专题三反比例函数试题的解题思路

专题三反比例函数试题的解题思路一、方法简述初中学生首先学习的曲线就是反比例函数的图象，中考的反比例函数试题一般是与一次函数相结合，由于解析式的特征，不但能以函数图象为载体考查几何，而且能够以解析式为载体考查代数，如分式的变形运算等，是中考的热门题型，解决此类问题的关键是数形结合思想、函数与方程思想以及代入法，代定系数法的灵活应用。二、常用方法1.求反比例函数解析式的方法：①求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法；②利用几何图形的数量关系来确定；③利用实际问题中的数量关系来确定；2.从反比例函数的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为；3.反比例函数图象上的两个点（，）、（，），则。三、典例分析例1：如图，直线与双曲线相交于两点．（1）当为何值时？；（2）把直线平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为2，求平移后得到的直线解析式.解：（1）根据图象，当或时，（2）∵∴∴(1，-2)根据题意得：…解得：直线与坐标轴的交点分别为（0，-1）、（-1，0)方法一：设把直线向上平移个单位长度，所得到的直线为该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，）∵∥∴∴=解得：，所以平移后所得到的直线为或方法二：设把直线向右平移个单位长度，所得到的直线为即该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，）∵∥∴∴=解得：，所以平移后所得到的直线为或评析：第（1）小题，实际上是求直线在双曲线上方部分的自变量的取值范围，所以要先求出点的坐标，然后根据图象就可以直接写出自变量的取值范围；第（2）小题只要求出平移后的直线与坐标轴的交点坐标问题就迎刃而解，要注意平移方向与平移距离之间的关系。例2：探索发现：如图，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）图图4图3图2图1ODCBAxyyxCOBAyxOCBADCBAha应用求值：（1）如图，、是直线上的两个动点，横坐标分别为、，，且，点（，）.求：的面积； （2）如图，直线与双曲线（）相交于、两点，与轴相交于点，的面积为6，求：的值；（3）如图，、是双曲线（）在第一象限上的两点，⊥轴于交于点，，，求：的值及的面积.解：（1）过作∥轴交直线于如图：当时，（2），当时，记点的横坐标为，点的横坐标为.∵∴∴设点的横坐标为，则点的横坐标为∴(，)，∴解方程得：∴(，)（3）∵，,∴∴∵∴∴∴∴(，)∴直线为，设点（，），则，或（不合题意舍去）所以的水平宽为3.评析：“探索发现----应用求值”与“阅读理解----创新应用”类似，解题时，要认真阅读“阅读理解”部分的内容，确实理解所用的知识、方法，并作为应用中的借鉴；把新的三角形面积计算方法应用在直角坐标系中，、两点横坐标之差，就是水平宽，、（或、）两点纵坐标之差便为铅垂高。四、强化训练1.如图，一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形（阴影部分）的面积是，与反比例函数的图形相交于点（,）和（，），求的值.yxOABCED2.如图，已知直线与轴交于点，与双曲线交于（，）、（，）两点.轴于点，∥轴且与轴交于点.yxOABCED（1）求点的坐标及直线的解析式；（2）判断四边形的形状，并说明理由.3.已知反比例函数(为常数)的图象经过点(，）．（1）求的值；（2）如图，过点作直线与函数的图象交于点，与x轴交于点，且，求点的坐标．4.已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的．两点，与轴交于点，点的坐标为（,)，点的坐标为（，），。（l）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在轴上有一点（点除外），使得与的面积相等，求出点的坐标．5.如图，在矩形中，、两边分别在轴、轴的正半轴上，，，过边上的点，沿着翻折，点恰好落在边上的点处，反比例函数在第一象限上的图象经过点与相交于点.（1）求证：四边形是正方形；（2）点是否为正方形的中心？请说明理由.6.如图，在平面直角坐标系中，(，)、（，），四边形是矩形，、分别是、边上的点，沿着折叠矩形，点恰好落在轴上的点处，点落在点处．（1）求、两点的坐标；（2）反比例函数在第一象限内的图象经过点，判断点是否在这个反比例函数的图象上？并说明理由；（3）点是（2）中反比例函数的图象与原矩形的边的交点，点在平面直角坐标系中，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。7.探索发现：如图1，过的三个顶点分别画出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫做的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）应用求值：（1）如图2，在直角坐标系中，(，)、（，）,点在第一象限，轴于点，交于点，，.求：（2）①如图3，、是反比例函数的图象在第一象限上的两点，过作轴于，交于，，连接，，点的横作标为，求点的坐标及的值.②如图3，、是①中反比例函数图象上两个动点，、的横作标分别为、（），，求：的值.8.如图，等边△和等边△的一边都在轴上，双曲线经过边的中点和的中点，已知等边△的边长为．(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△的边长．9.如图，点是反比例函数在第一象限的图象上一个动点，过点作∥轴交反比例函数的图象于点（），分别过点、作轴的垂线，垂足为、，连接交反比例函数的图象于点.（1）求：矩形的面积（用含的代数式表示）；（2）若点恰好是矩形的中心.①求：的值②若，其它的条件不变，判断的形状