三重积分例题分析课件

三重积分的计算问题:设f(x,y,z)在Ω上可积,研究三重积分的计算方法研究思路:设法将化为先定积分再二重积分(1)先单后重:(2)先重后单:先二重积分再定积分三重积分例题分析zxyx+y+z=10例1.

计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xy三重积分例题分析例2.

计算其中

是由抛物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz

0D0yx三重积分例题分析例3.将化为三次定积分，其中

是由z=x2+y2和z=1所围的闭区域.解：先对z积分，将

向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1

D:x2+y2≤1z=1

z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

三重积分例题分析xyz01Dxyz=1z=x2+y2

三重积分例题分析解2：先对y积分，将

向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=1

1≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz1

1三重积分例题分析例4.

计算其中

是由z=x2+y2和z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]三重积分例题分析例5.

计算解：

D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤

1x

yzxy0111x:0≤x≤1其中

是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D(x)z=1x

y

xy01x1x三重积分例题分析例6.

计算其中

由与z=1所围闭区域.解：

D:x2+y2≤1z=1

z=rz=0

xyz0Dz=rz=1三重积分例题分析xyz0z=rz=11D三重积分例题分析例7.

计算

={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1

xyz01三重积分例题分析得到解例8.三重积分例题分析于是，三重积分例题分析与球面例9.

计算其中,

是由锥面所围成的区域.解:

积分区域如图所示.则锥面方程变为球面方程变为r=a,区域变为＊yxzO运用球面坐标计算,令三重积分例题分析故(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)三重积分例题分析y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.4x+y=4y=0xyz

.D..o1例10.666x+y+z=63x+y=62.例11.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域z=0y=042x+y+z=6.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域42.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.D0y

x624D.y2=xxyzo例12.y2=xxyzoz=0y=0xyzo

。。0y

xy2=xD例13

由曲面z

x2

2y2

及z

2

x2所围成的闭区域；xyzOz

x2

2y22z

2

x211Oxyz2z

x2

2y2z

2

x2例13

由曲面z

x2

2y2

及z

2

x2所围成的闭区域；解其中Ω由曲面例14计算积分所界的立体Ω往xz

平面上的投影区域三重积分例题分析三重积分例题分析解例15计算积分,其中Ω是两个球的公共部分由采用先重后单方法计算三重积分例题分析三重积分例题分析例16

设