高考数学 热点专题复习热点五 三角函数 理科试题

热点五三角函数【考点精要】考点一.任意角的三角函数.常见的几个三角关系式：（1）若，则.(2)若，则.(3).考点二.三角函数的诱导公式.考查三角函数的诱导公式的灵活变形.正弦、余弦的诱导公式.诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了.(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)考点三.正余弦定理的变形与应用.考查公式的灵活变形与应用.正弦定理.余弦定理;;.考点四.考查三角函数的图像与性质.图像主要考查平移与伸缩，三角函数的性质主要指定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性.如：将函数的图象按向量平移后所得图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为()A． B． C． D．考点五.三角公式与恒等变换.三角公式与变换.在三角变换中“1”的变换非常巧妙.如：=.考查角的巧妙变换，如:等，这些是利用和、差角公式求解问题中经常用到的变形.考点六.三角形中的边角关系,根据条件解三角形.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（），＝（cosA,sinA）.若，且acosB+bcosA=csinC，则角＝.（）巧点妙拨1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对三角的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.考查内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从2008年至2015年考查的内容看，大致可分为五类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题；（5）与三角形有关的问题.3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律是在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦，降幂公式，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名．高次化低次等．5．解斜三角形中需熟练运用正、余弦定理，掌握正、余弦定理适用的情况，合理进行边角互化，正确处理多解问题，并熟练结合使用三角形中的结论如：A+B+C=，,若ABC为锐角三角形，则A+B>,等．6．在解三角形时已知三边，用余弦定理求解时，只有一解；已知两边及夹角用余弦定理求解时，必有一解.【典题对应】例1.（2014·山东理16）已知向量，函数，且的图像过点和点.（=1\*ROMANI）求的值；（=2\*ROMANII）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间.命题意图：考查向量、三角函数、图像的变换以及三角函数的性质.解析：（Ⅰ）已知，过点解得（Ⅱ）左移后得到设的对称轴为，解得，解得的单调增区间为.名师坐堂：求解三角函数解析式中的时，根据给定的值应注意考查是平衡点还是最值点，求解单调区间时应看解析式的前面是否有负号.例2.（2013·山东理17）设的内角的对边分别为，且，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.命题意图：本题考查余弦定理的应用、的应用，进而考查学生分析问题、解决问题的能力.解析：（Ⅰ）由余弦定理，,，，解得.（Ⅱ）由余弦定理，，..名师坐堂：在应用余弦定理求角时，要注意角的范围，同时应学会余弦定理得变形应用.例3.（2012·山东理7）若，，则sin=()A. B. C. D.命题意图：本题主要考查二倍角公式以及象限角的三角函数值的符号.解析：由可得，，，答案应选D.另解：由及可得，而当时，结合选项即可得.答案应选D.名师坐堂：三角函数的诱导公式及其变形学生务必熟练，同时对于象限角的三角函数值的符号也应熟记于心.例4.（2012·山东理17）已知向量，，函数的最大值为6.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象.求g（x）在上的值域.命题意图：本题主要考查向量的运算，三角函数图像的平移与变换，三角函数的单调性以及值域.解析：（Ⅰ），则;（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.当时，，.故函数g（x）在上的值域为.另解：由可得，令，则，而，则，于是，故，即函数g（x）在上的值域为.名师坐堂：三角函数在高考中每年必考.研究三角函数的性质如单调性以及值域时除了常规性的方法外，利用导数也是解决问题的捷径.求解时应注意角的范围的确定.【命题趋向】三角函数是高考的重点内容，高考对三角函数主要考查以下三个方面：（1）三角函数的图象和性质，重在考查三角函数的值域、单调性、周期性、奇偶性、最值等；（2）三角函数的恒等变换；（3）三角函数的最值与求值问题．三角函数的图象和性质是高考的热点之一，解三角形主要考查正、余弦定理的直接应用、变形应用，以及利用正、余弦定理解斜三角形．其中两类斜三角形的求解、三角形面积公式的应用是重点．与实际问题相联系，考查高度、角度的测量等是高考考查的一个新热点，以平面向量为载体考查三角函数的基础知识，把平面向量、三角函数、解三角形等知识有机结合，题目精而巧．【直击高考】1．定义行列式运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin2x\r(3),cos2x1))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))2．若函数f（x）=，且的最小值为，则正数的值是（）A． B． C． D．3．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）A． B．C． D．4．已知角终边上一点（）A. B. C. D.05．设，若函数在［－］上单调递增，则ω的取值范围是_________.6．已知为的最小正周期，，且．求的值．7．函数在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B，C为图像与轴的交点，且为正三角形.(1)求函数的解析式;（第7题图）(2)求函数（第7题图）8.已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形中,,,为的内角的对边，且满足.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，设，,，求四边形面积的最大值.9．设函数，，其中，将的最小值记为．（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值．

热点五三角函数【直击高考】1.解析：根据行列式的定义可知f(x)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，向左平移eq\f(π,6)个单位得到g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(π,3)))＝2sin2x，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,2)))＝2sinπ＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))是函数的一个对称中心，选B.2．解析：理解题意中的条件实质为函数的周期为，易求出正数为答案：B3．解析：若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.4．解析：解析：利用任意角的三角函数定义及二倍角公式或利用特殊化思想，易得答案0答案：D5．解析：由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得6．解析：因为为的最小正周期，故．因，又．故．由于，所以.7．解析：又为正三角形,且高为,则BC=4.所以函数的最小正周期为8,即，.(2)由,解得.所以的单调递增区间为由,得