浙江省2016年10月数学学业水平测试第18题说题

小图形，大作用——说说浙江省2023年10月数学学业水平测试第18题背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和开展学生空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段必修系列课程的根本要求.作为最简单的多面体，三棱锥中蕴含着丰富的点、线、面之间的位置关系和数量关系，其在立体几何中所起的作用等同于三角形在平面几何中所起的作用，是立体几何中最根本的图形之一.背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示此题是浙江省2023年10月数学学业水平测试第18题，即选择题压轴题，其以三棱锥为载体，涉及立体几何、函数与不等式等知识，既考查了学生对直线和平面位置关系的判断及空间角的计算，也考查了学生数学运算和逻辑推理能力.函数与不等式是处理最值问题的根本方法.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是培养学生数学建模能力的重要载体.函数的思想方法作为高中四大数学思想方法之一，将贯穿高中数学课程的始终.另外，不等关系是客观事物的根本数量关系之一，认识根本不等式，会用根本不等式解决简单的最值问题也是课标的要求.背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔一〕题意解读〔二〕解法剖析背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔一〕题意解读显性条件：三棱锥的各条棱长,AB，CD与四边形EFGH的位置关系；此题的目标是求出四边形面积的最大值.3.方案拟定欲求四边形面积，需探究其形状；欲求最值，一般考虑几何和代数两大类解法.1.条件解读2.目标解读隐性条件：三棱锥中各棱、面之间的数量关系，四边形EFGH的形状，E、F、G、H变化时的依赖关系.背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔二〕解法剖析M背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示

当G由B点运动到C点的过程中，平行四边形的面积先变大后变小，因此存在一个特殊位置，使得四边形的面积最大.根据变化的对称性，不难发现当G在BC中点时，四边形的面积最大，此时有，最大面积为1.点评：小题小作，半猜半做.此法虽不严谨，但数学猜测是数学开展中最活泼、最主动、最积极的因素之一,是人类理性中最富有创造性的局部，直观想象也是我们应该关注的数学核心素养之一.M解法1：几何直观背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示M解法2：函数视角〔一〕——设长度背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示解法3：函数视角〔二〕——设比例

M点评：函数是求解最值问题的根本方法，通过引入变量，建立函数模型，使得面积的变化规律一目了然.背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示M解法4：不等式视角背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示解法4：不等式视角

M点评：不等式也是求解最值问题的根本方法，通过定值的配凑，运用根本不等式既适当地减少了运算量，也表达了函数、方程、不等式之间的相互转化.解法5：空间向量背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示点评：提供了一种求AB,CD所成角的方法，但建系困难.〔一〕位置关系的判断背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔二〕截面形状的判断〔三〕面积、体积的计算〔四〕空间角的计算背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔一〕位置关系的判断变式1：如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，G、H分别在BC、AC上，且BG：GC=AH：HC=1:2．(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)设FG与EH交于点P，求证：P、D、C三点共线.ABDCGHEF设计意图：表达了“平面根本性质〞在解决“点共面〞、“线共点〞中的应用．背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔一〕位置关系的判断变式2：如图，在四面体中ABCD中，点E、F、G、H分别在棱AD，BD，BC，AC上，假设AB∥GH，CD∥FG，求证：EF∥GH，EH∥FG.设计意图：表达了线线平行、线面平行之间的相互转化，很好地稳固了线面平行的判定和性质定理．背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔一〕位置关系的判断变式3：如图，在四面体中ABCD中，AD=BD=3，AC=BC=4，求证：AB⊥CD.ABDC设计意图：表达了线线垂直、线面垂直之间的相互转化，很好地稳固了线面垂直的判定和性质定理．背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔二〕截面形状的判断变式4：在四面体中，E，F，G，H分别是棱AD，BD，CB，CA的中点，那么当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件______________时，四边形EFGH是正方形.说明：特别地当时，E，F，G，H为空间四边形各边的中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形；如果再加上条件AC=BD，这时，平行四边形EFHG为菱形．设计意图：是线线平行〔垂直〕、线面平行〔垂直〕的判定和性质定理的应用，表达了它们之间的相互转化．背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔三〕面积、体积的计算变式6〔面积的计算〕：如下图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？设计意图：一般化背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔三〕面积、体积的计算变式7〔体积的计算〕：在四面体中ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，求该四面体的体积．ABDC设计意图：稳固线面垂直的判定，复习空间几何体体积的求法．M背景分析变式拓展题目再现解法探究教学启示〔四〕空间角的计算ABDC设计意图：既稳固了异面直线所成角、线面所成角、面面所成角的概念和求法，也复习了线线垂直、线面垂直和面面垂直的判定和性质，通过比照，让学生体会各空间角之间的联系与区别．变式9：如图，在四面体中ABCD中，AB=CD=2,AD=BD=3，AC=BC=4，求直线AB与平面BCD的所成角.〔线面角〕变式10：如图，在四面体中ABCD中，AB=CD=2,AD=BD=3，