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3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质北师大版九年级上册张纪珍你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？

正方形既是特殊的矩形，又是特殊的四边形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能说出正方形有哪些性质吗？新课导入把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？推进新课解：由折叠可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形。又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形。（1）正方形的定义:有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（2）正方形的性质:定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.

正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.

正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.

由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：图1-1图1-1图1-21.如图，将４个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3

、An分别是正方形的中心，则阴影部分面积和为

A1A2A3A4牛刀小试：2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为如图2，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.例2∴AD=CD，

∠A=∠DCF=90°.证明∵四边形ABCD为正方形，∵DF⊥DE，∴

∠EDF=90°，

即∠1+∠3=90°，图2又∵

∠2+∠3=90°，∴

∠1=∠2.∴

△AED≌△CFD（ASA）.∴

DE=DF.图21.已知：如图所示，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD＝∠EDA＝15°

证明∵∠EBC=∠ECB=∠CEB=600∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∠ABE=∠DCE=300∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=750∴∠EAD=∠EDA=900-750=150随堂演练2.如图，以正方形ABCD的顶点D为顶点在正方形内作等边△DEF，使E、F分别在AB、BC上。求证：∠BEF＝∠BFE。证明：在正方形ABCD，正△DEF中，AD＝DC，∠A＝∠C＝90°，DE＝DF，∴Rt△DAE≌Rt△DCF，∴∠ADE＝∠CDF。又∠ADC＝90°，∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF＝(90°－60°)/2＝15°，∴∠AED＝∠CFD＝75°。而∠DEF＝∠DFE＝60°，∴∠BEF＝∠BFE＝45°通过这节课的学习，你有什么收获？课

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