北师大版九年级数学上册 专题3.33 圆的综合题-圆与三角函数（专项练习）

专题3.33圆的综合题-圆与三角函数（专项练习）◆中考动态纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型,主要体现在圆与全等三角形、相似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问,有的设置三个小问,类型比较多,难度比较大。◆知识点圆的综合题涉及到的知识点比较多,主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆及三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质定理、勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。◆解题策略及方法虽然圆的综合题难度比较大,但是,只要我们熟记圆的各个性质和判定定理,还有辅助线的各种作法,这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合,考查切线的性质及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等.解题需要先分析题干中的条件,然后从图形中挖掘出隐含条件常用方法:①利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股定理或锐角三角函数进行计算:②利用圆周角相等转移角的等量关系;③利用直径构造直角三角形;④发现并构造相似,利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算;⑤在计算面积时,可以利用面积的和差进行。1．已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．3．如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结，在（2）的条件下，求的长．4．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．（2）在（1）的条件下，若的半径为．①求的长．②如图2，在四边形中，若平分，则的最大值是________．在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上一点．（1）如图①，作△ADE的外接圆交DC于F．求证：四边形AEFD是矩形；（2）将△ADE沿着DE翻折至△GDE，点A与点G重合，且点G落在边BC上．①如图②，若AD＝10，求AE的长；②如图③，当点G是BC的中点时，求AD的长．6．如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，且．（1）求的度数；（2）若的半径为3，求图中阴影部分的面积．7．如图，在中，以为直径作交于点，交于点，且是中点，，垂足为，交的延长线于点．（1）求证：直线是的切线；（2），，求的长．8．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．9．如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．求证：（1）DP＝AB；（2）DE为半圆O的切线；（3）连结OE，求tan∠BOE的值．10．如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．（1）求证：；（2）当，时，求的长．11．在中，弦直径于点，为线段上一点，，连接并延长交于点，连接，．（1）求证：；（2）连接，，，若，，求线段的长度．12．如图，是的直径，点是上一点，点是延长线上一点，，是的弦，．（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的半径；（3）若于点，点为上一点，连接，，，请找出，，之间的关系，并证明．13．如图，是的内接三角形，AD是的直径，点B是上的一点，，点E在AD的延长线上，射线EF经过点C，．（1）求证：EF是的切线；（2）若，，求图中阴影部分的面积．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC＝4，AC＝6时，求线段BG的长．15．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形中，，，过点作垂线交的延长线于点，且，证明：四边形是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．16．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC=4，AC=6时，求线段BG的长．17．如图，在中，为直径，过圆上一点作切线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．19．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B，（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）点E是AB上一点，若CE=BE，tan∠B=，⊙O的半径是3，求EC的长．20．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的圆O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为圆O的切线；（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．21．如图，为正的外接圆．（1）尺规作图：作的角平分线于点D；（2）过点D作的切线，交的延长线于点M．①求证：；②连接，若，求的半径．22．在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且．（1）如图1，当时，求的长度；（2）如图2，当点在上移动时，求长的最大值．23．如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与的切线AF交于点F．（1）求证：；（2）若，，求CE，AF的长．24．已知：如图，在中，以为直径的分别交于点，且．过点作的切线，交的延长线于点，且，求的值．25．如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，点F为的中点，连接．（1）求证：是的切线；（2）若B为半圆弧的中点，，求的长．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，点F为CE的中点，连接DF，DE，AD．（1）求证：CD＝DE．（2）若OA＝5，sin∠CAB＝，求DF的长．27．如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求图中阴影部分的面积．28．如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．（1）试判断与的位置关系，并说明理由．（2）若，，求的长．29．如图，在中，，以为直径作，在上一点，．（1）求证：是的切线；（2）过作分别与、和交于点、、，若，．求的半径长．30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E是上一点，点D关于CE的对称点F恰好落在DA的延长线上，连结CF．（1）求证：∠BAD＝∠ECF．（2）若tan∠BAD＝，AF＝9，求⊙O的半径．31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．（1）求证：AF＝BC；（2）如果AB＝3AF，＝（直接写出答案）（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．32．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，且有∠QAB＝∠QCA．（1）求∠AQC的度数．（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为：，并说明理由．（3）若，求∠AQB的度数．33．（1）如图①，在△ABC中，，AB=4，AC=3，若AD平分∠BAC交于点，那么点到的距离为．（2）如图②，四边形内接于，为直径，点B是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积．（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足∠ABC=60°，AB=AD，且AD+DC=10（其中），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．参考答案1．（1）60°；（2）【分析】（1）连接BD，根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可以求∠DAB的度数；（2）根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AD的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得EF＝DE的值，进而可得DF的长．【详解】解：（1）如图，连接BD，∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，∴EF＝DE＝ADsin60°＝，∴DF＝2DE＝．【点拨】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．2．【分析】连接，作弦的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接，由于水面高可求出OD的长，根据，，得出AD是线段的垂直平分线，进而得出，根据扇形及三角形的面积即可求解．【详解】解：如图，连接，作弦的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接．，．．又，是线段的垂直平分线．．从而．，，有水部分的面积，，，．【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3．（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，的半径为2，，，如图，连接，是的直径，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如图，过点作于点，连接，在中，，，，．【点拨】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．4．（1）；（2）①；②；（3）【分析】（1）由题意得：，而即可求解；（2）①如图1，连接并延长交圆于点，连接，；②如下图：连接、、，当在上，最大即可求解；（3）如图3，延长和交于点，先求解，证明，再利用，从而可得结论．【详解】解：（1）由题意得：，而，；（2）①如图1，连接并延长交圆于点，连接，则，为直径，则；②如图2：连接，由（1）得：平分，，则为等边三角形，延长到，使得，又，，，，，为等边三角形，则，则，为定点，而为弧上的动点，要最长，则为圆的直径，故直径；（3）如图3，延长和交于点，是直径，则，而则，则，，故：．【点拨】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解题的关键.5．（1）证明见解析；（2）①；②【分析】（1）先证明再证明从而可得答案；（2）①由矩形的性质与勾股定理先求解设则再利用勾股定理可得答案；②设由对折可得：为的中点，则证明由再建立方程，从而可得答案.【详解】解：（1）矩形ABCD，是的直径，四边形是矩形；（2）①由对折可得：矩形ABCD，AB＝6，设则②矩形，设由对折可得：为的中点，由解得：经检验：是原方程的解，且符合题意；【点拨】本题考查的圆周角定理及推论，矩形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.6．（1）120°；（2）【分析】（1）连接，设，由题意可得，根据切线性质可得，即可求解；（2）由图形可得图中阴影部分的面积为，分别求得即可求解．【详解】（1）证明：连接，如下图：∵，，设，∴∵是的切线，∴，∴，即，解得∴．（2）解：∵，∴．∴，在中，，∴，∴．∴图中阴影部分的面积为．【点拨】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质、等腰三角形和直角三角形的性质、三角函数的性质以及扇形面积公式，熟练掌握相关基本性质和知识是解题的关键．7．（1）证明见详解；（2）．【分析】（1）连结OD，由点O为AC中点，点D为BC中点，可得OD∥AB，由，可证即可；（2）由OD∥AB，OC=OD，可得∠FOD=∠A，由，可得，可求OD=，由OD为△CAB的中位线，AB=2OD=，再求AF=，根据三角函数可求AE即可．【详解】（1）证明：连结OD，∵点O为AC中点，点D为BC中点，∴OD为△CAB的中位线，∴OD∥AB，∵，∴∴直线是的切线；（2）解：∵OD∥AB，OC=OD，∴∠FOD=∠A，∵，∴，解得OD=，∵OD为△CAB的中位线，∴AB=2OD=，∵AC=2OC=2OD=，∴AF=FC+AC=5+，∴AE=AF，∴BE=AB-AE=．【点拨】本题考查圆的切线判定，三角形中位线判定与性质，平行线性质，锐角三角函数，线段和差，掌握上述知识是解题关键．8．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．【详解】（1），，，，，，是直径，，，是的切线；（2），，，设，则，，，在中，，即，解得（舍去），．【点拨】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）由正方形和圆的性质可知DC＝AB，又DC＝DP，即AB＝DP；（2）通过SSS证明△ODP≌△OCD，得∠DPO＝∠C＝90°即可证明；（3）通过HL证明Rt△OBE≌Rt△OPE，得∠BOE＝∠POE，由（2）知∠DOP＝∠DOC，可证∠DOE＝90°，从而∠BOE＝∠ODC，求出tan∠ODC即可得出答案．【详解】证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝AB，又∵DC＝DP，∴DP＝AB，（2）连接DO，PO，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，在△ODP与△OCD中，，∴△ODP≌△ODC（SSS），∴∠DPO＝∠C＝90°，又∵OP是⊙O的半径，∴DE为半圆O的切线．（3）连接EO，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO＝90°，∵∠DPO＝90°，∴∠EPO＝90°＝∠B，在Rt△OBE与Rt△OPE中，，∴Rt△OBE≌Rt△OPE（HL），∴∠BOE＝∠POE，由（2）得△ODP≌△OCD，∴∠DOP＝∠DOC，∴∠BOE+∠DOC＝90°，又∵∠DOC+∠CDO＝90°，∴∠BOE＝∠CDO，∵点O是AB的中点，∴，在Rt△COD中，．【点拨】本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．10．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，，因为，所以，从而易证，所以，继而可证明；（2）设的半径为，则，在中，，从而可求出的值．【详解】解：（1）证明：连接，，，，，，，，，与边相切于点，，，；（2）在，，，，，设的半径为，则，在中，，，．【点拨】本题考查了圆中弧、弦之间的关系，圆周角定理的推论，切线的性质和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键．11．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接BC，由DF=BF得∠DBG=∠BDC，再由圆的性质可得∠BDC=∠BCD，∠BGD=∠BCD，即可得要证结论；（2）过点作于，连接，过作于，易得D，H，O三点共线，则由三角形中位线定理得AG=2OH，易证，得OH=OE，∠OFB=∠OFD，则OH=OE，设，则，则在Rt△OED中由勾股定理得，由圆内接四边形性质及已知易得∠DAE=∠DAM，从而可得DE=DM，由可求得x，从而由求得EF，在中，由勾股定理可得EF的长．【详解】（1）如图，连接，，．，．．，．．．（2）过点作于，连接，过作于，．，，，三点在同一条直线上，，是的中位线．．，，，．．，，．设，则，．，．在中，由勾股定理可求得，，．，．，，．．解得：．，，，．在中，由勾股定理可得．．．在中，由勾股定理可得．【点拨】本题是圆的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形中位线定理，垂径定理，圆内接四边形性质，同弧所对的圆周角相等等知识，关键熟练掌握圆的相关知识外，重视与其它几何图形结合的综合分析能力的培养，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．12．（1）见解析；（2）3；（3），理由见解析【分析】（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，进而得出∠OAD＝90°，即可得出结论；

（2）先判断出△AOC是等边三角形，得出AC＝OC，再判断出AC＝CD，即可得出结论；

（3）先判断出∠CAP＝∠CEM，进而得出△ACP≌△ECM（SAS），进而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判断出，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，点在上，∴直线是的切线；（2）解：如图1，连接，由（1）知，，，，是等边三角形，，，，，，即的半径为3；（3），理由：如图，，，连接，延长至，使，连接，，为的直径，，四边形是的内接四边形，，，，，过点作于，，在中，，，，，，，即．【点拨】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．13．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，由圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠OCE=90°，则可得出答案；（2）连接OB，证明是等腰直角三角形得出OC=4，再证明，根据求解即可．【详解】解：（1）证明：连接OC，∵，∴∠ACB=∠CAD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠CAD，∵∠ECD=∠ACB，∴∠OCA=∠ECD，∵∠ACD=∠OCA+∠OCD=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°，即：∠OCE=90°，∴OC⊥EF，∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．（2）连接OB，∵OC⊥EF∴∠OCE=90°，∵∠E=45°，∴∠E=∠COE=45°，∴是等腰直角三角形∵∴∵AD是直径∴∴∵OA=OC∴∴∵∴∴∵OB=OC∴∴∴∴．【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．14．（1）见解析；（2）1【分析】（1）连接OM，证明OMBC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，最后根据切线的判定定理即可得证；（2）连接GF，先求⊙O半径从而得到BF，再用＝sin∠GFB＝sin∠BAE即可得到答案．【详解】解：（1）连接OM，如图：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∵OM＝OB，∴∠ABM＝∠BMO，∴∠BMO＝∠CBM，∴BCOM，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）连接GF，如图：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC，∠AEB＝90°，∵BC＝4，AC＝6，∴BE＝2，AB＝6，∴sin∠EAB＝，设OB＝OM＝r，则OA＝6﹣r，∵AE是⊙O切线，∴∠AMO＝90°，∴sin∠EAB＝＝，∴＝，解得r＝1.5，∴OB＝OM＝1.5，BF＝3，∵BF为⊙O直径，∴∠BGF＝90°，∴GFAE，∴∠BFG＝∠EAB，∴sin∠BFG＝，即＝，∴BG＝1．【点拨】本题考查了圆的切线的判定，三角函数，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的意义是解题的关键．15．（1）④；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．【详解】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC=DE，又∵∠DBC=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD=DE，∴BD=AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC=BD，又∵垂等四边形的面积是24，∴AC•BD=6，解得，AC=BD=，又∵∠BCD=60°，∴∠DOE=60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD=r，DE=，∴r==2，∴⊙O的半径为2．【点拨】本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．16．（1）见解析；（2）线段BG的长为1．【分析】（1）连接OM，证明OM∥BC即可；（2）连接GF，先求⊙O半径从而得到BF，再用=sin∠GFB=sin∠BAE即可得到答案．【详解】解：（1）连接OM，如图：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵OM=OB，∴∠ABM=∠BMO，∴∠BMO=∠CBM，∴BC∥OM，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）连接GF，如图：∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴BE=CE=BC，∠AEB=90°，∵BC=4，AC=6，∴BE=2，AB=6，∴sin∠EAB=，设OB=OM=r，则OA=6-r，∵AE是⊙O切线，∴∠AMO=90°，∴sin∠EAB=，∴，解得r=1.5，∴OB=OM=1.5，BF=3，∵BF为⊙O直径，∴∠BGF=90°，∴GF∥AE，∴∠BFG=∠EAB，∴sin∠BFG=，即，∴BG=1．【点拨】本题考查了圆的切线判定及圆中线段的计算，解题的关键是求出圆的半径．17．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠ABC，进而证明结论；（2）根据圆周角定理求出∠BOC，根据正切的定义求出CD，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCB+∠BCD=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠BAC=∠BCD；（2）解：∵∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∴CD=OC•tan∠COD=，∴阴影部分的面积=S△OCD-S扇形COB==．【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．18．（1）见解析；（2）⊙O的半径为．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，∠OCE＝∠E，推出∠ACO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠CFO＝30°，解直角三角形得到DF＝AD＝，EF＝3OE＝，即可得到结论．【详解】（1）证明：连接CO，如图：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠E，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠B+∠E＝90°，∴∠ACB+∠OCE＝90°，∴∠ACO＝90°，∴AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠E＝30°，∴∠OCE＝30°，∴∠FCE＝120°，∴∠CFO＝30°，∴∠AFD＝∠CFO＝30°，∴DF＝AD÷tan30°=AD＝，∵BD＝5，∴DE＝BD÷tan30°=5，∵OF＝2OC，∴EF＝3OE＝4，∴OE＝，即⊙O的半径＝．【点拨】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）证明∠DAC+∠BAD=90°，则∠BAC=90°，可得出结论；

（2）设EC=EB=x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠DAC=∠B，

∴∠DAC+∠BAD=90°，

∴∠BAC=90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠BCE=∠B，

∴EC=EB，设EC=EB=x，

在Rt△ABC中，，AB=6，

∴AC=3，

在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，

∴x2=（6-x）2+32

，

解得x=，

∴CE=．【点拨】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．20．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由△ABC是等腰三角形，可得CA=CB，则∠A=∠B，又由OD=OB，可得∠ODB=∠B，所以∠A=∠ODB，即OD∥AC，又OD⊥DE，AC⊥DE，所以DE是⊙O的切线继而可证得结论；（2）连接DC．首先证△ODC为等边三角形，再根据三角函数的性质，求得AD、CD、ED、AE、EC的长，然后求得S△OEC=OC∙EF.【详解】解：（1）连接OD.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.又∵∠A=∠B=30°∴∠A=∠ODB，∴DO∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∴DE为⊙O的切线．（2）连接DC．∵∠OBD=∠ODB=30°，∴∠DOC=60°．∴△ODC为等边三角形．∴∠ODC=60°，∴∠CDE=30°又∵BC=4，∴DC=2，∴CE=1．过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F．∵∠ECF=∠A+∠B=60°,∴EF=CE·sin60°=1×=∴S△OEC=OC∙EF=×2×=.【点拨】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角函数等知识，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21．（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）按尺规作图作角平分线的方法进行即可；（2）①利用等边三角形三线合一的性质及切线的性质即可证明；②设BD与AC交于点F，连接OA，设⊙O的半径为r，利用含30度角直角三角形的性质可得OF的长，从而可得BF的长，在中由余弦的三角函数可得AB的长，再在中，由余弦的三角函数建立方程即可求得半径r．【详解】（1）作图如下（2）①∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC∴BD⊥AC∴BD过圆心O∵DE是⊙O的切线∴BD⊥DE∴AC∥DE②设BD与AC交于点F，连接OA，如图设⊙O的半径为r，则OA=OB=r∴∠OBA=∠OAB∵BD平分∠ABC∴∠OBA=∠OAB=30゜∴∠OAF=60゜-30゜=30゜∴OF=∴在中，∴在中，BD=2r，且∴解方程得：即⊙O的半径为．【点拨】本题考查了尺规作图，圆的切线的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数等知识，关键是运用三角函数建立方程．22．（1）；（2）【分析】（1）连接OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；（2）（2）连接OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则，所以PQ长的最大值=．【详解】解：（1）连接，如图1，∵，，∴，在中，∵，，∴，在中，∵，，∴；（2）连接，如图2，在中，，当的长最小时，的长最大，此时，则，∴长的最大值为．【点拨】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了解直角三角形．23．（1）见解析；（2），【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB＝90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF＝∠ABD．然后由BA＝BC，证得：∠ABC＝2∠CAF；

（2）首先连接AE，设CE＝x，由勾股定理可得方程：（2）2＝x2＋（3x）2．然后由，求得答案．【详解】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为的直径，∴，∴,∵是的切线，∴，即,∴,∵，，∴,∴；（2）如图，连接，∴，设，∵，∴，，，在中，，即，∴，∴，∴，，，∵，∴，解得．【点拨】本题考查了切线的性质，三角函数以及勾股定理，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．24．．【分析】根据为直径，，可得，过点作于点，根据，容易证得，根据是切线，，可证，可求得，，设，，则有，，在中，，得到，在中，，即，可求得，根据，可求得结果．【详解】解：为的直径，，即：又，；过点作于点，是圆的直径，∴，又∵是切线，，，，，∵是切线，∴，，，设，，则有，，在中，∴在中，即：，∴∴．【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识，能熟练应用相关性质是解题的关键．25．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出，再求出，得出答案即可；（2）首先得出即可得出它们的长，由此可得，再证明，由此可得，进而利用锐角三角函数可分别表示出，，最后利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）证明：连接．，．为的直径，．点为的中点，，，，，又，．是的切线．（2）解：为的直径，，∵B为半圆弧的中点，，，在中，，又，，．，，又∵，，∴，设为，∵在中，，∴，∵在中，，∴，又∵在中，，∴，解得：（舍负），∴．【点拨】此题主要考查了切线的判定以及解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数的知识是解题关键．26．（1）见解析；（2）4【分析】（1）由AB＝AC得到∠C＝∠B，由圆内接四边形ABDE得到∠CED＝∠B，进而得到∠CED＝∠C，故CD＝DE．（2）由sin∠CAB＝得到BE的长，由AB＝AC，AD⊥BC得到D是BC的中点，得到FD为△CEB的中位线，进而求得DF的长．【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵圆内接四边形ABDE，∴∠CED＝∠B，∴∠CED＝∠C，∴CD＝DE，解：（2）连接BE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵sin∠CAB＝，AB＝2OA＝10，∴BE＝8，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AB为直径，∴∠ADC＝90°∴AD⊥BC，由三线合一得：D是BC的中点，∵点F为CE的中点，∴FD为△CEB的中位线，∴DF＝＝4．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，锐角三角函数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.27．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OA，然后证明，即可得到，从而得证；（2）设的半径为，则，先利用勾股定理求出r，然后利用三角函数求出，再利用求解即可.【详解】解：（1）证明：连接OA．在和中，，∴，∴，∴．∵是的半径，∴是的切线．（2）设的半径为，则，∵，∴，即，解得，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.28．（1）与相切，理由见解析；（2）【分析】(1)如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；(2)连接DF，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）与相切．理由：如图，连接，，，为的中点，，，，，，，，，，与相切；（2）连接，，，，为的直径，，，，，即：，．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．29．（1）见解析；（2）5【分析】（1）连接OD、CD，由AD=AC，OD=OC，可得∠ADC=∠ACD，∠ODC=∠OCD，又CA为的切线，可知∠ADO=∠ACB=90°，即可求证；（2），，解三角形可得BE=2，EF=4，由tan∠BCD=，可得CE=2DE，根据垂径定理可知DE=EF，从而可得CE=8，即可求解．【详解】证明：（1）如图，连接OD，CD，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC+∠ODC=∠ACD+∠OCD，即∠ADO=∠ACB，∵BC为直径，AC为切线，∴BC⊥AC，∴∠ADO=∠ACB=90°，∴AD是的切线；（2）∵，在Rt△BEF中，，∴，∴EF=2BE，∵BE2+EF2=BF2，∵，∴，解得：BE=2，EF=4，∵∠BCD=∠BFD，∴tan∠BCD=，即，∴CE=2DE，∵BC为直径，，∴DE=EF=4，∴CE=2DE=8，∴的半径长．【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，及锐角三角函数解直角三角形，掌握直角三角形中三角函数表示线段比进行转化是解决此题关键．30．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，则，再根据轴对称的性质，可得，，即可求解；（2）设，，根据三角函数关系求得，再根据勾股定理求得即可求解．【详解】解：（1）连接，如下图：∵AB是⊙O的直径∴，即∵点D与点F关于CE的对称∴，∴∴∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB∴∴∴（2）设与的交点为，与的交点为，如下图：设，∵，∴，由题意可得：由（1）得∴∴，即根据三角函数关系可得，∴由（1）得：，∴，即，解得∴由勾股定理得：∴，即半径为【点拨】此题考查了圆的有关性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．31．（1）见解析；（2）；（3）见解析．【分析】（1）根据对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，得出AD=CD，然后根据圆内接四边形的性质得出∠DAF=∠DCB，最后根据ASA得出△DAF≌△DCB即可证明；（2）设AF=a，AB=3AF=3a，根据△DAF≌△DCB表示出BC的长度，利用勾股定理表示出AC和AD的长度，过点B作BM⊥AC于点M，连接OD，根据面积法和等腰直角三角形的性质表示出OD和BM的长度，最后根据相似即可求出的值．（3）DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，根据题意证明出，由全等三角形的性质和得出AP=CE，，然后根据圆内接四边形的性质得出，最后由即可证明．【详解】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=∠ADC=90°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴AD=CD，∵DF⊥DB，∴∠BDF=∠ADC=90°∴∠ADF=∠CDB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°，又∵∠BAD+∠DAF=180°，∴∠DAF=∠DCB，∴△DAF≌△DCB，∴AF=BC．（2）设AF=a，AB=3AF=3a，由（1）△DAF≌△DCB，∴BC=AF=a，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，，过点B作BM⊥AC于点M，则BM=，连接OD，则OD=，∵是等腰直角三角形，∴OD⊥AC，∴OD∥BM，即，∴．（3）证明：DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=