全等三角形常见辅助线作法

全等三角形辅助线知识要点：判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL

如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。构造辅助线的方法：1．截长补短法。

2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。3．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。4．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。例1、如图AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在AB上截取AF，使AF=AC，这样，只要证明FB=BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。答案证明：在AB上取点F，使AF=AC，连接EF∵EA平分∠CAB∴∠CAE=∠FAE∴△CAE≌△FAE（SAS）∴∠C=∠AFE∵AC∥BD∴∠C+∠D=180°又∵∠AFE+∠BFE=180°∴∠D=∠BFE∵EB平分∠ABD∴∠EBF=∠EBD∴△BFE≌△BDE（AAS）∴BD=BF∵AB=AF+BF∴AB=AC+BD分析过程：要证：AB=AC+BD需证：AC=AF、BD=BF要证：AC=AF、BD=BF需证：△BFE≌△BDE要证：△BFE≌△BDE需证：∠D=∠BFE要证：∠D=∠BFE需证：∠C=∠AFE要证：∠C=∠AFE需证：△CAE≌△FAE注：（1）若分别延长AC和BE，相交于点G，能否证明结论成立？如能，请你证明，如不能，请说明理由。（2）本题中E点是否是CD的中点，如是，请证明。（3）本题的大前提AC∥BD不变，而在以下四个条件：EA是∠BAC的平分线，EB是∠ABD的平分线，E是CD的中点，AB=AC+BD中，任取两个作为已知条件，另外两个作为结论，命题是否成立？请你说明理由。证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）321*∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∴DE=DC（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCF延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△BFD和△BCD中∵BF=BC（已知）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）1243∵∠F＝∠C（已证）∴∠4=∠C（等量代换）321*∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠F（等边对等角）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）例2、已知：如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°练习1、在RT△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，求证BD=2CE.(要求：不能用补短法，只能用截长法)练习2、已知，如图：在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD.(要求：不能用截长法,只能用补短法)2．平行线法（或平移法）如果题目中含有中点，可以通过中点作平行线或中位线对于Rt△,有时可作出斜边的中线．例2、如图，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。3．倍长法如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。如何利用三角形的中线来构造全等三角形？复习：

可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。

如图，若AD为△ABC的中线，

必有结论：ABCDE12延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。△ABD≌△ECD，∠1=∠E，∠B=∠2，EC=AB，CE∥AB。例1、如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD例2、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF

分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。4．翻折法沿角平分线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形

可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。方法一：ABCDE必有结论：在AB上截取AE=AC，连结DE。△ADE≌△ADC。ED=CD，3*21∠AED=∠C，∠ADE=∠ADC。方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有结论：△ABD≌△AFD。BD=FD，如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：3*21

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。∠B=∠F，∠ADB=∠ADF。练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDE1221证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∴∠B=∠4（等边对等角）4*∴∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代换）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠C=2∠B（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）∴AB=AC+CF=AF（等量代换）∵∠ACB=2∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠ACB=2∠B（等量代换）321*在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已证）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AFD（S.A.S）∴∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）∵CF=CD（已知）∴∠B=∠3（等边对等角）例1、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。例2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。例3、如图，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。求证：PA＝PB＋DQ。如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：ABCDMN方法三：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。必有结论：△AMD≌△AND。DM=DN，3*21

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。AM=AN，∠ADM=∠AND。

（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已证）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）12∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）N43321*∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。12N43321*∵BD是∠ABC的角平分线（已知）DN⊥BA