合同变换法培训

合同变换法培训平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？问:任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵第五章二次型§2标准形证明：对二次型变量个数n作归纳法.假定对n－1元二次型结论成立.下面考虑n元一、二次型的标准形线性替换化成平方和的形式.

定理1数域P上任一二次型都可经过非退化n=1时，结论成立.二次型1、任意二次型的化简（配方法）第五章二次型§2标准形第五章二次型§2标准形

这里，

是一个.的n－1元二次型.配方法第五章二次型§2标准形它是非退化的，且使第五章二次型§2标准形使它变成平方和

于是，非退化线性替换

由归纳假设，对有非退化线性替换第五章二次型§2标准形就使变成2）

但至少有一个

不妨设

作非退化线性替换：

第五章二次型§2标准形不为零.由情形1）知，结论成立.则

这是一个的二次型，且的系数

第五章二次型§2标准形这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立.

总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式.即3）

由对称性，

第五章二次型§2标准形2、二次型的标准形的定义所变成的平方和形式注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.

2）可应用配方法得到二次型的标准形.二次型

经过非退化线性替换

的一个标准形.

称为

第五章二次型§2标准形则

解：作非退化线性替换

例1、求的标准形.第五章二次型§2标准形或最后令

则

或

再令

第五章二次型§2标准形所作的非退化线性替换是

即

则

第五章二次型§2标准形定理2数域P上任一对称矩阵合同于一个证：对A的级数作归纳法.假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，分四种情形讨论：

使C´AC为对角矩阵．

即若A´＝A，则存在可逆矩阵n＝1时，为对角阵,结论成立.设对角矩阵.第五章二次型§2标准形这里这里A1为n－1级对称矩阵.第五章二次型§2标准形则

这里

是n－1级对称矩阵，第五章二次型§2标准形为对角矩阵.由归纳假设，存在可逆矩阵G，使

为对角矩阵.令

则令

则C可逆，且

为对角矩阵.第五章二次型§2标准形其中

归结为情形1，结论成立.令

，则

3)

但有一个

则

令

显然

2)但有一个

第五章二次型§2标准形归结为情形1）.则

4)

由对称性,有于是

为n－1级对称矩阵.第五章二次型§2标准形为对角矩阵.为对角矩阵.由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使

令则第五章二次型§2标准形例2根据定理2，求例1中二次型的标准形.令解：的矩阵为第五章二次型§2标准形令令第五章二次型§2标准形为对角矩阵.第五章二次型§2标准形作非退化线性替换X＝CY，则即得的标准形第五章二次型§2标准形另解:取取取第五章二次型§2标准形则第五章二次型§2标准形二、合同的变换法（1）互换矩阵的

两行，再互

换矩阵的

两列;1.定义：合同变换是指下列三种变换

（2）以数k（

)乘矩阵的第i行；再以数k乘（3）将矩阵的第i行的k倍加

到第

行，再将第

列

的k倍加到第

列（).

矩阵的第i列.第五章二次型§2标准形2.合同变换法化二次型为标准形

又，设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵基本原理：C,使Ｄ＝Ｃ'ＡＣ.

若

为初等阵，则第五章二次型