聚焦中考数学复习知识点一元二次方程及其应用

第9课一元二次方程及其应用

基础知识题型分类要点梳理题型一一元二次方程的解法基础自测题型二一元二次方程根的判别式题型三一元二次方程根与系数的关系题型四一元二次方程的应用易错警示6.解一元二次方程“失根”现象评析知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.一元二次方程只含有____________未知数，并且未知数的最高次数是

__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．任何一个一元二次方程经过整理(去分母、去括号、移项、合并同类项)，通常可写成如下的一般形式：

____________________________________，其中a、b、c

分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．使一元二次方程左、右两边________的未知数的值叫做一元二次方程的解，也可以叫做一元二次方程的根．

一个2ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)相等要点梳理基础知识·自主学习知识点索引2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：形如x2＝m(m≥0)、ax2＝m(am>0)、a(x－m)2＝n(an>0)的方程，可利用直接开平方法求解．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(2)配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①如果二次项系数a不是1，那么先在方程两边同除以a，使方程的二次项系数化为1；②把常数项移到方程的右边；③在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式，方程右边进行合并；④如果方程右边是非负数，那么利用直接开平方法解出这个一元二次方程．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)求根公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是：

____________________________________________

用求根公式法解一元二次方程的一般步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值，并计算b2－4ac的值；③若b2－4ac≥0，则把a、b、c及b2－4ac的值代入求根公式，求出两根x1、x2；若b2－4ac<0，则方程没有实数根．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(4)因式分解法：因式分解的理论依据：若两个因式的积等于零，则这两个因式中至少有一个等于零．即：若ab＝0，则a＝0或b＝0.

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解出这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为b2

－4ac，记为△，即△＝b2－4ac，就是求根公式中的被开方数．方程有两个不相等的实数根________；方程有两个相等的实数根________；方程没有实数根________．

(2)如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1、x2，那么x1＋x2＝________，x1·x2＝_______.△>0△＝0△<0要点梳理基础知识·自主学习知识点索引4.二元二次方程组的概念及解法

(1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组；

(2)解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解；或“降次”，利用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引5.一元二次方程的应用和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、答．

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(2)“设”指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(4)“解”就是求出所列方程的解．(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．基础自测基础知识·自主学习知识点索引(中考真题-丽水)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(

)A.x－6＝－4 B.x－6＝4C.x＋6＝4 D.x＋6＝－4D解析将方程(x＋6)2＝16两边开平方，得x＋6＝±4，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是x＋6＝－4.故选D.基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(中考真题-宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是(

)C基础自测基础知识·自主学习知识点索引A4.(中考真题-钦州)若x1、x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是(

)A.－10B.10C.－16D.16基础自测基础知识·自主学习知识点索引A解析根据一元二次方程的根与系数的关系：∵x1、x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，∴x1＋x2＝－10.故选A.5.(中考真题-襄阳)用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2

的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为(

)A.x(20＋x)＝64B.x(20－x)＝64C.x(40＋x)＝64D.x(40－x)＝64基础自测基础知识·自主学习知识点索引B解析设长为xcm，∵长方形的周长为40cm，∴宽为(20－x)cm，∴x(20－x)＝64.故选B.题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引解

x(x＋5)＝24，x2＋5x－24＝0，(x＋8)(x－3)＝0，解得x1＝－8，x2＝3.【例1】解下列方程：

(1)x(x＋5)＝24；题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引(2)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2；解

(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2，y－3y2＋3－9y＝1＋2y2，∴5y2＋8y－2＝0，题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引(3)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.解解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0，(x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0，2(x－1997)(x－1996)＝0，解得x1＝1997，x2＝1996.题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引(3)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.解法二：∵(1997－x)2＋(x－1996)2＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)，∴原方程可化为：1－2(1997－x)(x－1996)＝1，2(1997－x)(x－1996)＝0，解得x1＝1997，x2＝1996.题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．一般没有特别要求的不用配方法．题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1用指定的方法解下列方程：

(1)(2x－1)2＝9；(用直接开平方法)解

(2x－1)2＝9，2x－1＝±3，题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引(2)x2＋3x－4＝0；(用配方法)解

x2＋3x－4＝0，x2＋3x＝4，题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引(3)x2－2x－8＝0；(用因式分解法)解

x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2.题型一一元二次方程的解法

题型分类·深度剖析知识点索引(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(用公式法)解

x(x＋1)＋2(x－1)＝0，x2＋x＋2x－2＝0，题型分类·深度剖析助学微博知识点索引

转化思想

一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化，归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．

题型二一元二次方程根的判别式

题型分类·深度剖析知识点索引【例2】

(中考真题-北京)已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2

＝0(m≠0)．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．解

(1)证明：∵m≠0，△＝(m＋2)2－4m×2＝m2－4m＋4＝(m－2)2，而(m－2)2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根．题型二一元二次方程根的判别式

题型分类·深度剖析知识点索引【例2】

(中考真题-北京)已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2

＝0(m≠0)．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．(2)∵(x－1)(mx－2)＝0，∴x－1＝0或mx－2＝0，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2.题型二一元二次方程根的判别式

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝b2－4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．题型二一元二次方程根的判别式

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练2

(1)(中考真题-广州)若5k＋20<0，则关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情况是(

)A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.无法判断A解析

∵5k＋20＜0，即k＜－4，∴△＝42－4×1×(－k)＝16＋4k＜0，∴方程没有实数根．故选A.题型二一元二次方程根的判别式

题型分类·深度剖析知识点索引10∴原方程即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或4.△ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2＋2＝4，以2、2、4为边长不能构成三角形；4－4<2，4＋4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以，△ABC的周长＝4＋4＋2＝10.题型三一元二次方程根与系数的关系

题型分类·深度剖析知识点索引【例3】(中考真题-南充)已知关于x的一元二次方程＋m＝0，有两个不相等的实数根．

(1)求实数m的最大整数值；

(2)在(1)的条下，方程的实数根是x1、x2，求代数式x12＋

x22－x1x2的值．数根，∴△＝8－4m＞0，解得m＜2，故整数m的最大值为1.题型三一元二次方程根与系数的关系

题型分类·深度剖析知识点索引【例3】(中考真题-南充)已知关于x的一元二次方程＋m＝0，有两个不相等的实数根．

(1)求实数m的最大整数值；

(2)在(1)的条下，方程的实数根是x1、x2，求代数式x12＋

x22－x1x2的值．(2)∵m＝1，题型三一元二次方程根与系数的关系

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0方程有两个不相等的实数根；(2)△＝0方程有两个相等的实数根；(3)△＜0方程没有实数根．

掌握根与系数的关系：x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根时，变式训练3

(1)(中考真题-莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋

k2＝0的两根互为倒数，则k＝________．题型三一元二次方程根与系数的关系

题型分类·深度剖析知识点索引－1解析∵x1x2＝k2，两根互为倒数，∴k2＝1，解得k＝1或－1.∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k＝1时，△＜0，舍去，∴k的值为－1.(2)(中考真题-眉山)已知关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α、β，则(α＋3)(β＋3)＝_______．题型三一元二次方程根与系数的关系

题型分类·深度剖析知识点索引9解析

∵关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α、β，∴α＋β＝1，αβ＝－3，∴(α＋3)(β＋3)＝αβ＋3α＋3β＋9＝αβ＋3(α＋β)＋9＝－3＋3×1＋9＝9.题型分类·深度剖析助学微博知识点索引

注意一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式．如果b2－4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；如果b2－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；如果b2－4ac<0，则方程无实数根．注意：(1)根的判别式“b2－4ac”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；(2)使用时，必须将一元二次方程转化成一般式ax2＋bx＋c＝0，以便确定a、b、c的值．题型分类·深度剖析助学微博知识点索引

正确理解“方程有实数根”的含义

若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”、“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引【例4】

(中考真题-安顺)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)：题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引解设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游的人数为x人，则人均费用为[1000－20(x－25)]元．由题意得：x[1000－20(x－25)]＝27000，整理得：x2－75x＋1350＝0，解得：x1＝45，x2＝30.当x＝45时，人均旅游费用为：1000－20(x－25)＝600＜700，不符合题意，应舍去．当x＝30时，人均旅游费用为：1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高

本题考查了一元二次方程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练4

(中考真题-宜昌)在“文化宜昌·全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量(单位：本)进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，

2014年全校学生人数比2013年增加100人．

(1)求2014年全校学生人数；题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引(2)2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比

2012年增加1700本．

(注：阅读总量＝人均阅读量×人数)①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5

倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)由题意，得：2013年全校学生人数为：1000×(1＋10%)＝1100(人)，则2014年全校学生人数为：1100＋100＝1200(人)．答：2014年全校学生人数为1200人．题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引(2)①设2012年人均阅读量为x本，则2013年人均阅读量为(x＋1)本，由题意得：1100(x＋1)＝1000x＋1700，解得：x＝6.

答：2012年全校学生人均阅读量为6本．题型四一元二次方程的应用

题型分类·深度剖析知识点索引②由题意，得：2012年读书社人均读书量为：2.5×6＝15(本)，2014年读书社人均读书量为：15(1＋a)2(本)，2014年全校学生的读书量为：6(1＋a)(本)，则80×15(1＋a)2＝1200×6(1＋a)×25%，2(1＋a)2＝3(1＋a)，解得：a1＝－1(舍去)，a2＝0.5.答：a的值为0.5.题型分类·深度剖析易错警示系列易错警示系列6解一元二次方程“失根”现象评析

知识点索引考题再现

(1)解方程：3x(x＋2)＝5(x＋2)；

(2)解方程：9x2＋6x＋1＝9；

(3)解方程：x