高考数学复习 第十章 第七节 统计与统计案例 理试题

eq\a\vs4\al\co1(第七节统计与统计案例)考点一抽样方法1．(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．167 B．137 C．123 D．93解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B.答案B2．(2014·湖南，2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3解析因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.答案D3．(2014·广东，6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10解析由题图可知，样本容量等于(3500＋4500＋2000)×2%＝200；抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20，故选A.答案A4．(2013·湖南，2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业务爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法解析看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．答案D5．(2013·陕西，4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()A．11 B．12 C．13 D．14解析840÷42＝20，把1，2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l，则第k段抽取的号码为l＋(k－1)·20，1≤l≤20，1≤k≤42.令481≤l＋(k－1)·20≤720，得25＋eq\f(1－l,20)≤k≤37－eq\f(l,20).由1≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k共有12个．答案B6．(2013·新课标全国Ⅰ，3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样解析因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜采用分层抽样．答案C7．(2014·天津，9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析eq\f(4,20)×300＝60(名)．答案608．(2012·天津，9)某地区有小学150所，中学75所，大学25的．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．解析共有学校150＋75＋25＝250所，∴小学中应抽取：30×eq\f(150,250)＝18所，中学中应抽取：30×eq\f(75,250)＝9所．答案189考点二频率分布直方图与茎叶图1．(2015·安徽，6)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8B．15C．16D．32解析法一由题意知，x1＋x2＋…＋x10＝10x，s1＝，则＝eq\f(1,n)[(2x1－1)＋(2x2－1)＋…＋(2x10－1)]＝eq\f(1,n)[2(x1＋x2＋…＋x10)－n]＝2－1，所以S2＝＝＝2s1，故选C.答案C2．(2015·重庆，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()01228925800033812A．19 B．20 C．21.5 D．23解析从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.答案B3．(2014·山东，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8 C．12 D．18解析由题图可知，第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有eq\f(20,0.40)＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.答案C4．(2014·陕西，9)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为()A．1＋a，4 B．1＋a，4＋aC．1，4 D．1，4＋a解析∵x1，x2，…，x10的均值＝1，方差seq\o\al(2,1)＝4，且yi＝xi＋a(i＝1，2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的均值＝eq\f(1,10)(y1＋y2＋…＋y10)＝eq\f(1,10)(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝eq\f(1,10)(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝＋a＝1＋a，其方差seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y10－)2]＝eq\f(1,10)[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝seq\o\al(2,1)＝4.故选A.答案A5．(2013·福建，4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A．588 B．480 C．450 D．120解析由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.答案B6．(2012·陕西，6)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A．甲<乙，m甲>m乙 B．甲<乙，m甲<m乙C．甲>乙，m甲>m乙 D．甲>乙，m甲<m乙解析甲＝eq\f(1,16)(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝eq\f(345,16)，乙＝eq\f(1,16)(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝eq\f(457,16)，∴甲<x乙，又m甲＝20，m乙＝29，∴m甲<m乙．答案B7．(2015·江苏，2)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．解析这组数据的平均数为eq\f(1,6)(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.答案68．(2015·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：1314150034566889111222334455566780122333若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．答案49．(2014·江苏，6)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.解析60×(0.015＋0.025)×10＝24.答案2410．(2015·新课标全国Ⅱ，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；记CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；记CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；记CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为eq\f(16,20)，eq\f(4,20)，eq\f(10,20)，eq\f(8,20)，故P(CA1)＝eq\f(16,20)，P(CA2)＝eq\f(4,20)，P(CB1)＝eq\f(10,20)，P(CB2)＝eq\f(8,20)，P(C)＝eq\f(10,20)×eq\f(16,20)＋eq\f(8,20)×eq\f(4,20)＝0.48.考点三变量间的相关关系及统计案例1．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.答案D2．(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝y－x．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元 B．11.8万元C．12.0万元 D．12.2万元解析回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵＝0.76，∴＝0.4，由＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，＝11.8万元．故选B.答案B3．(2014·重庆，3)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x－2.4C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.4解析由变量x与y正相关知C、D均错，又回归直线经过样本中心(3，3.5)，代入验证得A正确，B错误．故选A.答案A4．(2014·湖北，4)根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图，由图可知b<0，a>0.故选B.答案B5．(2011·湖南，4)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)算得，K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析∵K2≈7.8>6.635，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，即犯错误的概率不超过1%.答案C6．(2015·新课标全国Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，w＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：eq\o(β,\s\up6(^))＝.解(1)由散点图可以判断，y＝c＋deq\r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的线性回归方程，由于＝68，＝－＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以当eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．7．(2012·辽宁，19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了1