材料力学课件

1

绪论一.

材料力学的任务二.变形固体的假设小变形假设三.内力和应力四.应变五.构件的分类六.杆件基本变形2专业基础课可直接应用于道路、桥梁、建筑、航空航天、工程机械等领域在基础课与专业课之间起桥梁作用，为后续课程（如：结构力学、弹性力学、机械原理等）打下基础课程特点概念多、公式多、计算多

一.材料力学的任务31.研究内容与研究对象

工程结构或机械一般由各种零件（构件

）组成。力的效应外效应（动态发生改变）内效应（形态发生改变）{其工作时，构件就会承受一定的载荷（即力的作用）4材料力学研究力产生的内效应——

变形固体理论力学研究力产生的外效应——刚体2.课程任务

结构物或机械要正常工作，要求组成它们的构件有足够的承担载荷的能力——承载能力5（1）构件必须具有足够的强度衡量构件承载能力的三个主指标：抵抗破坏的能力保持原有平衡状态的能力承载能力主要与构件的材料、截面形状与尺寸、成本有关。（2）构件必须具有足够的刚度抵抗变形的能力（3）构件必须具有足够稳定性6本课程的任务：（既安全又经济地设计构件）

材料力学就是通过对构件承载能力的研究，找到构件的截面尺寸、截面形状及所用材料的力学性质与所受载荷之间的内在关系，从而在既安全可靠又经济节省的前提下，为构件选择适当的材料和合理的截面尺寸、截面形状。课程的研究方法理论分析和实验相结合:

材料的力学性质需要通过试验获得

一些理论以实验结果得出的假设为前提7变形固体：基本假设：1.连续性2.均匀性3.各向同性在外力作用下可发生变形的固体。二.变形固体的物性假设81.内力与截面法：内力的定义：在外力作用下，构件内部各部分之间因相对位置改变而引起的附加的相互作用力——内力截面法：(1)截开：(2)代替：(3)平衡：三.内力和应力9FN

(或N)——轴力Fsy,FSz

(

或Qy

Qz

)——剪力Mx

(或T,Mn

)——扭矩My,

Mz

——弯矩10应力的概念:①应力定义：截面上一点处内力的聚集程度FNFN两杆的材料、长度均相同。内力相同，为FN(显然粗杆更为安全)

构杆的强度与内力在截面上的分布和在某点处的聚集程度有关。2.应力11②一点的全应力：⊥截面；∥截面③垂直于截面的应力分量----正应力④切于截面的应力分量----切(剪)应力面积⊿A12应力的单位：

Pa

1Mpa=106Pa1GPa=109Pa

三者之间的关系：13四.应变棱边ka

的平均线应变k点沿棱边ka

方向的线应变1.线(正)应变线应变特点(1).正应变是无量纲量(2).

过同一点不同方位的线应变一般不同142.切(剪)应变定义微体相邻棱边所夹直角的改变量g

，称为切应变切应变单位为弧度（rad）切应变量纲与单位153.应力应变之间的相互关系

实验表明：在弹性范围内加载，正应力与正应变存在线性关系

虎克定律

(E

称为材料的弹性模量)

实验表明：在弹性范围内加载，切应力与切应变存在线性关系

：

剪切虎克定律

(G称为材料剪切弹性模量)(一点的)应力与应变之间的对应关系单向正应力作用下的变形切应力作用下的变形16板壳块体杆件五.构件的分类17外力特点：由作用线与杆轴重合的外力所引起变形特点：杆件的长度发生伸长和缩短外力特点：由大小相等，方向相反，作用线垂直于杆轴并相距很近的一对外力所引起变形特点：受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对的错动六杆件基本变形1.轴向拉伸和压缩2.剪切181.工程实例：工程桁架一概念与实例192、轴向拉压的概念：（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。（1）受力特点：FN1FN1FN2FN2外力合力作用线与杆轴线重合。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为轴向拉压杆。ABCF20二.轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件内力1.轴向拉压杆横截面的内力——

轴力（用FN

表示）21例：已知外力F，求：1－1截面的内力FN

解：FF1-------1∑FX=0,FN

-F=0

FFN（截面法确定）(1)截开(2)代替，FN代替(3)平衡FN

=FFNF以1－1截面的右段为研究对象内力FN沿轴线方向，所以称为轴力22轴力的符号规定：压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面

FNFFFN（＋）

FNFFN（－）F23轴力图：+FNx(1)直观反映轴力与截面位置变化关系；(2)确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力图的意义轴力沿轴线变化的图形FF24例:

图示杆的A、B、C、D点分别作用大小为FA=5F、FB=8F、FC=4F、FD=F的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。FN1ABCDFAFBFCFDO解：求OA段内力FN1：设截面如图ABCDFAFBFCFD∑FX=025FN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求CD段内力：

求BC段内力：求AB段内力：FN3=5F，FN4=FFN2=–3F，BCDFBFCFDCDFCFDFN2=–3F，FN3=5F，FN4=FFN1=2F，∑FX=0∑FX=0∑FX=026轴力图如下图示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDO272.轴向拉压杆横截面的应力实验：FF变形规律：横向线……纵向线……平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作相对平移28应力的计算公式：——横截面上正应力的计算公式应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布F

29正应力的符号?拉为正压为负拉压杆内最大的正应力：等直杆：变直杆：303.轴向拉压杆任意斜面上应力的计算斜截面?内力确定：应力确定：①应力分布—均布②应力公式FNa=FFFFFFNa31符号规定⑴.a逆时针——“a”

为正值顺时针——“a”

为负值⑵.σa⑶.τaaF32斜截面上最大应力值的确定(横截面上)(450斜截面上)F33（其中n为安全系数,值＞1）⑶.安全系数取值考虑的因素：给构件足够的安全储备。②理论与实际的差异。⑴.极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而不能安全工作时的最小应力值。σjx（σu、σ0）⑵.许用应力：构件安全工作时的最大应力。[σ]极限应力、许用应力4.拉压杆的强度计算34强度条件：最大工作应力小于等于许用应力≤35（3）确定外荷载——已知：[σ]、A。求：F。FNmax≤[σ]A

→

F（2）、设计截面尺寸——已知：F、[σ]。求：A解：A≥FNmax／[σ]。强度条件的应用：（解决三类问题）：（1）、校核强度——已知：F、A、[σ]。求：解：？≤？解：36例

已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力

[

]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：1、轴力FN

=F

=25kN2、应力：3、强度校核：满足强度FF37例

已知简单构架：杆1、2截面积A1=A2=100mm2，材料的许用拉应力

[st]=200MPa，许用压应力[sc]=150MPa

试求：载荷F的许用值[F]38解：1.轴力分析2.利用强度条件确定[F]39三.

轴向拉压杆的变形节点的位移1、轴向拉压杆的变形

轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。40(1)、轴向变形：轴向线应变：虎克定律:（虎克定律的另一种表达方式）分析两种变形

EA－抗拉（压）刚度

Dl－伸长为正，缩短为负ΔL=L1-L在弹性范围内,41(2)横向变形：横向线应变：横向变形系数（泊松比）在弹性范围内：42a.等直杆受图示载荷作用，计算总变形。（各段EA均相同）例:FNiFNi43b.阶梯杆，各段EA不同，计算总变形。

44c.分段求解:试分析杆AC的轴向变形

Dl45③画节点位移图求节点位移②求各杆的变形量△li以垂线代替图中弧线。①分析受力确定各杆的内力FNiL2ABL1CF

就是C点的近似位移。2、计算节点位移就是C点的节点位移图。例:

图示结构由两杆组成，两杆长度均为l，B

点受垂直荷载P作用。由平衡条件可解得：

（1）杆①为刚性杆，杆②刚度为EA，求节点B的位移；（2）

杆①、杆②刚度均为EA，求节点

B的位移。PAB①②450C450BPFN1FN2a.受力图解:（1）FN1=PFN2=√2P

b.位移图

由节点位移图可得节点B的位移：

节点B位移图节点B位移图解（2）节点受力图同上，节点位移图见下图。

FN2节点B

的总位移

B的水平及垂直位移分别为：

49

力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。不同的材料具有不同的力学性能材料的力学性能可通过实验得到。四.材料在拉压时的力学性质——常温静载下的拉伸压缩试验50拉伸标准试样压缩试件——很短的圆柱型：

h=(1.5—3.0)dhd51试验装置变形传感器52拉伸试验与拉伸图(F-Dl

曲线)53⑴、弹性阶段:oAoA’为直线段；AA’为微弯曲线段。—比例极限；—弹性极限。⑵、屈服阶段:B’C。—屈服极限屈服段内最低的应力值。1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质(四个阶段)一)、材料在拉伸时的力学性质54弹性阶段:oA,屈服阶段:B’C。⑶、强化阶段：CDσb

—强度极限（拉伸过程中最高的应力值）。滑移线55⑷、局部变形阶段（颈缩阶段）：DE在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。缩颈与断裂56卸载定律及冷作硬化e

P塑性应变s

e

弹性极限e

e－弹性应变预加塑性变形,可使s

e

或s

P提高卸载定律：

当拉伸超过屈服阶段后，如果逐渐卸载，在卸载过程中，应力——应变将按直线规律变化。冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。57材料的塑性延伸率l－试验段原长（标距）Dl0－试验段残余变形塑性材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力58塑性材料：d≥5%例如结构钢与硬铝等脆性材料：d<5%例如灰口铸铁与陶瓷等塑性与脆性材料延伸率59共有的特点：断裂时具有较大的残余变形，均属塑性材料。

有些材料没有明显的屈服阶段。2.其他材料的拉伸试验(1).其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能硬铝50钢30铬锰硅钢

对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈服应力表示

60

产生的塑性应变时所对应的应力值。（二）、铸铁拉伸试验1）无明显的直线段；2）无屈服阶段；3）无颈缩现象；4）延伸率很小。σb——强度极限。es0.2s0.2%

名义屈服极限s61(2)铸铁的拉伸破坏62低碳钢的压缩试验弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同。超过屈服阶段后，外力增加面积同时相应增加，无破裂现象产生。二)、材料在压缩时的力学性质拉伸图63其它脆性材料压缩时的力学性质大致同铸铁，工程上一般作为抗压材料。破坏面大约为450的斜面。铸铁的压缩试验64五轴向拉压杆系的超静定问题一).概念1.静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数，利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力——静定问题2.超静定：结构或杆件的未知力个数多于有效静力方程的个数，只利用静力方程不能求出所有的未知力——超静定问题3、多余约束：在超静定系统中多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座。aaABC12D3多余约束

超静定结构大多为在静定结构的基础上再加上一个或若干个多余约束，这些约束对于特定的工程要求往往是必要的）654、多余约束反力：多余约束对应的反力。=未知力个数–

平衡方程个数。二)、超静定的求解步骤：2、根据变形协调条件列出变形几何方程。3、根据物理关系写出补充方程。4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。1、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。5、超静定的次数66

几何方程——变形协调方程：

物理方程－变形与受力关系解：

平衡方程:

、联立方程(1)、(2)、(3)可得:ABDC132aa例：图示杆系结构，，求：各杆的内力。FN1AaaFN2FN367三)、温度应力、装配应力1）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。温度引起的变形量—①静定问题无温度应力。②超静定问题存在温度应力。例

已知两杆面积A、长度L、弹性模量E相同，求：当1杆温度升高时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数BC1268BC12

平衡方程:

几何方程：解：解除1杆约束，使其自由膨胀；AB横梁最终位置在A’B’

物理方程：692）装配应力——预应力、初应力：②超静定问题存在装配应力(后面举例)①静定问题无装配应力(见下图)由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应力。ABC12B70解：

平衡方程:例：已知：各杆长为：、；A1=A2=A、A3

；E1=E2=E、E3。3杆的尺寸误差为，求:各杆的装配内力。aa

几何方程：

物理方程：一.剪切的概念和实例

铆钉工程实际中用到各种各样的连接，如：

销轴平键榫连接(剪切)受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线相距很近。变形特点：构件沿两力作用线之间的某一截面产生相对错动或错动趋势。FF铆钉连接剪床剪钢板剪切面FF双剪切剪切面FF连接处两种主要破坏形式：1、剪切破坏

构件两部分沿剪切面发生滑移、错动2、挤压破坏

在接触区的局部范围内，产生显著塑性变形

剪切与挤压破坏都是实际情况复杂，这里仅介绍工程上的实用计算方法名义切应力计算公式：剪切强度条件：——名义许用切应力由实验方法确定

实用计算中假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的二.剪切的实用计算FF剪切面上的内力

（用截面法求）剪切强度条件同样可解三类问题挤压力不是内力，而是外力挤压面上应力分布也是复杂的实用计算中，名义挤压应力公式挤压强度条件：常由实验方法确定

——挤压面的计算面积

三.挤压的实用计算FF挤压强度条件同样可解三类问题例:

已知：d

=2mm，b=15mm，d=4mm，[t]=100MPa，

[s]bs

=300MPa，[s]=160MPa。试求：[F]解：

1、剪切强度2、挤压强度3、钢板拉伸强度例:

已知：F=80kN,d=10mm,b=80mm,d=16mm,[t]=100MPa,[s]bs=300MPa,[s]=160MPa

试校核接头的强度解：1.接头受力分析

当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过铆钉群剪切面形心时，通常即认为各铆钉剪切面上的剪力相等若有n个铆钉，则每一个铆钉受力一.

扭转概念和工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭主动力偶约束力偶一)、扭转的工程实例2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭3、机器中的传动轴工作时受扭二)、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆——轴。右图一)、外力偶矩计算设：轴的转速n

转／分(r／min)，其中某一轮传输的功率为：

N千瓦(KW）实际作用于该轮的外力偶矩m

，则二.自由扭转杆件的内力计算mm1、扭转杆件的内力（截面法）x

TmmT取右段为研究对象：内力偶矩——扭矩

取左段为研究对象：二)、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图(或Mn

MT

）x2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。T+T-

例:

一传动轴如图，转速n=300r/min；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW。试作轴的扭矩图。

3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。扭矩图作法(同轴力图)：a、计算作用在各轮上的外力偶矩解：M1

M2

M3

M4

ABCDM1

M2

M3

M4

ACDBb、分别计算各段的扭矩221133T2AM2

BM3

22xT31T11xM2A33DM4

x扭矩图4.789.566.37T图(kN·m)M2

M1

M3

M4

ABCD1、实验：三.关于切应力的若干重要性质一)、薄壁圆筒横截面上的应力(薄壁圆筒轴的扭转),r0----为平均半径）(壁厚2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线

——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：横截面上可认为切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；3、切应力的计算公式：

da薄壁圆筒横截面上的切应力计算式二)、关于切应力的若干重要性质1、剪切虎克定律做薄壁圆筒的扭转试验可得T——剪切虎克定律在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——Me

Me

xyzabOcddxdydzt'ttt'自动满足存在t'得2、切应力互等定理切应力互等定理

单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。dabctt't'txyzabOcddxdydzt'ttt'

在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。一)、圆轴扭转时横截面上的应力(一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律1、实验：四.圆轴扭转时横截面上的应力观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。剪应变的变化规律：(二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律方向垂直于半径。弹性范围内(三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式令代入物理关系式得：圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。扭转变形计算式横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：Ip—截面的极惯性矩，单位：二)、圆轴中τmax的确定单位：D三)、圆截面的极惯性矩Ip

和抗扭截面系数Wp实心圆截面：Odrr空心圆截面：Dd注意：对于空心圆截面Dd1、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:五.扭转变形扭转强度和刚度计算≤≥2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:≤一)、扭转强度计算例:

已知

T=1.5kN

.

m，=

50MPa，试根据强度条件设计1.实心圆轴2.α

=

0.9

的空心圆轴。解：1.确定实心圆轴直径2.确定空心圆轴内、外径例:

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径

d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kNm，MB=36kNm，MC=14kNm。材料的许用切应力=80MPa

，试校核该轴的强度。解：1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB2、刚度条件：3、刚度条件应用：1)校核刚度3)确定荷载2)设计截面例:

已知：MA=180N.m，MB=320N.m,

MC=140N.m,Ip=3×105mm4，l=2m，G=80GPa，[q]=0.5(

/m).求:1.jAC=?2.校核轴的刚度解：1.变形分析2.刚度校核轴的刚度足够

例:

传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率N1=400kW，从动轮B，C

分别输出功率N2=160kW，N3=240kW。已知[τ]=70MPa，

[

]=1º/m，G=80GPa。

(1)试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2；

(2)若AB和BC两段选同一直径，试确定直径d；

(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力

2.扭矩图按刚度条件3.直径d1的选取按强度条件

按刚度条件4.直径d2

的选取按强度条件

5.选同一直径时

6.将主动轮装在两从动轮之间受力合理六.圆轴扭转破坏分析低碳钢试件：沿横截面断开。

材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）

材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。七.矩形截面杆的自由扭转常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件圆杆扭转时——

横截面保持为平面；非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究非圆截面杆扭转的分类：1、自由扭转（纯扭转），2、约束扭转。自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截面翘曲程度相同。约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘曲程度不同。1、横截面上角点处，切应力为零2、横截面边缘各点处，切应力//截面周边3、横截面周边长边中点处，切应力最大矩形截面杆自由扭转时应力分布特点bhT（弹性力学解）系数a,b,g与h/b

有关，见教材之表4-2长边中点t最大矩形截面杆自由扭转时应力计算狭窄矩形截面扭转h－中心线总长推广应用狭长矩形3)、两者的比值：例：均相同的两根轴，分别为圆截面和正方形截面。试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。解：1)圆截面2)矩形截面结论：无论是扭转强度，还是扭转刚度，圆形截面比正方形截面要好。解：1.闭口薄壁圆管例:

比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能，设

R0＝20d一)、弯曲实例厂房的天车大梁一.平面弯曲的概念及工程实例FF火车的轮轴FFFF楼房的横梁：阳台的挑梁：二)、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。

以产生弯曲变形为主的杆---梁。三)、平面弯曲的概念：纵向对称面受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中心）。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。纵向对称面MF1F2q平面弯曲二静定梁的分类（三种基本形式）Mq(x)1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：FLLLLq(x)一)、弯曲内力的确定（截面法）：例:已知：如图，F，a，l。

求：距A端x处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力（支座反力）(FAX

=0以后可省略不求)三.剪力方程与弯矩方程ABFFAYFBYmmx②求内力FsMMFs－剪力，－弯矩。FAYACFBYFC研究对象：m-m

截面的左段：若研究对象取m-m

截面的右段：1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。2.剪力：Fs

构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。二)、弯曲内力的正负号规定:

①

剪力Fs

②

弯矩M

Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122例：梁1-1、2-2截面处的内力。解：（1）确定支座反力RARB(2)1-1截面左段右侧截面：2--2截面右段左侧截面：RA0.8kN1.2kN/m三)、剪力方程、弯矩方程：

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。剪力方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式

显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。LqAB(-)M例:F(x)xF解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图例:

列出梁内力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。例:

图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql

2FS

ql28l/2M

3、作剪力图和弯矩图载荷对称、结构对称则剪力图反对称,弯矩图对称,剪力为零的截面弯矩有极值例:

图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力BlAFxFAFBabCAC段CB段FAxAM(x)FS(x)FBFS(x)M(x)2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出3、作剪力图和弯矩图FS

FblxFalMxFablB

在集中力F作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折lAF

abC例:

图示简支梁在C点受矩为Me

的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：FA

FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力图和弯矩图b>a时(在C截面右侧)FslxMe

lMxMealMeb

集中力偶作用点处剪力无影响，弯矩有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAYFBY例:画出梁的内力图。3、根据方程画内力图xFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)四.剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一)、剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：FAyFBy2、内力方程3、讨论如下xLqAB对dx

段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs

(x)Fs(x)M(x)dx

剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。q、Fs和M三者的微分关系二)、微分关系的应用2、分布力q(x)=常数时1、分布力q(x)=0

Fs图：M图：

剪力图为一条斜直线；

弯矩图为一条二次曲线。（1）当分布力的方向向上时（2）当分布力的方向向下时Fs图：M图：Fs图：M图：控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三)、简易法作内力图：利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用积分关系定值

基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）；

2、分段

3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；

4、确定控制点内力的数值大小及正负；

5、画内力图。利用积分关系定值例:用简易作图法画下列各图示梁的内力图。同理左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qa–xaaqa解：1、确定支反力（可省略）BC：2、画内力图,q>0,；Mqa2(Fs<0,所以M图向负方向斜(q>0,所以Fs图向正方向斜)(积分关系FsB=FsA+0)MC=MB+(-1/2qaa)=-qa2–1/2

qa2MB=MA+(-qaa)=0-qa2)FymAB：q例:画组合梁的剪力与弯矩图组合梁,需拆开,以分析梁的受力1.受力分析特点：铰链传力不传力偶矩，与铰相连的两横截面上,M=0,FS不一定为零2.画FS

图水平直线3.画M图斜直线MFa/2-Fa/23Fa/2四)、平面刚架和曲杆的内力图平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。特点：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN。1、刚架用刚性接头连接的杆系结构刚性接头的特点：

约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移

受力－既可传力，也可传递力偶矩2、平面刚架内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。3、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。4、平面曲杆内力图规定：

弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉的一侧。剪力图及轴力图：与平面刚架相同。内力分析1.外力分析2.建立内力方程BC段：AB段：3.画内力图弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受拉一侧弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续曲杆未受力时，轴线即为曲线的杆件M－使杆微段愈弯的弯矩为正FS，FN－正负符号规定同前①

三内力分量②

符号规定与弯矩相对应的点，画在横截面弯曲时受拉一侧③

画弯矩图轴线曲杆内力五.按叠加原理作弯矩图二).叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一).前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。三).步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；

2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；

3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单叠加）。例:按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qFABq=+AABBMxM1x

M2xF例:

作下列图示梁的内力图。FLFLLL0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–FLL0.5F0.5FLLFFLLL0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFLFLLL0.5F0.5F0.5FFLL0.5F１.纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（有正应力无切应力）2.横力弯曲aaFBAFMxFsxFaFF

梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（既有正应力又有切应力）一)、纯弯曲横力弯曲一.梁横截面的正应力正应力强度条件二)、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：

1、观察实验：abcdabcdMM2、变形规律：(2)、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。(1)、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。3、假设：（1）平面(假设)：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。一侧纤维缩短一侧纤维伸长（2）纵向纤维(假设)：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。ＢAabcd4、纵向线应变的变化规律

dxyoo1abcd中性层中性层曲率半径ＢAabcd4、纵向线应变的变化规律

dxyoo1在线弹性范围内，（二）物理关系：

abcd中性层(横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化)中性层曲率半径梁弯曲时横截面上正应力分布图：MZyσcmaxσtmax中性层yMZ（中性轴z轴为形心轴）(y、z轴为形心主轴）yzdAsdA(弯曲变形计算的基本公式)（三）、静力平衡条件

M梁横截面上内力：

纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式。

弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M>0时，下拉上压；当M<0时，上拉下压。梁的抗弯刚度。ÞEIZyxMZyzAσ将上式代入式

(弯曲变形计算的基本公式)

中性轴z为横截面的对称轴时抗弯截面系数yzzybh梁横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的地方

纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式中性轴z不是横截面的对称轴时OzyytmaxycmaxM几种简单截面的抗弯截面系数⑴矩形截面⑵圆形截面zybhyzd⑶空心圆截面(4)

型钢截面：参见型钢表式中DOdyz几种简单截面的抗弯截面系数三)、纯弯曲理论的推广横力弯曲时(见左边梁)1、由于切应力的存在，梁的横截面发生翘曲。2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。

纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式qq(x)q(x)实验和弹性理论的研究结果表明：对于细长梁（跨高比l/h>5），剪力的影响可以忽略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面高度的曲杆)Fl4F例：厚为t=1.5mm的钢带，卷成直径D＝3m的圆环。。求：钢带横截面上的最大正应力解：1）研究对象：单位宽条2）曲率公式：3）求应力：例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：№10槽钢解：1）画弯矩图2）查型钢表：3）求最大拉、压应力应力：l四)、梁的弯曲正应力强度条件

材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyytmaxycmax为充分发挥材料的强度，最合理的设计为zhM弯曲正应力强度条件

1、强度校核2、设计截面尺寸3、确定外载荷s£max

maxMWz³;

maxzWM£应用:解：1、求约束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[s]=160MPa,求：Fmax

5F/2F/2Mmax=0.5F3、强度计算h2、画M图，求Mmax≤M解：1)约束反力例:T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[

t]=30MPa，

[

c]=60MPa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

IZ=763cm4

，试校核此梁的强度。1m1m1mABCD2.5kNm4k

N

m2）弯矩图

3）求应力B截面上拉下压MC截面下拉上压C截面—（下拉上压）:

4)强度校核B截面—（上拉下压）:(最大拉、压应力不在同一截面上)1m1m1mABCD例:

跨长l=2m的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d，并校核梁的强度。解：根据截面最为合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280dFl/4得截面对中性轴的惯性矩为

梁上的最大弯矩最大压应力为梁满足强度要求。例:

图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，

铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]

。

解：1、梁的支反力为zyC形心y2=86y1=134204018012020BF

Cbq=F/bDbbAFB

FA

2、作梁的弯矩图FB

FA

BF

Cbq=F/bDbbA发生在截面B发生在截面CFb/2Fb/4考虑截面B：3、计算最大拉、压正应力Fb/2Fb/4CB

zyy由切应力互等定理可知xd

xzybyτFs3、矩形截面切应力的分布：

t沿高度按二次抛物线规律变化(2)tmax在中性轴处(y=0)(3)上下边缘处，切应力为零t二)、非矩形截面梁——圆截面梁切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称；与y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿y方向的分量ty沿宽度相等。zyOtmaxkk'O'dy最大切应力tmax

在中性轴处zyOtmaxkk'O'dyzOC2d/3p1、工字形薄壁梁假设:t//腹板侧边，并沿其厚度均匀分布腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算——下侧部分截面对中性轴z的静矩三)、薄壁截面梁2、薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：(1)d<<r0→沿壁厚切应力的大小不变；(2)内、外壁上无切应力→切应力的方向与圆周相切；(3)y轴是对称轴→切应力分布与y轴对称；与y轴相交的各点处切应力为零。最大切应力tmax

仍发生在中性轴z上。zyOtmaxtdr0tmaxyz2r0/pOC薄壁环形截面梁最大切应力的计算zyOtmaxtdr0tmax3、薄壁截面梁翼缘上的切应力

计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力(1)平行于y轴的切应力

可见翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担xydhzOdbty(2)垂直于y轴的切应力dht1t1'hxydhOdbt

——欲计算切应力的点到截面端部（t=0处)这部分截面的面积对中性轴的静矩——欲求切应力值的点所在位置的壁厚

翼缘上垂直于y轴的切应力随

按线性规律变化。

通过推导可以得知，薄壁工字钢梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max例:

弯曲正应力与弯曲切应力比较当l>>h时，smax>>tmaxBA四)、梁的切应力强度条件

一般tmax发生在FSmax所在截面的中性轴处。

梁的切应力强度条件为对等直梁，EtmaxFtmaxEl/2qCDFlql2/8ql/2ql/2FS图M图切应力强度条件1、校核强度2、设计截面尺寸3、确定外荷载。解：、内力图例:矩形截面(bh=0.12m0.18m）木梁如图，[

]

=

7MPa，[

]=0.9M

Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。yqL2FS

qL28L/2M

求最大应力并校核强度

应力之比q=30kN/m60kN1m5mBA例：图示梁为工字型截面，已知[s]=170MPa，[t]=100MPa

试选择工字型梁的型号。解：1、画Fs、M图FAY=112.5kN；FBY

=97.5kN2、按正应力确定截面型号查表选36c型号3、切应力校核4、结论：选36c型号112.5kN52.5kN97.5kNxFsx158.4kNm112.5MFAYFBY

对于一般常见的薄壁截面，为了找到它们的弯曲中心。可掌握以下几条规律：平面弯曲的条件：横向力与形心主轴平行且通过弯曲中心。①具有两个对称轴或反对称轴的截面:弯曲中心与形心重合。②具有一个对称轴的截面：弯曲中心必在对称轴上。

③如截面是由中线交于一点的几个狭长矩形组成：此交点就是弯曲中心。四.提高梁承载能力的措施一)、合理安排梁的受力，减小弯矩。ABF/LMmax=FL/8F/LMmax=FL/400.2L0.2L合理安排梁的受力，减小弯矩。FABL/2L/2Mmax=PL/4F/2Mmax=FL/8L/4L/4F/2F合理截面形状应该是截面面积A较小，而抗弯截面模量大的截面。二)、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。竖放比横放要好。1）放置方式：2）抗弯截面模量/截面面积截面形状圆形矩形槽钢工字钢3）根据材料特性选择截面形状

对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：

梁弯曲变形的计算目的：1.要控制梁的变形在一定的限度内。2.解决超静定问题

工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。度量梁变形的参数?

2.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。

1.挠曲线：梁变形后的轴线。

(连续、光滑)3.转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“

”表示。q用“y”

表示。q一.梁变形的基本概念xyyxy=y（x）

……挠曲线方程。

挠度向下为正；向上为负。θ=θ(x)……

转角方程。

由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。4.挠度和转角的关系

(挠曲线为一条平坦的曲线)1.曲率与弯矩的关系：EIM=r12.曲率与挠曲线的关系（数学表达式)……（2）3.挠曲线与弯矩的关系：

联立（1）、（2）两式得®……（1）二.梁的挠曲线近似微分方程M>00)(<¢¢xy使用条件：弹性范围内的细长梁。M<00)(>¢¢xy结论：挠曲线近似微分方程——xyxy三.积分法计算梁的变形步骤：（EI为常量）1、分段列弯矩方程M(x)2、代人微分方程并积分3、根据边界条件和连续条件确定积分常数。右左CCqq=连续条件：右左CCyy=边界条件：CDAB（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。边界条件：连续性条件：解：a)建立坐标系并写出弯矩方程例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(EI=常数）。b)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数d)确定挠曲线、转角方程e)自由端的挠度及转角x=0处:y(0)

=0;q

(0)=0yFxL解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出挠曲线近似微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数d)确定挠曲线和转角方程e)最大挠度及最大转角

x=0：y=0;

x=l

：y=0.

例：求图示简支梁的最大挠度

和最大转角(EI=常数）BlAqyxFC解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分例：求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数）左侧段（0≤x1≤a）：右侧段（a≤x2≤L）：AC段CB段d)确定挠曲线和转角方程c)应用位移边界条件和连续条件求积分常数连续条件：y1(a)=y2(a),y’1(a)=y’2(a);

边界条件：y1(0)=0,y2(L)=0e)跨中点挠度及两端端截面的转角两端支座处的转角跨中点挠度讨论：1)、此梁的最大转角。当a＞b时——2)、此梁的最大挠度当a＞b时——最大挠度发生在AC段221max3)2(30baabLxy1y+=-=Þ=¢®3221max)(391bLLEIFbyyxx-===当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：而此时梁跨中截面处的挠度为：两者相差也不超过中点挠度的3%

因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可用中点挠度来代替最大挠度。

3)

a=b时此梁的最大挠度和最大转角。写出下列各梁变形的边界条件和连续条件(1——C截面左侧)(2——C截面右侧)ABFCEABC练习:q1)、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；

2)、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。1.前提条件：弹性、小变形。2.叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。3.叠加法的特征：四.

叠加法计算梁的变形=+例：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.解:a)载荷分解如图b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。BlAqFaCBABAFqCCalc)叠加=+例：确定图示梁C截面的挠度和转角。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表由F引起的C点位移：3、叠加AL/2L/2qBACCL/2L/2BCAFFq=+例：求图示梁C截面的挠度。解：1)、载荷分解如图2)、查梁的简单载荷变形表3)、叠加BAqL/2L/2C(a)q2CC(b)q2q2qa

M=qa2/2（a）例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。解：1)结构分解如图2)查表3)叠加BAqABBqCC（b）LaBC例：求图示梁C截面的挠度。解：1)、结构分解如图2)、查梁的简单载荷变形表L/2FL/2ABC2EIEI3)、叠加FBC（a）FBC（b）M=FL/2A

F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mm例：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[δ]=,B点的[

]=0.001rad,试校核此杆的刚度.图1F1=1KNABCD

F2=2KNABCD图2Ba

CF2图2-1F2ABL

a

CM图2-2分析:利用叠加求复杂载荷下的变形校核刚度刚度足够

由梁在简单载荷作用下的变形表和前面的变形计算可知：梁的挠度和转角除了与梁的支座和载荷有关外，还取决于下面三个因素：材料截面跨长

1)、增大梁的抗弯刚度（EI）2)、调整跨长和改变结构方法——同提高梁的强度的措施相同3.提高梁的刚度的措施3)、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）注意：

同类的材料，“E”值相差不多，“

jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。

不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！由平衡方程可以解出全部未知数静定问题二个平衡方程，三个未知力。(平衡方程数小于未知力数)超静定问题(平衡方程数=未知力数)

去掉多余约束而成为形式上的静定结构—

基本静定基。五.

简单超静定梁CBA去掉多余约束,加(取静定基原则：便于计算)

解法：多余反力

计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。解：1)

受力分析

C４)物理条件代入上式例:

已知梁的EI

，梁的长度，求各处的约束反力。３)变形协调方程２)解除多余约束(选静定基)

再利用平衡方程可求出全部未知力：RcRARBRc

几何方程解法1：受力分析，

物理方程例:

已知梁的EI，梁的长度，求约束反力。

静定基得：

BRBA求解平衡方程：RARBRBABABBAmA((2静定基ABmA(比较上面不同的静定基并讨论)例:

梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m

,求约束反力。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：物理关系解:FBMAFAyB1FBMCFCyB2FBFBMAFAMCFC代入得补充方程：确定A端约束力梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。FBFBMAFAMCFC确定B端约束力A、B端约束力(进一步可作梁的剪力图和弯矩图)

①CD杆如为刚性杆，CD杆内力。

②如CD杆刚度为EA，求CD杆的内力。例：图示结构

试求:AC梁在C处的挠度为：解：（1）CD杆为刚性杆。

先将结构分