120°-90°=30°，∴∠BAC=15°．故答案为15°或75°．【点拨】本题综合考查了特殊角的三角函数值、垂径定理和圆周角的求法及性质．4．40【分析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．【详解】连接BD，如图，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°，故答案为40．【点拨】本题考查了圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，正确添加辅助线是解题的关键.5．【分析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.【详解】解：连接OA，OC，∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=，∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，故答案为.【点拨】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.6．【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得.【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧为，所以.顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：,，.【点拨】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.7．15°【详解】分析：根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．详解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°-60°=30°，∴∠ABC=15°，故答案为15°点拨：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．4【详解】分析：连接CD，由圆周角定理可知∠ACD=90°，再根据∠DAC=∠ABC可知AC=CD，由勾股定理即可得出AD的长.详解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC，∴弧CD=弧AC∴AC=CD，又∵AC2+CD2=AD2，∴2AC2=AD2，∵AC=4∴AD=4故答案为4.点拨：本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．65°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数【详解】解:∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°．∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为:65°【点拨】本题考查圆周角定理及直角三角形两锐角的关系，难度不大．10．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【详解】，，，，，故答案为．【点拨】此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出11．6【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．【详解】解：作直径CD，如图，连接BD，∵CD为⊙O直径，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，∴BD＝BC＝×6＝6，∴CD＝2BD＝12，∴OC＝6，即⊙O的半径是6．故答案为6．【点拨】本题主要考查圆周角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握圆周角的性质.12．60°解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°13．【分析】先利用邻补角计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．【详解】，．故答案为．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．70°【分析】根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.【详解】∵=，∴，∴，∵，∴．故答案为【点拨】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.15．1【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【详解】解：∵AB为直径，∴，∵，∴．故答案为1．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．16．70°【详解】解：连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB=∠DAB=20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=70°，故答案为70°．【点拨】本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解本题的关键.17．50【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【详解】∵是的外接圆的直径，∴点，，，在上，∵，∴，故答案为：50．【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．18．29【分析】由等弧所对的圆心角相等，可知∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理可知，∠BDC=∠BOC求解即可；【详解】解：连接OC，∵=，∴∠AOB=∠BOC=58°，∴∠BDC=∠BOC=29°，故答案为29．【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．30°【分析】连接OC,由题意得出△AOC是等边三角形即可解答.【详解】如图，连接OC．∵AB是直径，，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°﹣60°=30°．故答案为30°【点拨】本题考查了等弧所对的圆心角相等的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关知识.20．62°试题分析：连接AD，根据AB是直径，可知∠ADB=90°，然后根据同弧所对的圆周角可得∠BAD=∠DCB=28°，然后根据直角三角形的两锐角互补可得∠ABD=62°.故答案为：62.点拨：此题主要考查了圆周角定理，解题时先利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解.21．50°试题分析：连接OA，由题意得，∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=80°．∵OA=OB（都是半径），∴∠ABO=∠OAB=（180°﹣∠AOB）=50°．22．35【分析】如图（见解析），连接AD，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得．【详解】如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴，即又由圆周角定理得：∵∴故答案为：35．【点拨】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键．23．40【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题．【详解】解：如图，

连接BC，

∵CA=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∵∠ACD=80°，

∴∠CAD+∠CDA+∠ACD=180°

∴∠CAD=∠CDA=（180°-∠ACD）=50°，

∴∠ABC=∠ADC=50°（同弧所对的圆周角相等），

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°-∠B=40°．

故答案为：40．【点拨】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．24．1【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠A=∠CDB=30°，

∴BC=AB=，故答案为1．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．25．【详解】由题意得：四边形为等腰梯形.平分又为直径四边形周长为1026．【分析】连接OD，AD，根据已知可得OC平分∠BCD，根据BC=DC，即可得到BD⊥CO，根据已知可以推得CO⊥BD，再根据AB为直径，继而可得AD//CO，结合AE=AO=2，则可得AD=1，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BD的长.【详解】连接OD，AD，∵BC=CD，BO=DO，∴∠1=∠2，∠3=∠DBO，∴∠1+∠3=∠2+∠DBO，∴∠CDO=∠CBO，∵OC=OB=OD，∴∠BCO=∠DCO，∴CO为等腰△BCD的角平分线，∴CO⊥BD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠3+∠5=∠3+∠4=90°，∴∠4=∠5，∴AD//CO，∵AE=AO=2，∴AD=CO=1，在Rt△ABD中，BD=.【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理等，综合性较强，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.27．【分析】试题分析：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°.∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°﹣90°=30°．∴∠CBD=∠CAD=30°.又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°.∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC.∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°.∵AD=6，∴在Rt△ABD中，.在Rt△BCD中，.【详解】请在此输入详解！28．27°【分析】根据题意易得∠ACB＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，∴∠D＝∠A＝27°．故答案为27°．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．29．35°【分析】连接AD，根据圆周角的性质得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠DAB=35°，最后根据同弧多对圆周角相等即可求解．【详解】连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵∠ABD=55°∵∠DAB=90°-55°=35°∴∠BCD=∠DAB=35°故答案为35°．【点拨】本题考查了圆周角定理，正确的做出辅助线是本题的关键，并且要熟练应用圆周角的性质．30．【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=50°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【详解】连接BD，如图，

∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴∠D=90°-∠BAD=90°-40°=50°，

∴∠ACB=∠D=50°．

故答案为：50．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．31．40°连接CD,则∠ADC=∠ABC=50°,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°,故答案为:40°.32．【详解】连接AC，根据∠ABC=90°可得AC为直径，则∠ADC=90°，根据Rt△ACD的勾股定理可得：AC=.33．【分析】以B为圆心，BA长为半径作圆，延长AB交⊙B于E，连接CE，由圆周角定理的推论得，进而CE=AD=1，由直径所对的圆周角是直角，有勾股定理即可求得AC的长.【详解】如图，以B为圆心，BA长为半径作圆，延长AB交⊙B于E，连接CE，∵AB=BC=BD=2，∴C，D在⊙B上，∵AB∥CD，∴，∴CE=AD，∵AD=1，∴CE=AD=1，AE=AB+BE=2AB=4，∵AE是⊙B的直径，∴∠ACE=90º，∴AC==，故答案为.【点拨】本题借助于圆的模型把三角形的问题转化为圆的性质的问题，再解题过程中需让学生体会这种转化的方法.34．8【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．解：连接AD，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径．∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴AD=BD=5．∵AB是⊙O的直径，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB==10．∵AC=6，∴BC==8．故答案为：8．【点拨】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．35．30°【分析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.【详解】连接CD.由题意得∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径.∵D（0，1），C（，0），∴OD=1，OC=，∴CD==2，∴∠OCD=30°，∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）

故答案为30°.【点拨】本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.36．28°∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABD=62°，∴∠ACD=∠ABD=62°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=28°．故答案为28°．点拨：本题考查圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．37．144【详解】连接OE，∵∠ACB=90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，∵∠ACE=3°×24=72°，∴∠AOE=2∠ACE=144°，∴点E在量角器上对应的读数是：144°，故答案为144.38．﹣6【分析】取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，即可求出BE.【详解】如图，取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，可得此时OE=OC=OA=6,在RT△OCB中，,故BE的最短值为：OB-OE=-6,故答案：-6.【点拨】本题考查了圆的直径所对的圆周角为直角，及最短路径问题，难度较大，灵活运用所学知识能顺利求出答案.39．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理可知∠A的度数，根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半即可得知BC的长，同理可得出BE的长，根据勾股定理即可求出EC的长，根据垂径定理即可得出答案.【详解】∵AB是⊙O的直径，直径AB垂直于弦CD∴∠ACB＝90°，∠CEB=90°∵∠B＝60°，∴∠A＝30°，∠BCE=30°，∵AO=4，∴AB=2OA=8∴BC=4,BE=2∴CE＝，∵直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∴CD＝2CE＝，故答案为：．【点拨】本题考查的是圆周角推论、勾股定理、垂径定理和含30°角的直角三角形，能够综合调动所学知识解答是本题的关键.40．20°．【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ABC＝45°，根据三角形外角性质求出即可．解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵∠DAB＝25°，∴∠E＝∠CBA﹣∠DAB＝20°，故答案为20°．【点拨】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键．41．40°【分析】根据三角形的内角和定理和得到∠ODC的度数，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，可得到结果.解：∵∠A＝60°，∠ABC＝20°，∴∠ODC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠C＝180°﹣100°﹣40°＝40°故答案为：40°【点拨】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．42．(0，5)【分析】设圆与x轴交于D，连接CD，由圆周角为直角∠COD=90º，则CD为直径，在RtlΔOCD中同弧所对圆周角∠CDO=∠OBC＝30°，由三角函数求CO即可．解：设圆与x轴交于D，连接CD，∵∠COD=90º，∴CD为直径，∴CD=10，∴∠OBC＝30°，∴∠CDO=∠OBC＝30°,∴OC=CD•sin30º=5∴C(0，5)．故答案为:（0，5）．【点拨】本题考查C点的坐标问题，引辅助线构造直角三角形，用同弧所对圆周角推出∠CDO，利用三角函数解决问题是关键．43．90°AB是直径【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”及“90°的圆周角所对的弦是直径”解答即可.【详解】是直径，90°反之，，∴AB是直径故答案为：90°，AB是直径【点拨】本题考查的是圆周角定理的推论，掌握“直径所对的圆周角是直角”及“90°的圆周角所对的弦是直径”是关键.44．（1）AC=8，BD=CD=5；（2）5.【分析】(1)根据直径得出∠CAB=∠BDC=90°，然后根据Rt△CAB的勾股定理得出AC的长度，然后根据等腰直角△BDC求出BD和CD的长度；(2)连接OB，OD，根据AD平分∠CAB，且∠CAB=60°得出∠DOB=2∠DAB=60°，从而得出△OBD为等边三角形，从而得出BD的长度.(1)证明：如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴BD=CD=5；(2)、如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．考点：圆的基本性质45．（1）DE=DB，理由见解析；（2）2【分析】(1)由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出弧BD=弧CD,由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD,再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB,即可得出DE=DB;

(2)由(1)得:弧BD=弧CD,得出CD=BD=DE=4,由圆周角定理得出BC是直径,∠BDC=90°,由勾股定理求出,即可得出△ABC外接圆的半径.（1）证明：DE=DB．∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴=，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+