031矩形菱形正方形2022B

一、选择题1.（2022江苏徐州，7，分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，F为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A.3.5【答案】A【解析】：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵F为AD边中点，∴=.故选A.2.（2022四川省攀枝花市，10，3分）如图3，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED△DFB;②；③若AF=2DF，则BC=6GF：④CG与BD一定不垂直；⑤BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为()A．4B．3C．2D．1【答案】B3.（2022广西省玉林市，11，3分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使AD、BC边与对角线AC重叠，且顶点B、D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（）第11题图第11题图 B．2 C． D．【答案】B【解析】解：由折叠知道四边形AECF是菱形，∴∠BCE=∠OCE=∠OCF=∠OAE=30°，∴在Rt△AOE中，OE=EB，∴，故选B．4.（2022辽宁省沈阳市，7，3分）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形【答案】B5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39二、填空题1.（2022湖北省咸宁市，16，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG.下列说法：①；②；③点G运动路径长为；④CG的最小值为.其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)【答案】②④【解析】当E点运动到C处时，AG=GE，选项①错误;∵BF⊥AE，∴∠AGB=90°，∴∠BAE+∠ABG=90°.∵∠FBC+∠ABG=90°,∴∠BAE=∠FBC.∵AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,∴△ABE≌△BCF,∴AE=BF.选项②正确;取AB中点O，连接OG，当E点在BC边上运动时，OG=AB=1为定值，则G点的运动路径是半径为1的圆弧，则点G的运动路径长为=，选项③错误；取AB中点O，连结OC，则=，GC=，此时GC最短.故答案为②④.2.（2022江苏徐州，17，3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边做第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边做第三个正方形AEGH.如此下去，第n个正方形的边长为______________.【答案】【解析】：∵四边形ABCD是正方形，∴，，∵AB=1，∴；同理可求，，…，第n个正方形的边长为.故答案为.3.（2022哈尔滨市，19，3分）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4，点E,F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为。【答案】或【解析】如图1:在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE=3,∵EF=5，M是EF的中点∴EM=∴AM=3+=如图2：在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE=3,∵EF=5，M是EF的中点∴EM=∴AM==第18题解答图4.（2022广西省玉林市，18，3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上，且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小时，四边形第18题解答图第第18题图【答案】【解析】解：如图，作点A关于CD的对称点A′，作点E关于BC的对称点A′，连接A′E′，交BC、CD于点P′、Q′，此时所得四边形AEPQ的周长最短，易求面积为，故答案为．5.（2022辽宁省沈阳市，16，4分）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K，若正方形ABCD边长为，则AK=.【答案】2-367.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39三、解答题1.（2022福建漳州，22，10分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．（第22题图）（第22题图）【答案】（1）证明过程略；（2）．【解析】解：（1）证明：由轴对称性质得：∠1＝∠2，ED＝EF，CD＝GF．∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，∴FE＝FG，（方法一）（如图1）∴ED＝EF＝GD＝GF，∴四边形DEFG为菱形．（方法二）（如图1）∴ED＝FG，又∵ED∥FG，∴四边形DEFG为平行四边形，又∵FE＝FG，□DEFG为菱形．（方法三）连接DF交AE于点O（如图2），EG⊥DF，DO＝FO，同理OG＝OE，∴四边形DEFG为平行四边形，∴□DEFG为菱形．（2）设DE＝x，由轴对称得FE＝DE＝x，EC＝8－x，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋（8－x）2＝x2．

解得：x＝5，CE＝8－x＝3．

所以，．（第22题图1）（第22题图2）（第22题图1）（第22题图2）2.（2022四川省雅安市，23，10分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC.BE=CE.连接DE（1）求证：△BDE≌△BCE（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由.【答案】略【解析】解：（1）证明：∵△BAD是由△BEC绕点B旋转60°而得∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°又∵AB⊥BC.∴∠ABC=90°∴∠DBE=∠CBE=30°在△BDE和△BCE中∴△BDE≌△BCE（2）四边形ABED是菱形由（1）得△BDE≌△BCE又∵△BAD是由△BEC旋转得到∴△BAD≌△BEC∴BA=BEAD=ED=EC又∵BE=CE∴AB=BE=ED=DA∴四边形ABED是菱形3.（2022福建厦门省市，23，7分）如图9，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上，若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长【答案】【解析】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴DE∥AF且DE=AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵DE=DF，∴四边形AEDF是菱形.故AD平分∠BAC，AD⊥BC，在Rt△ADC中AD=2，DC=3，则AC=2AF=AC，故四边形AEDF的周长为4.（2022福建省厦门市，25，7分）如图10，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m>2），D（p，q）（q<n）,点B，D在直线上，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2.求证：四边形ABCD是矩形【答案】四边形ABCD是矩形【解析】解：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCE,∠ABE=∠CDE，∵BE=DE，∴△ABE≌△DEC（AAS）∴AE=CE，则四边形ABCD是平行四边形.∵△AEB的面积是2，∴四边形ABCD的面积是8，∵CD=4∴AD=2故四边形ABCD是矩形5.（2022北京，22，5分）在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF=3，，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．AABCDEF【答案】（1）证明略．（2）证明略．【解析】解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE．又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形．（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC=90°．∵CF=3，BF=4，∴BC==5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5．∴AD=DF=5，∴∠DAF=∠DFA．又∵DC∥AB，∴∠DFA=∠FAB．∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB.6（2022北京，28，7分）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作HQ⊥BD于H，连接AH，PH．（1）若点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）【答案】（1）略；②AH=PH且AH⊥PH，证明略．（2）略．【解析】解：（1）如下图：②AH=PH,AH⊥PH证明：如图，连接CH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=45°，而HQ⊥BD，∴△DHQ为等腰三角形，∴DH=QH,∠HDQ=∠HQD，又∵DP=CQ，∴△HDP≌△HQC（SAS），∴PH=CH，∴∠HPC=∠DCH．BD为正方形ABCD的对称轴，∴AH=CH,∠DAH=∠DCH，∴AH=PH，∠DAH=∠HPC，∴∠DAH＋∠HPD-180°．∴∠AHP=180°－∠ADP=90°∴AH=PH且AH⊥PH（2）方法一：轴对称作法考虑△DHQ为等腰三角形，又∵DP=CQ，作HR⊥PC于R．∵∠AHQ=152°，∴∠AHB=62°，∴∠DAH=∠AHB－∠ADB=17°,∴∠DCH=17°．设DP=x,则DR=HR=，由tan17°=得：=tan17°，所以x=方法二：四点共圆作法因为A，H，D，P共圆，∴∠APD=∠AHB=62°∴PD===tan28°7.(2022广东省，21，7分)如题21图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.(1) 求证：△ABG≌△AFG；(2) 求BG的长.【答案】(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF，∴∠AFG=∠B，又AG=AG，∴△ABG≌△AFG；(2) ∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6-x,∵E为CD的中点，∴CF=EF=DE=3，∴EG=x+3，∴32+(6-x)2=(x+3)2，解得x=2，∴BG=2.【解析】本题考查了正方形的性质、图形翻折的性质、三角形全等的条件和性质以及应用勾股定理、一元二次方程解决问题的能力，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和应用数形结合思想解决问题。8.（2022广西省玉林市，25，10分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．第25题图第25题图【答案】（1）；（2）AQ=2．【解析】解：（1）当△CDQ≌△CPQ时，DQ=PQ，CP=CD，设AQ=