管理运筹学第九章 目标规划

管理运筹学第九章目标规划目标规划问题举例有优先权的目标规划的图解法复杂情况下的有优先权的目标规划加权目标规划本章内容1234目标规划问题举例有优先权的目标规划的图解法复杂情况下的有优先权的目标规划加权目标规划本章内容1234§1目标规划问题举例例2商务活动企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，需要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策问题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。例1企业生产不同企业的生产目标是不同的。但随着环境问题的日益突出，可持续发展已成为全社会必须考虑的问题。因此，企业生产必须承担起社会责任，考虑环境污染、社会效益、公众形象等多个方面。§1目标规划问题举例

例3投资企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。通常，风险大的投资收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风险承受水平有明确的期望值时，才能得到满意的决策。例4裁员企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾的因素。裁员的首要目的是压缩人员开支，但忠诚度就很难保证,员工的心理压力、工作压力等都会增加，可能产生负面影响。例5营销营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望能达到立竿见影的效果，又希望营销的成本控制在某一个范围内。目标规划问题举例有优先权的目标规划的图解法复杂情况下的有优先权的目标规划加权目标规划本章内容1234§2有优先权的目标规划的图解法

例6一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为90000元，目前可选的股票有A和B两种（可以同时投资于两种股票）。其价格以及年收益率和风险系数如所示。

股票价格/元年收益/（元/年）风险系数A2030.5B5040.2A股票的收益率为（3/20）×100%=15%，股票B的收益率为4/50×100%=8%，A的收益率比B大，但同时A的风险也比B大。这也符合高风险高收益的规律。 试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收益不低于10000元。§2有优先权的目标规划的图解法

两个目标变量：限制风险、确保收益。 假设目标限制风险的优先权比目标确保收益大，必须首先满足第一个目标，再尽量满足第二个目标。建立模型： 设x1、x2

分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即20x1+50x2≤90000。

注意：资产总额的约束是刚性约束，是不允许突破的。§2有优先权的目标规划的图解法

风险约束：总风险不能超过700。投资的总风险0.5x1+0.2x2。引入两个变量d1+和d1−，等式如下。

d1+表示总风险高于700的部分，d1−表示总风险少于700的部分，d1+

，d1−≥0。 把d1+和d1−这样的变量称为偏差变量。偏差变量的作用是允许约束条件不被精确满足。0.5x1+0.2x2=700+d1+−d1−一、约束条件§2目标规划的图解法

等式转换可得

0.5x1+0.2x2−d1++d1−=700。年收入约束：年收入=3x1+4x2

引入变量d2+和d2−，分别表示年收入超过与低于10000的数量。第2个目标可表示为3x1+4x2−d2++d2−=10000§2有优先权的目标规划的图解法

二、有优先权的目标函数

本问题中目标较高的优先权为P1，目标较低的优先权为P2。 针对每一个优先权，建立一个单一目标的线性规划模型。首先建立具有最高优先权的目标的线性规划模型，求解；然后按优先权逐渐降低的顺序分别建立单一目标的线性规划模型，方法是在原来模型的基础上修改目标函数，并把原来模型求解所得的目标最优值作为一个新的约束条件加入到当前模型中，并求解。§2有优先权的目标规划的图解法

三、图解法

1．针对优先权最高的目标建立线性规划20x1＋50x2≤900000.5x1

+0.2x2−d1++d1-=7003x1+4x2−d2++d2-=10000x1,x2,d1+

,d1-≥0建立线性规划模型如下：Mind1+；s.t.§2有优先权的目标规划的图解法当d1+=d1-=0时，约束条件0.5x1

+0.2x2−d1++d1-=700变为0.5x1

+0.2x2=700；约束条件3x1+4x2−d2++d2-=10000暂时不起作用。§2有优先权的目标规划的图解法

2．针对优先权次高的目标建立线性规划优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。

建立线性规划如下：mind2-s.t.

20x1＋50x2≤900000.5x1

+0.2x2−d1++d1-=7003x1+4x2−d2++d2-=10000

d1+＝0x1,x2,d1+

,d1-,d2+,d2-≥0

把第一步求得的d1+＝0作为约束条件放到这个线性规划中。§2有优先权的目标规划的图解法§2有优先权的目标规划的图解法3x1+4x2

=10000直线的左下方区域中d2->0,右上方区域中d2-=0，可得d2-最小值，但该区域和阴影部分无重合，接受d2->0的解。阴影区域中d2-最小的点即直线0.5x1

+0.2x2=700和20x1＋50x2=90000的交点（810,1476），总风险为700，总收益为3×810+4×1476=2430+5904=8334<10000故没有达到第二个目标。本例中，优先权高的目标实现了，并付出了优先权低的目标没有实现的代价。如果采用“管理运筹学”软件进行求解，可知d1+=d1-=0,d2+=0,d2-≈1667。§2有优先权的目标规划的图解法

求解方法： （1）确定解的可行区域。 （2）对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标的解，则寻找最接近该目标的解。 （3）对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先权高的目标不变。 （4）重复第3步，直至所有优先权的目标求解完。§2有优先权的目标规划的图解法四、目标规划模型的标准化

例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简便，把它们用一个模型来表达：

20x1＋50x2≤900000.5x1

+0.2x2−d1++d1-=7003x1+4x2−d2++d2-=10000x1,x2,d1+

,d1-,d2+,d2-≥0

minP1（d1+）+P2（d2-）s.t.目标规划问题举例有优先权的目标规划的图解法复杂情况下的有优先权的目标规划加权目标规划本章内容1234§3复杂情况下的有优先权的目标规划

例7．一工艺品厂商生产某两种工艺品A、B，生产产品A需要耗费人力2工时/件，生产产品B需要耗费人力3工时/件。A、B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于600工时，不能超过680工时的极限；次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提下，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件，B产品比A产品更重要，假设B完成最低产量120件的重要性是A完成200件的重要性的2倍。 试求如何安排生产？

解：

该问题中3个不同优先权的目标，用P1、P2、P3

表示从高至低的优先权。

P1

有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工时，也不能超过680工时；

P2

有一个目标：每周的利润超过70000元；

P3

有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和120件。

§3复杂情况下的有优先权的目标规划

采用简化模式，得目标线性规划如下：

§3复杂情况下的有优先权的目标规划x1，x2，d1+,

d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0

minP1(d1+)+P1(d2-)+P2(d3-)+P3(d4-)+P3(2d5-)s.t.

2x1+3x2-d1++d1-=680,

对应第1个目标，2x1+3x2-d2++d2-=600,对应第2个目标，250x1+125x2-d3++d3-=70000,对应第3个目标，x1-d4++d4-=200,对应第4个目标，x2-d5++d5-=120,对应第5个目标，化解多步线性规划问题求解

§3复杂情况下的有优先权的目标规划x1,x2,d1+,d1−,d2+,d2−,d3+,d3−,d4+,d4−,d5+,d5−≥0

首先考虑P1，建立线性规划模型mind1++d2−s.t.2x1+3x2-d1++d1-=680,2x1+3x2-d2++d2-=600,250x1+125x2-d3++d3-=70000,x1-d4++d4-=200,x2-d5++d5-=120,求解可得x1=0，x2=200，d1+=0，d1-=80，

d2+=0，d2-=0，d3+=0，d3-=45000d4+=0，d4-=200，d5+=80，d5-=0,目标函数d1++d1-=0。

再考虑P2，把前一个线性规划目标函数得到的最优值作为新增约束条件，建立线性模型如下:mind3−;

§3复杂情况下的有优先权的目标规划

s.t.2x1+3x2-d1++d1-=680,2x1+3x2-d2++d2-=600,250x1+125x2-d3++d3-=70000,x1-d4++d4-=200,x2-d5++d5-=120,d1++d1-=0

x1,x2,d1+,d1−,d2+,d2−,d3+,d3−,d4+,d4−,d5+,d5−≥0求解可得，x1=270，x2=20，d1+=0，d1−=80，d2+=d2−=0，

d3+=d3−=0，d4+=70，d4−=0，d5+=0，d5−=100，目标函数d3−=0。§3复杂情况下的目标规划

类似地，对P3建立对应的线性规划模型（把上一优先权的目标函数最优值作为新增约束条件），模型如下：

mind4−+2d5−s.t.2x1+3x2-d1++d1-=680,2x1+3x2-d2++d2-=600,250x1+125x2-d3++d3-=70000,x1-d4++d4-=200,x2-d5++d5-=120,d1++d1-=0,d3-=0，

x1,x2,d1+,d1−,d2+,d2−,d3+,d3−,d4+,d4−,d5+,d5−≥0

目标1、目标2、目标3和目标4达到了，但目标5有些偏差。

§3复杂情况下的有优先权的目标规划求解可得：

x1=250，x2=60，d1+=0，d1−=0，d2+=80,d2−=0，

d3+=0,d3−=0，d4+=50，d4−=0，d5+=0，d5−=60，目标函数

d4−+2d5−=120。使用“管理运筹学软件”可求得以上结果，在目标规划子模型中输入目标规划的数据即可，相关输入方法和注意事项可以参考教科书第211页。目标规划问题举例有优先权的目标规划的图解法

复杂情况下的有优先权的目标规划加权目标规划本章内容1234§4加权目标规划

加权目标规划是通过量化方法分配给每个目标偏离严重程度的一个罚数权重，建立总的目标函数，使得每个目标函数与各自目标的加权偏差之和最小。例7中对每周总耗费的人力资源超过680工时或低于600工时的每工时罚数权重定为7；每周利润低于70000元时，每元的罚数权重为5；每周产品A产量低于200件时