概率论与数理统计：第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量及其分布函数§3.2二维离散型随机变量的分布§3.3二维连续型随机变量的分布§3.4二维随机变量函数的分布一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量或随机向量.§3.1二维随机变量及其分布函数二维分布函数性质2.0≤F(x,y)≤11.F(x,y)是变量x,y的单调不减函数。对于任意y,x1<x2,F(x1,y)≤F(x2,y)对于任意x,y1<y2,F(x,y1)≤F(x,y2)4.F(x,y)关于x,y右连续。

二维随机变量（X,Y）分布函数为F(x,y),而X,Y都是随机变量，各自具有分布函数，分别记为FX(x)和FY(y),依次称为（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。边缘分布函数两个随机变量的独立性如果二维随机变量（X,Y）满足,对任意x,y有则称X,Y相互独立.§3.2二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量i,j=1,2,…定义：若X和Y均为离散型随机变量，则(X,Y)为二维离散型随机变量。若(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,...,且则上式为(X,Y)的联合分布律或联合分布列.

性质XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...pi·p1·p2·...pi·...……………p·jp·1 p·2 …

p·j…1二维离散型随机变量独立的充要条件：例1.盒子中装有10支个大小形状相同的粉笔，其中5支白色，3支红色，2支黄色，现从中任取两支，以X、Y分别表示其中白色和红色粉笔的支数，求(X，Y)的联合分布列.（1）求（X,Y）的分布。（2）X与Y是否独立？例2：设袋里有五个同类产品，其中有两个是正品。现依次抽取两个,设X、Y分别表示第一次、第二次抽取的产品。在无放回抽取和有放回抽取两种情况下分别（X,Y）的联合分布及关于X,Y的边缘分布。例3已知X、Y独立,完成下面表格。XY12p.j1 2 3 pi.1/81/81/61

离散型随机变量的条件分布定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…联合分布边缘分布例4.设随机变量X随机地在1，2，3这两个整数中任取一个，在已知X=k时，随机变量Y随机地在1到k中任取一整数值,k=1,2,3。（1）求二维随机变量（X,Y）的联合分布律；（2）求二维随机变量（X,Y）关于Y的边缘分布律；（3）在已知Y=1的条件下求X的条件分布律。二维连续型随机变量定义：设（X,Y）是二维随机变量，如果存在一个非负的函数f(x,y)使得对于任意的实数x,y,有则称（X,Y）为二维连续型随机变量。函数f(x,y)称为（X,Y）的分布密度或联合密度。§3.3二维连续型随机变量及其分布性质设G为一平面区域，则(X,Y)落在G内的概率为概率P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)用分布密度f(x,y)如何表示？例1.设(X,Y)的分布密度是求(1)C的值；

(2)P(Y<X)(3)分布函数常见的二维随机变量的分布◆均匀分布若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）服从参数为其中均为常数,且的二维正态分布.记作◆二维正态分布回顾：设（X,Y）在区域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)上服从均匀分布，求（X,Y）的分布密度。求P(Y>X2)§3.2边缘分布与相互独立性二维离散型随机变量的边缘分布i,j=1,2,…设（X,Y）为离散型随机变量，则(X,Y)关于X、Y的边缘概率分布分别为边缘分布律XYa1a2...ai...b1 b2 ... bj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...pi·p1·p2·...pi·...……………p·jp·1 p·2 …

p·j…1二维随机变量（X,Y）分布函数为F(x,y),而X,Y都是随机变量，各自具有分布函数，分别记为FX(x)和FY(y),依次称为（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。边缘分布函数设（X,Y）的分布密度为f(x,y),则关于X和关于Y的边缘概率密度分别为二维连续型随机变量的边缘概率密度随机变量的独立性如果二维随机变量（X,Y）满足,对任意x,y有则称X,Y相互独立.离散型连续型例1已知(X,Y)的分布如下，判断X、Y是否独立。XY1231 2 31/3 1/6 1/90 1/6 1/90 0 1/9例2已知X、Y独立,完成下面表格。XY12p.j1 2 3 pi.1/81/81/61（1）求P(Y<1)（2）求分别关于X、Y的边缘密度函数，判断X、Y的是否独立例5：设二维随机变量（X,Y）的分布密度为：求X,Y的边缘概率密度,并讨论X与Y的独立性。作业P95：13,14,15，21补充：设二维随机变量（X,Y）的分布密度为：1)求C;2)求P(Y≥X2)3)求（X,Y）关于X,Y的边缘分布密度，X与Y是否独立性。2：已知随机变量X,Y分布列如下,并且P(XY=0)=1,求（X,Y）的联合分布列及P(X=Y)。X-1

0

1Pk1/41/21/4Y

0

1Pk1/21/2离散型例1：设（X,Y）联合概率分布为：XY01-1 0 1 21/5 3/20 1/10 3/101/10 0 1/10 1/20求X+Y,XY的概率分布。§3.3二维随机变量函数的分布例2：设X,Y相互独立，且分别服从证明：X+Y服从离散型卷积公式例1：若X与Y是两个独立的随机变量，都服从N(0,1)分布。求的分布。连续型随机变量函数的分布分布函数法例2.设(X,Y)的联合分布密度为(极值的分布)某元件由两个相互独立的元件A1,A2连接而成，其连接方式分别为：(1)串联;(2)并联。设A1,A2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为求两种系统S1,

S2的寿命的概率密度函数。A1A2S1A1A2S2（和的分布）设（X,Y）的分布密度为f(x,y),求Z=X+Y的分布密度。若X与Y独立，则Z=X+Y的分布密度为连续型卷积公式例1.若X与Y是两个独立的随机变量，都服从N(0,1)分布。证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。正态分布具有可加性例1.若X与Y是两个独立的随机变量，都服从U(0,1)分布，求Z=X+Y的分布。

推广到随机变量设有两个随机变量

X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.§3.4二维随机变量的条件分布考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.体重X身高Y现在若限制1.7<Y<1.72(米),在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.72米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.

离散型随机变量的条件分布定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…联合分布边缘分布例1.设袋中装有4个球，分别标有数字1，2，2，3，从袋中任取一球（其数字记为X)之后不放回，再从袋中任取一球（其数字记为Y),求在X=2的条件下，Y的条件分布律。b.求在Y=2的条件下，X的条件分布律。

连续型随机变量的条件分布定义设X和Y的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，则对一切使的x,定义已知

X=x下，Y的条件概率密度为同样，对一切使的y,定义为已知

Y=y下，X的条件概率密度.定义例1.随机变量X服从（0，1）区间上的均匀分布，在X＝x（0<x<1)的条件下,Y服从（0，x）上的均匀分布。求Ｙ的概率密度例2.求在X=x条件下,Y的条件概率密度。作业：P96:22,251.二维离散型随机变量的联合分布率、边缘分布率和离散型随机变量的独立性2.二维连续型随机变量的分布函数、联合分布密度、边缘分布密度和连续型随机变量的独立性二维均匀分布和正态分布3.随机变量函数的分布4.二维随机变量的条件分布例1已知(X,Y)的分布如下,且X与Y独立YX121 2 31/3 a b1/6 1/9 1/18则a=

,b=

.2.在区间(0,1)中随机取两个数，两数之和小于1.2的概率为()3.设随机变量X、Y独立同分布，且P(X=0)=1/3,P(X=1)=2/3,则P(X=Y)=

.4.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为则当0<y<1时，(X,Y)关于Y