IIR数字滤波器的设计

第6章IIR数字滤波器的设计全通系统最小相位系统模拟低通滤波器设计脉冲响应不变法双线性变换法模拟域频率变换定义：如果用Am(z)表示m阶实系数全通滤波器的系统函数，则全通滤波器的定义a)一阶全通滤波器的极点和零点极点为：零点为：一阶复系数全通滤波器b)一阶全通滤波器的频率响应故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的。a)m阶全通滤波器的极点和零点如zk为一个极点，则zk*也是一个极点,1/zk和1/zk*必为系统零点。b)m阶全通滤波器的频率响应m阶实系数全通系统m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于一阶全通系统相位是递减的

m阶实系数全通系统的相位非正递减的。2阶实系数全通滤波器的相位响应(a)相位响应的主值(b)解卷绕后的相位响应 定义：零极点都在单位圆内的因果系统称为最小相位系统。记为Hmin(z)。 任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为设系统H(z)只有一个零点在z=1/a*在单位圆外，|a|<1，那么H(z)就能表示成

H(z)=H1(z)(z-1-a*) 按定义H1(z)是一个最小相位系统。H(z)也可等效的表示为故H(z)=Hmin(z)A1(z)最小相位系统例一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为由于系统的零点为z=-1/b，故这不是一最小相位系统。和H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为a=0.9，b时H(z)和Hmin(z)的相位响应最大相位系统(maximum-phasesystem):一个稳定的的因果系统，零点全在单位圆外有理系统函数的稳定性设有理系统函数H(z)的分母多项式为构造全通滤波器Am(z)由H(z)稳定的充要条件例已知2阶IIR系统的分母多项式为试确定系统稳定的条件。解：由定义知k2=d2所以系统稳定的条件为IIR滤波器设计的基本思想将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计。设计满足技术指标的模拟滤波器。将模拟滤波器转换为数字滤波器。模拟滤波器的技术要求Butterworth模拟低通滤波器切比雪夫II型模拟低通滤波器切比雪夫II型模拟低通滤波器椭圆低通滤波器模拟低通滤波器的设计模拟滤波器的技术要求pw:通带截止频率ws:阻带截止频率dp:

通带波动ds:

阻带波动通带衰减(db)(passbandAttenuation)阻带衰减(db)(stopbandAttenuation)|H(jw)|10通带过渡带阻带pwswsdpd-1wG(w)=20log10|H(jw)|dB滤波器的Gain函数wc10N=1N=3N=50.707巴特沃斯低通滤波器N:滤波器阶数性质：2)幅度响应单调下降(monotonicallydecreasing)1)|H(j0)|=1,|H(j¥)|=0,-20log10|H(jwc)|3dbwc:

3db截频,当wc=1时，称其为归一化的BWF在w=0点做Taylorseries展开归一化的Butterworth滤波器(BWF)任意的BWF和归一化BWF的关系3)|H(jw)|2在w=0点1到2N-1阶导数零。称为最大平坦性。(maximallyflatmagnitudefilter)归一化Butterworth滤波器的极点条件：h(t)是实的H(jw)=H*(-jw)极点：共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的N个极点。为左半平面的N个极点当N为偶数时例：N=2,=p/4;k=1例：N=4,=p/8,3p/8;k=1,2当N为奇数时例：N=1N=3例：设计一个满足下列指标BW型模拟滤波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1=，dBAs10=取N=2，将N=2带入通带满足的方程通带满足指标，阻带超过指标验证：Ap=0.9999db;As=18.2795db模拟Butterworth低通滤波器设计步骤:(1)由滤波器的设计指标wp、ws、Ap、As和式确定滤波器的阶数N(2)确定wc(3)确定滤波器的系统函数H(s)稳定AF稳定DF则zk*也是一个极点,CBI型AF设计步骤通带衰减(db)(passbandAttenuation)1)用脉冲响应不变法求出H(z)例一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为例:设H(s)是一个3dB截频为wc的一阶低通滤波器，W0p;Wp2p，Wp1p，Ap=3dB9，b时H(z)和Hmin(z)的相位响应1708,wp1=0.Normalizedfrequency由N=buttord(1,ws,Ap,As,'s')；共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的N个极点。所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率响应归一化。2)3dB截率为wp的一阶模拟BWLP滤波器为切比雪夫II型模拟低通滤波器TypeIChebyshevLowpassfilter(CBI型)w))((wjH1cwN=2N=3N=7e:通带波纹

cw：通带截频N：阶数(由阻带指标确定)CBI型filter的性质1)在cww££0时，2)(wjH在1和211e+间振荡(equiripplefilter)2)cww³时，2)(wjH单调下降（N增大，下降加速）3)2211)(ew+=cjH

e控制了通带衰减N为奇时

1)0(2=jHN为偶时

2211)0(e+=jHw))((wjH1cwN=2N=3N=7CBI型AF设计步骤1)通带截频确定pcww=2)通带指标确定e3)阻带指标确定N2)3dB截率为wp的一阶模拟BWLP滤波器为通带衰减(db)(passbandAttenuation)3)将模拟滤波器转换为数字滤波器dp:通带波动解：设双线性变换中的参数为T缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真解：取双线性变换的参数T=2则zk*也是一个极点,1)将数字滤波器的频率指标{Wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2)1)用脉冲响应不变法求出H(z)9999db;As=18.一个稳定的的因果系统，零点全在单位圆外通带衰减(db)(passbandAttenuation)切比雪夫II型模拟低通滤波器椭圆低通滤波器 MATLAB设计椭圆滤波器函：[N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s') 确定椭圆滤波器的阶数N。Wc=Wp。[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s') 确定阶数为N，通带参衰减为ApdB，阻带衰减为AsdB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc是椭圆滤波器的通带截频。基本原理脉冲响应不变法设计DF的步骤H(z)的确定脉冲响应不变法(ImpulseInvariance)H(ejW)和H(jw)的关系：无混叠时：数字滤波器在W点的频响特性和模拟滤波器w=W/T频响特性只差一个常数因子基本原理例:设H

(s)是一个3dB截频为wc的一阶低通滤波器，1)用脉冲响应不变法求出H(z)2)如果用下图所示系统取代H

(s)，比较两系统的幅度响应。051015202501HzHeffHafs=50Hz02040608010000.20.40.60.81HzHeffHa

fs=200Hz脉冲响应不变法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}

kkT/W=w2.设计模拟滤波器的H(s)。3.由h[k]=Th(t)|t=kT从而得出H(z)。H(z)的确定H(z)的ROC稳定AF稳定DF优点：T/W=w缺点：混叠例:用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器。解：设脉冲响应不变法中的取样间隔为T1)确定模拟滤波器指标 模拟滤波器的3dB截频为2)设计模拟滤波器 3dB截频为wp的一阶巴特沃思低通滤波器为3)将模拟滤波器转换为数字滤波器结论：1)抽样间隔T的取值和最终的设计结果无关。2)由于所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率响应归一化。0p-9-6-303ppppWGain,dB

Wpp时幅度归一化和非归一化DF的幅度响应例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wpp,Wsp,Ap=1dB,As=10dB01-30-20-100NormalizedfrequencyGain,dbN=2，Ap=0.9296dB,As=17.1220dB例:用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计的3dB截频为Wp的数字滤波器为Wp1=0.2*pi;Wp2=0.6*pi;b1=[1-exp(-Wp1)];a1=[1-exp(-Wp1)];b2=[1-exp(-Wp2)];a2=[1-exp(-Wp2)];w=linspace(0,pi,512);h1=freqz(b1,a1,w);h2=freqz(b2,a2,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,db');grid;00.20.40.60.81-9-6-30NormalizedfrequencyGain,dbWppWpp基本思想:利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。设模拟系统的微分方程为用梯形面积近似计算等式右边的积分得双线性变换法所以近似描述离散系统的差分方程为离散系统的系统函数为：和模拟系统的系统函数比较可得稳定性1)s<0,|z|<1左半平面映射到单位元内。稳定AF系统映射为稳定DF系统。2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1虚轴映射到单位圆上右半平面映射到单位圆外结论：因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统W和w

的关系令s=jw)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：无混叠双线性法设计DF的步骤：2)由模拟滤波器的指标设计H

(s)3)H

(s)转换为H(z)1)将数字滤波器的频率指标{Wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2)转换为模拟滤波器的频率指标{wk}解：设双线性变换中的参数为T1)模拟低通滤波器的3dB截率为2)3dB截率为wp的一阶模拟BWLP滤波器为3)由双线性变换得例：用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字低通滤波器。0101NormalizedfrequencyAmplitude例：用1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字高通滤波器解：取T=2，则AFHP的3dB截频为AFLP的3dB截频为满足条件的LPAF为满足条件的HPAF为缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真Normalizedfrequency确定阶数为N，通带参衰减为ApdB，阻带衰减为AsdB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Normalizedfrequency满足条件的HPAF为Wpp;Wsp;Ap=1dB;As=10dB;Normalizedfrequency解：设脉冲响应不变法中的取样间隔为TWs2p，Ws1p，As=10dB1)用脉冲响应不变法求出H(z)如zk为一个极点，2)3dB截率为wp的一阶模拟BWLP滤波器为CBI型filter的性质通带衰减(db)(passbandAttenuation)例:用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计的3dB截频为Wp的数字滤波器为由N=buttord(1,ws,Ap,As,'s')；4)确定归一化BW低通滤波器例用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个中心频率为W0，3dB带宽为DW的数字带阻滤波器。解：取T=2。设数字带阻的3dB截频分别为