四边形测试卷及答案

四边形测试卷一．选择题〔共11小题〕1．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，那么△AEF的周长为〔〕A．2cm B．3cm C．42．以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有〔〕 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，那么△ABE的周长为〔〕A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4．以下命题中错误的选项是〔〕 A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形5．正方形具有而菱形不具有的性质是〔〕 A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线垂直且互相平分6．如下图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，以下结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，在矩形ABCD中，横向阴影局部是矩形，另一阴影局部是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白局部的面积，其面积是〔〕 A．bc﹣ab+ac+c2 B．ab﹣bc﹣ac+c2 C．a2+ab+bc﹣ac D．b2﹣bc+a28．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，那么AG的长为〔〕 A．1 B． C． D．29．点A、B、C、D在同一平面内，假设从①AB∥CD②AB=CD③BC∥AD④BC=AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是〔〕 A．①② B．①④ C．②④ D．①③10．要从一张长40cm，宽20cm的矩形纸片中剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片那么最多能剪出〔〕 A．1张 B．2张 C．3张 D．4张11．给出五种图形：①矩形；②菱形；③等腰三角形〔腰与底边不相等〕；④等边三角形；⑤平行四边形〔不含矩形，菱形〕．其中，能用完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形是〔〕 A．②③ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤二．填空题〔共7小题〕12．菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC=4cm，那么菱形的边长是_________cm．13．在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，四边形ABCD应具备的条件是_________．14．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，那么CE的长为_________．15．如图，延长正方形ABCD边BC延长至E，使CE=AC，那么∠AFC=_________．16．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，那么△PBQ周长的最小值为_________cm〔结果不取近似值〕．17．在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD，假设矩形的周长为48cm，那么矩形ABCD的面积为______cm2．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=3：5，梯形ABCD的面积是8cm2，点M、N分别是AD和BC上一点，E、F分别是BM、CM的中点，那么四边形MENF的面积是_________cm2．三．解答题〔共9小题〕19．如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？假设能，请你设计并画出图形；假设不能，请说明理由〔画图要保存痕迹，不写画法〕．20．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．〔1〕求证：△ABE≌△AD′F；〔2〕连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．21．如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．22．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1〔1〕求证：△AOE≌△BOF；〔2〕如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C123．：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．〔1〕求证：BE=DF；〔2〕连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．24．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．〔1〕求证：△PDQ是等腰直角三角形；〔2〕当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．25．如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点〔不与点A重合〕，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．〔1〕当点E坐标为〔3，0〕时，试证明CE=EP；〔2〕如果将上述条件“点E坐标为〔3，0〕〞改为“点E坐标为〔t，0〕〔t＞0〕，结论CE=EP是否成立，请说明理由；〔3〕在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？假设存在，用t表示点M的坐标；假设不存在，说明理由．26．：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．〔1〕①当α=_________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=_________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；〔2〕当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．答案与评分标准一．选择题〔共11小题〕1．〔2023•菏泽〕如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，那么△AEF的周长为〔〕 A．2cm B．3cm C．4考点：菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理。分析：首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．解答：解：首先根据菱形的四条边都相等以及对角相等的性质，证明△ABE≌△ADF，得AE=AF，∠BAE=∠DAF．连接AC，得出等边三角形ABC和等边三角形ACD．根据等腰三角形的三线合一，得AE，AF分别是顶角的角平分线，也是底边上的高，从而得∠EAF=60°，那么△AEF是等边三角形．根据勾股定理，求得AE=cm，进一步求得其周长是3cm．应选B．点评：此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．2．以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有〔〕 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点：平行四边形的判定。分析：只要将三角形的三边作为平行四边形的对角线作图，就可得出结论．解答：解：如图以点A，B，C为顶点能做三个平行四边形：▱ABCD，▱ABFC，▱AEBC．应选C．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况，灵活性比拟强．在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，防止混用判定方法．3．〔2007•日照〕如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，那么△ABE的周长为〔〕 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质。分析：根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．解答：解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，又EO⊥BD根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE故△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10．应选D．点评：运用了平行四边形的对角线互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，平行四边形的对边相等．4．〔2023•深圳〕以下命题中错误的选项是〔〕 A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形考点：矩形的判定；平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的性质。分析：根据平行四边形和矩形的性质和判定进行判定．解答：解：根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：选项A、B、C均正确．D中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．应选D．点评：此题利用了平行四边形和矩形的性质和判定方法求解．5．正方形具有而菱形不具有的性质是〔〕 A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线垂直且互相平分考点：正方形的性质；菱形的性质。分析：根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．解答：解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．应选B．点评：此题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对图形的性质的理解记忆是解题的关键．6．〔2006•大兴安岭〕如下图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，以下结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有〔〕 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点：正方形的性质。分析：根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，那么得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，那么②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴①AE=BF，S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∴④S△AOB=S四边形DEOF∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°∴∠AFB+∠EAF=90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．应选A．点评：此题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．7．〔2001•河北〕如图，在矩形ABCD中，横向阴影局部是矩形，另一阴影局部是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白局部的面积，其面积是〔〕 A．bc﹣ab+ac+c2 B．ab﹣bc﹣ac+c2 C．a2+ab+bc﹣ac D．b2﹣bc+a2考点：整式的混合运算；矩形的性质。专题：计算题。分析：根据题中图形，空白局部面积实际上是一个长为〔a﹣c〕，宽为〔b﹣c〕的新矩形，按照面积公式计算即可．解答：解：此题中空白局部的面积=矩形ABCD的面积﹣阴影局部的面积．矩形ABCD的面积为：a×b=ab；阴影局部的面积为：a×c+b×c﹣c×c=ac+bc﹣c2；那么空白局部的面积就应该为：ab﹣ac﹣bc+c2；应选B．点评：此题要注意图片给出的信息，要特别注意阴影中重叠局部的面积不要丢掉．8．〔2023•衡阳〕如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，那么AG的长为〔〕 A．1 B． C． D．2考点：勾股定理；角平分线的性质；翻折变换〔折叠问题〕。分析：根据折叠的性质和角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算．解答：解：由可得，△ADG≌△A′DG，BD=5∴A′G=AG，A′D=AD=3，A′B=5﹣3=2，BG=4﹣A′G在Rt△A′BG中，BG2=A′G2+A′B2可得，A′G=．那么AG=．应选C．点评：此题主要考查折叠的性质，由能够注意到△ADG≌△A′DG是解决的关键．9．点A、B、C、D在同一平面内，假设从①AB∥CD②AB=CD③BC∥AD④BC=AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是〔〕 A．①② B．①④ C．②④ D．①③考点：平行四边形的判定。分析：根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断．解答：解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；B、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确．应选B．点评：此题考查了平行四边形的判定，属于根底题型，关键要记准平行四边形的判定方法．10．要从一张长40cm，宽20cm的矩形纸片中剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片那么最多能剪出〔〕 A．1张 B．2张 C．3张 D．4张考点：矩形的性质。专题：计算题。分析：此类题首先求出各个矩形的面积后便能求解．解答：解：大矩形的面积为40×20=800cm．小矩形的面积为18×12=216．∵216×3＜800．∴最多能剪三个．应选C．点评：此题考查的是矩形的面积公式，应找到大矩形的面积里有几个小的矩形面积．11．给出五种图形：①矩形；②菱形；③等腰三角形〔腰与底边不相等〕；④等边三角形；⑤平行四边形〔不含矩形，菱形〕．其中，能用完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形是〔〕 A．②③ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤考点：直角三角形的性质。分析：当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：①当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；②当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；③当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．解答：解：如图，把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有四种情况：分别有等边三角形，等腰三角形〔腰与底边不相等〕，矩形，平行四边形．应选C．点评：此题考查了图形的拼接，注意分类讨论．二．填空题〔共7小题〕12．菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC=4cm，那么菱形的边长是cm．考点：菱形的性质。专题：计算题。分析：根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．解答：解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2×=6，∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长==cm．故答案为．点评：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．13．在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，四边形ABCD应具备的条件是AC=BD．考点：三角形中位线定理；菱形的判定。分析：根据条件可以得出要使四边形EFGH为菱形，应使EH=EFFG=HG，根据三角形中位线的性质可以求出四边形ABCD应具备的条件．解答：解：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，∴EF=FG=GH=EH，∵FG=EH=DB，HG=EF=AC，∴要使EH=EF=FG=HG，∴BD=AC，∴四边形ABCD应具备的条件是BD=AC，故答案为：BD=AC．点评：此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，正确运用菱形的判定定理是解决问题的关键．14．〔2023•临沂〕如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，那么CE的长为．考点：线段垂直平分线的性质；矩形的性质。专题：计算题。分析：此题首先利用线段垂直平分线的性质推出△AOE≌△COF，再利用相似三角形的比求出CE．解答：解：EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE．设CE为x．那么DE=AD﹣x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=〔3﹣x〕2+22解得CE=．故答案为．点评：此题考查的是线段垂直平分线的性质以及矩形的性质．关键是要设所求的量为未知数利用勾股定理求解．15．如图，延长正方形ABCD边BC延长至E，使CE=AC，那么∠AFC=112.5°．考点：正方形的性质。专题：应用题。分析：由于CE=AC，∠ACB=45°，可根据外角定理求得∠E的值，同样根据外角定理∠AFC=∠FCE+∠E，从而求得∠AFC．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∠DCB=90°，∵AC=CE，∴∠E=∠CAF，∵∠ACB是△ACE的外角，∴∠E=12∠ACB=22.5°，∵∠AFC是△CFE的外角，∴∠AFC=∠FCE+∠E=112.5°．点评：此题主要考查了三角形外角定理以及正方形性质的综合运用，难度较大．16．〔2023•达州〕如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，那么△PBQ周长的最小值为〔+1〕cm〔结果不取近似值〕．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质。专题：动点型。分析：由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，那么△PBQ的周长最小，此时△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．解答：解：连接DQ，交AC于点P，连接PB．∵点B与点D关于AC对称，∴BP=DP，∴BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ===，∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．故答案为．点评：根据两点之间线段最短，可确定点P的位置．17．〔2004•黄冈〕在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD，假设矩形的周长为48cm，那么矩形ABCD的面积为128cm2考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质。分析：根据矩形的性质求出∠CDM=∠BMA，∠DMC=∠BAM继而求出△DCM∽△MBA．然后求出AB=BM，〔AB+2AB〕×2=48可求出AB，BC的值．最后可求出矩形ABCD的面积．解答：解：∠CDM+∠CMD=90°，∠CMD+∠BMA=90°，∴∠CDM=∠BMA，同理∠DMC=∠BAM．∴△DCM∽△MBA．∴，∵DC=AB，BM=CM，∴AB=BM．又∵〔AB+BC〕×2=48，∴〔AB+2AB〕×2=48．∴AB=8，BC=16．∴矩形ABCD的面积为128．点评：此题的关键是利用了三角形相似的判定定理，及相似三角形的性质和矩形的性质．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=3：5，梯形ABCD的面积是8cm2，点M、N分别是AD和BC上一点，E、F分别是BM、CM的中点，那么四边形MENF的面积是2.5cm2考点：梯形；梯形中位线定理。分析：设梯形ABCD的高为h，根据梯形ABCD的面积是8cm2，求得BC•h=10；再寻求S四边形MENF=S△BMC﹣S△BNE﹣S△NFC之间的关系从而求得其面积．解答：解：设梯形ABCD的高为h，那么S梯形ABCD=〔AD+BC〕•h=〔BC+BC〕•h=BC•h=8，那么BC•h=10；∴S四边形MENF=S△BMC﹣S△BNE﹣S△NFC=BC•h﹣BN•h﹣NC•h=BC•h﹣h〔BN+NC〕=BC•h=×10=2.5cm2．点评：此题主要考查学生对梯形的性质及梯形的中位线的理解及运用．三．解答题〔共9小题〕19．如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？假设能，请你设计并画出图形；假设不能，请说明理由〔画图要保存痕迹，不写画法〕．考点：平行四边形的判定。专题：作图题。分析：连接AC、BD，然后分别过点A，B，C，D作AC、BD的平行线，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形．解答：解：能．点评：此题考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．20．〔2007•青岛〕将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．〔1〕求证：△ABE≌△AD′F；〔2〕连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．考点：全等三角形的判定；菱形的判定。专题：几何综合题。分析：〔1〕根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；〔2〕四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．解答：〔1〕证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3．∴∠1=∠3．∴△ABE≌△AD′F．〔2〕解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF=AE，∴四边形AECF是菱形．点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．21．〔2023•随州〕如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：探究型。分析：AE=EF．根据正方形的性质推出AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，推出∠HAE=∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH=BE，∠H=45°，HA=BC，根据CF平分∠DCE推出∠HAE=∠CEF，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．解答：答：AE=EF．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，又∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，又∵四边形ABCD是正方形∴AD∥BC∴∠DAE=∠AEB〔两直线平行，内错角相等〕∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH﹣BA=BE﹣BC=EC，又∵CF平分∠DCE，∴∠FCE=45°，∴∠HAE=90°+45°=∠CEF，∴△HAE≌△CEF〔ASA〕，∴AE=EF．点评：此题考查线段相等的证明方法，可以通过全等三角形来证明．要判定两个三角形全等，先根据条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．〔2023•青海〕如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1〔1〕求证：△AOE≌△BOF；〔2〕如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：〔1〕由题意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°又因为∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根据ASA可证明全等．〔2〕由〔1〕得△AOE≌△BOF⇒S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=解答：〔1〕证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF．在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF．〔2〕答：两个正方形重叠局部面积等于，因为△AOE≌△BOF，所以：S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=．点评：此题在于考查三角形全等的证明，根据全等那么面积相等，从而求得重叠局部的面积．23．〔2023•青岛〕：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．〔1〕求证：BE=DF；〔2〕连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。专题：几何综合题。分析：〔1〕求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；〔2〕由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立〔1〕的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC〔即AM〕垂直平分EF；OA=OM，那么EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．解答：〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∵AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE=DF；〔4分〕〔2〕解：四边形AEMF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°〔正方形的对角线平分一组对角〕，BC=DC〔正方形邻边相等〕，∵BE=DF〔已证〕，∴BC﹣BE=DC﹣DF〔等式的性质〕，即CE=CF，易得△COE≌△COF，∴OE=OF，∵OM=OA，〔对角线互相平分的四边形是平行四边形〕，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．〔8分〕点评：此题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定．24．〔2023•泰安〕如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．〔1〕求证：△PDQ是等腰直角三角形；〔2〕当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。专题：几何综合题。分析：〔1〕连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，那么△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；〔2〕假设四边形APDQ是正方形，那么DP⊥AP，得到P点是AB的中点．解答：〔1〕证明：连接AD∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD〔SAS〕，∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，∵∠BDP+∠ADP=90°∴∠ADP+∠ADQ=90°，∴△PDQ为等腰直角三角形；〔2〕解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：由〔1〕知△ABD为等腰直角三角形，当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，∴四边形APDQ为矩形，又∵DP=AP=AB，∴四边形APDQ为正方形〔邻边相等的矩形为正方形〕．点评：此题考查正方形的判定：邻边相等的矩形为正方形．也考查了等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25．〔2023•乌鲁木齐〕如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点〔不与点A重合〕，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．〔1〕当点E坐标为〔3，0〕时，试证明CE=EP；〔2〕如果将上述条件“点E坐标为〔3，0〕〞改为“点E坐标为〔t，0〕〔t＞0〕，结论CE=EP是否成立，请说明理由；〔3〕在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？假设存在，用t表示点M的坐标；假设不存在，说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定；正方形的性质。专题：综合题；压轴题；存在型。分析：〔1〕〔2〕可用同种方法证明：在OC上截取OG=OE，由正方形的性质可得CG=AE，∠EAP=∠CGE=135°，由同角的余角相等可得∠GCE=∠AEP，故有△GCE≌△AEP⇒CE=EP；〔3〕过点B作BM∥EP交y轴于点M，由同角的余角相等可得∠4=∠6，又CE=OC，可得△BCM≌△COE⇒BM=CE，而CE=EP，那么BM=EP，由一组对边平行有相等证得四边形BMEP是平行四边形，OM=CO﹣CM=5﹣t，故可求得点M的坐标．解答：解：〔1〕〔2〕方法一：在OC上截取OG=OE，那么AE=CG，∠EAP=∠CGE=135°∵CE⊥EP∴∠CEO+∠PEA=90°又∵∠OCE+∠OEC=90°，∴∠GCE=∠AEP∴△GCE≌△AEP∴CE=EP，即不管点E的坐标是多少，都存在CE=EP，〔1〕〔2〕得证；方法二：〔1〕过点P作PH⊥x轴，垂足为H∴∠2=∠1=90°∵EF⊥CE∴∠3=∠4∴△COE∽△EHP∴由题意知：CO=5，OE=3，EH=EA+AH=2+HP∴=即HP=3∴EH=5在Rt△COE和Rt△EHP中∴CE=，EP=故CE=EP〔2〕CE=EP仍成立，理由如下：同理△COE∽△EHP，∴由题意知：CO=5，OE=t，EH=5﹣t+HP∴=，整理得〔5﹣t〕HP=t〔5﹣t〕，∵点E不与点A重合，A〔5，0〕，∴5﹣t≠0∴HP=t，∴AH=t，∴EH=5∴在Rt△COE和Rt△EHP中CE=EP=∴CE=EP〔3〕y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．理由如下：过点B作BM∥EP交y轴于点M∴∠5=∠CEP=90°∴∠6=∠4在△BCM和△COE中∴△BCM≌△COE∴BM=CE而CE=EP∴BM=EP由于BM∥EP∴四边形BMEP是平行四边形，由△BCM≌△COE可得CM=OE=t∴OM=CO﹣CM=5﹣t故点M的坐标为〔0，5﹣t〕．点评：此题〔1〕〔2〕可用不同的方法证明，显然方法一简单，用了正方形的性