基于小波分析的信号阈值去噪方法

基于小波分析的信号阈值去噪方法

噪声去除一直是数据处理的重要内容。噪声去除算法通常使用一些噪声检测知识来估计最小散射噪声（mse）。1994年，d.l.donoho和i.m.hough-m在小波转换的基础上提出了消除小波噪声的概念，并证明该方法可以通过在非正统空间中获得其他线性形状的最佳估计。该方法已在文献中进行了进一步的研究和应用，但由于该方法中硬阈值函数的连续性，以及软阈值函数中估计的小波系数和带噪信号的小波系数之间存在一定的偏差，因此限制了它的继续应用。为了克服这个缺点，本文提出了一种新的阈值函数。与原始阈值函数相比，新阈值函数的公式和公式更加连续，更高，并且易于操作。同时，它具有软阈值函数无穷差的灵活性，可以比较软阈值函数。这些优点可以为信号的自适应创建噪声。最后，通过模拟实验验证了新阈值函数在阈值噪声中的有效性和安全性。1小波阈值去噪方法设一维观测信号为f(t)=s(t)+n(t),(1)其中s(t)为原始信号,n(t)为方差为σ2的高斯白噪声,服从N(0,σ2).对f(t)进行离散采样,得到N点离散信号f(n),n=0,1,2,…,N-1,其小波变换为Wf(j,k)=2-j/2Ν-1∑n=0f(n)ψ(2-j-k)‚j,k∈Ζ‚(2)Wf(j,k)=2−j/2∑n=0N−1f(n)ψ(2−j−k)‚j,k∈Z‚(2)Wf(j,k)即为小波系数.在实际应用中,式(2)的计算是繁琐的,而且小波函数ψ(t)一般无显式表达,从而有小波变换的递归实现方法为Sf(j+1,k)=Sf(j,k)*h(j,k)‚(3)Wf(j+1,k)=Sf(j,k)*g(j,k)‚(4)其中h和g分别是尺度函数φ(t)和小波函数ψ(t)对应的低通和高通滤波器,Sf(0,k)为原始信号,Sf(j,k)为尺度系数,Wf(j,k)为小波系数.相应的重构公式为Sf(j-1,k)=Sf(j,k)*˜h(j,k)+Wf(j,k)*˜g(j,k)‚(5)其中˜h和˜g分别对应于重构低通和高通滤波器.为方便起见记wj,k=Wf(j,k).因为小波变换是线性变换,所以对f(k)=s(k)+n(k)作离散小波变换后,得到的小波系数wj,k仍由两部分组成,一部分是信号s(k)对应的小波系数Ws(j,k),记为uj,k,另一部分是噪声n(k)对应的小波系数Wn(j,k),记为vj,k.Donoho和Johnstone提出的小波阈值去噪方法的基本思想是,当wj,k小于某个临界阈值时,认为这时的wj,k主要是由噪声引起的,予以舍弃;当wj,k大于这个临界阈值时,认为这时的小波系数主要是由信号引起的,那么就把这一部分的wj,k直接保留下来(硬阈值方法)或者按某一个固定量向零收缩(软阈值方法),然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号.此方法可通过以下3个步骤实现:1)对带噪信号f(k)作小波变换,得到一组小波系数wj,k;2)通过对wj,k用软或硬阈值函数进行阈值处理,得出估计小波系数ˆwj,k,使得|ˆwj,k-uj,k|尽量小;3)利用ˆwj,k进行小波重构,得到估计信号˜f(k),即为去噪后的信号.Donoho使用的硬阈值函数为ˆwj,k={wj,k‚|wj,k|≥λ‚0‚|wj,k|＜λ.(6)软阈值函数为ˆwj,k={sgn(wj,k)(|wj,k|-λ)‚|wj,k|≥λ‚0‚|wj,k|＜λ‚(7)其中sgn(·)为符号函数,阈值λ取为σ(2logN)1/2.图1是这两种方法的示意图.Donoho和Johnstone在文证明了由此方法得到的估计信号˜f(k)在最小均方误差Ν-1E|˜f-f|2=Ν-1Ν-1∑k=0(˜f(k)-f(k))2(8)意义上是有效的.2阈值函数的性质软硬阈值方法虽然在实际中得到了广泛的应用,也取得了较好的效果,但它们本身存在着缺点.在硬阈值方法中,ˆwj,k在λ和-λ处是不连续的,而在软阈值方法中,ˆwj,k虽然整体连续性较好,但ˆwj,k与wj,k之间总存在着恒定的偏差,这将影响重构的精度.但是若把这种偏差减小到零也未必是最好的,目的是使|ˆwj,k-uj,k|尽量小,并且软阈值函数的导数不连续,而在实际应用中经常要对一阶导数甚至是高阶导数进行运算处理,所以它具有一定的局限性.为了克服软硬阈值方法的缺点,这里构造了一种新的阈值函数ˆwj,k={sgn(wj,k)(|wj,k|-λexp(|wj,k|-λΝ))‚|wj,k|≥λ‚0‚|wj,k|＜λ.(9)其中N为任意正常数.新的阈值函数不但同软阈值函数一样具有连续性,而且当|wj,k|＞λ时是高阶可导的,便于进行各种数学处理.考察函数f(x)=sgn(x)(|x|-λexp(|x|-λΝ)).(10)当x>0时,f(x)x=x-λexp(|x|-λΝ)x=1-λxexp(|x|-λΝ)→1(x→+∞);当x＜0时,同样有f(x)x→1(x→-∞).同时,f(x)-x=sgn(x)λexp(|x|-λΝ)→0(x→∞),所以函数式(10)是以直线y=x为渐近线的,也就是说,新阈值函数以ˆwj,k=wj,k为渐近线,随着wj,k的增大ˆwj,k逐渐接近wj,k,克服了软阈值函数中ˆwj,k与wj,k之间具有恒定偏差的缺点.观察式(9)发现,当阈值λ很小时,新阈值函数的作用与硬阈值函数相当,但它更灵活;当|wj,k|非常接近阈值λ时,式(9)表明ˆwj,k近似等于wj,k,而不是直接让ˆwj,k为0.另外,从式(9)易得limΝ→∞sgn(wj,k)(|wj,k|-λ/exp(|wj,k|-λΝ))=sgn(wj,k)(|wj,k|-λ)‚(11)图2新阈值函数示意图limΝ→0sgn(wj,k)(|wj,k|-λ/exp(|wj,k|-λΝ))=wj,k‚(12)式(11)和(12)说明,当N→∞时,式(9)为软阈值函数;当N→0时,式(9)为硬阈值函数.可见,新阈值函数是介于软硬阈值函数之间的一个灵活选择,可以通过N的取值的变化,得到实用有效的阈值函数.图2是新阈值函数的示意图,其中Ν=6‚λ=3.3新阈值函数的实验为了说明新阈值函数在阈值去噪算法中的有效性,对一段含有噪声的Heavysine信号分别用传统的软硬阈值方法和文中构造的新阈值函数进行了去噪实验.其中输入信号的信噪比(SNR)为12.282?7?dB,采用的小波基是db4小波,分解层数为5层,新阈值函数中的N取为8.Donoho和Johnstone给出的通用阈值λ=σ(2logΝ)1/2在各个尺度上是固定不变的,这对在不同尺度上进行噪声抑制显然是不够合理的,仿真实验中取λ=σ(2logΝ)1/2/log(j+1),其中j为分解尺度.在实际应用中,噪声方差σ总是不可知的,去噪处理时可以取σ=median(|wj,k|)/0.674?5.图3～7分别为这3种方法的实验结果,从图中可看出,采用新阈值函数的去噪结果在视觉效果上优于软硬阈值方法,有效抑制了去噪算法在信号奇异点附近的Pseudo-Gibbs现象.表1给出了这3种方法SNR和MSE的比较,从数据上可以看出采用文中构造的阈值函数,其去噪结果无论是在SNR增益还是在MSE意义上均优于传统的软硬阈值方法.4新阈值函数的应用和阈值函数的选取讨论了Donoho和Johnstone提出的阈值去噪的基本思想和实现步骤,然后针对软硬阈值方法的缺点构造了一种新的阈值