椭圆离心率问题

一、椭圆离心率的1、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=EQ\f(｜PF｜,｜PD｜)②e=EQ\f(｜QF｜,｜BF｜)③e=EQ\f(｜AO｜,｜BO｜)④e=EQ\f(｜AF｜,｜BA｜)⑤e=EQ\f(｜FO｜,｜AO｜)DDBFOBBBAPQ评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=EQ\f(a2,c)∴有③。题目1：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？BBAF2F1思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=EQ\r(,3)cc+EQ\r(,3)c=2a∴e=EQ\f(c,a)=EQ\r(,3)-1变形1：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2FOOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=EQ\r(,3)-1变形2:椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？BAF2F1POBAF2F1PO解：∵｜PF1｜=EQ\f(,)EQ\f(b2,a)｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴EQ\f(｜PF1｜,｜F2F1｜)=EQ\f(b,a)又∵b=EQ\r(,a2-c2)∴a2=5c2e=EQ\f(EQ\r(,5),5)点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?FBAFBAO解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=EQ\r(,a2+b2)-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=EQ\f(EQ\r(,6),3)法二：设AB的中点N，则2EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(ON))=EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))+EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))EQ\B\lc\{(\a\al(EQ\f(x12,a2)+EQ\f(y12,b2)=1①,,EQ\f(x22,a2)+EQ\f(y22,b2)=1②,))①-②得：EQ\f(y1-y2,x1-x2)=-EQ\f(b2,a2)EQ\f(x1+x2,y1+y2)∴1=-EQ\f(b2,a2)(-3)既a2=3b2e=EQ\f(EQ\r(,6),3)由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？FF2MF1O分析：∵EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：∴c<ba2=b2+c2>2c2∴0<e<EQ\f(EQ\r(,2),2)题目7：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？MPF2F1OMPF2F1O分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(EQ\f(a2,c),y0)M(EQ\f(EQ\f(a2,c)-c,2),EQ\f(y0,2))既(EQ\f(b2,2c),EQ\f(y0,2))则EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(PF))1=-(EQ\f(a2,c)+c,y0)EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=-(EQ\f(b2,2c)-c,EQ\f(y0,2))EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(PF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0(EQ\f(a2,c)+c,y0)·(EQ\f(b2,2c)-c,EQ\f(y0,2))=0(EQ\f(a2,c)+c)·(EQ\f(b2,2c)-c)+EQ\f(y02,2)=0a2-3c2≤0∴EQ\f(EQ\r(,3),3)≤e<1解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥EQ\f(a2,c)-c则2c≥EQ\f(a2,c)-c3c≥EQ\f(a2,c)3c2≥a2则EQ\f(EQ\r(,3),3)≤e<1总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。椭圆中与焦点三角形有关的问题题1：椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______。设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。（二）问题的分析与引导问题分解：问题1.椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当为直角时，点P的横坐标是_______。问题2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现的大小与点P的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。设计意图：把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的经验”可以解决的问题，是数学常规解题策略，这个任务不可能一蹴而就，但可以水滴石穿。性质一：当点P从右至左运动时，由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，达到最大。3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角的最值往往可转化为求什么的最值?”学生思考后回答：求某个三角函数的最值。问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟出“欲求的最大值，只需求cos的最小值”（面对cos=如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是，分母变化的部分是，二者的关系是，于是目标式可分成两部分，最后对利用均值不等式，即可大功告成。设计意图：在课堂教学和作业中渗透两个7：3是我们一直致力在研究的课题，本例很好地体现了三角及基本不等式的应用。从而求得当，即点P与短轴端点重合时，cos有最小值为，有最大值。此题结果为。）问题5：由上面的分析，你能得出cos与离心率e的关系吗？性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。思路：由焦点三角形性质二，≤＜变式1：已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知即,于是得到的取值范围是追问：何时取等号？变式2：若椭圆的两个焦点、，试问：椭圆上是否存在点，使？存在，求出点的纵坐标；否则说明理由。简解：两种做法：方法一：设,，可以得到，故，所以P的纵坐标的绝对值，故P的纵坐标为3或-3.方法二：≤＜，但椭圆离心率为，不在范围内，故不存在。两种解法，答案不一致，原因？设计意图：两个练习题，层层递进，练习2直接为“问题引入2”埋下伏笔，有承上启下的作用。（三）问题引入2（一道很普通的错题）题3：P是椭圆上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若，则的面积等于_______。多数同学：利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元，求出，代入面积公式。问大家：“既然面积可求，那么也一定可求，请大家计算一下的值”。同学们利用根与系数的关系构造一个以为根的一元二次方程，发现此方程判别式小于0，无实根，究竟怎么回事，同学们陷入思考中。两种解法，两种结果，谁对准错，难以定夺，同学们自发地探索起分歧的原因。经讨论、交流、思考，发现题目出错，利用刚才—探索出的规律，当点P与短轴端点重合时，有最大值，查表求得是，因此，给定椭圆上不存在点P，使问题1：已知椭圆C：(a>b>0)，F1、F2是两个焦点，对于给定的角，探求在C上存在点P，使的条件。尽量让学生得到：存在点P的条件可相应得到：。(B为椭圆短轴的一个端点)设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。问题2：怎样改动，使上面不是一个错题？改动一：P是椭圆上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若，则的面积等于_______。改动二：P是椭圆上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若，则的面积等于_______。问题3：改动的依据是什么？（,B为短轴的一个端点）设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。题4：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，求椭圆的面积。解：设，，由余弦定理得①由椭圆定义得②由①得：性质三：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则。继续看题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为则≤≤≤≤≥故≤＜当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。如果把图形特殊化，使PF1⊥F1F2,我们可以得到：性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。20090423题5：已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．求椭圆的方程；20090423这就是09年浙江省高考理科试题。展示评分标准。设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值。问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。【课堂测试】1.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则.9（09上海）2.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）（09江西）A．B．C．D．3.已知椭圆的两个焦点分别为,,为椭圆上一点,且,则的值等于．4（选做）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．证明；椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算例1椭圆上一点到焦点的距离之差为2，试判断的形状.解：由椭圆定义：.又，故满足：故为直角三角形.性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设,由焦半径公式可知：，在中，=性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：命题得证。（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知即,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2∴2a＝４，又2c＝2，∴b∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．圆锥曲线中（椭圆离心率）的基本范围问题已知点在椭圆内，是椭圆的两个焦点，求的范围.故已知点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，求点位于何处时最大？（焦点三角形两个基本关系？）解：设，在中，，因为，所以，即，而，所以的最小值是在时取得（在上是减函数），即点P为椭圆短轴上的顶点.已知椭圆上，是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点使，求椭圆离心率的范围.解法一：解，由上题，所以，.故