工学自动控制原理第3章

第三章控制系统的时域分析方法13.1典型输入信号和时域分析法时域分析法是根据描述系统的微分方程或传递函数，直接求解出在某种典型输入作用下系统输出随时间t变化的表达式或其它相应的描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。一、典型的输入信号概念：系统的输出取决于两个因素：输入信号的形式和系统的闭环传递函数。为了方便对各种控制系统的性能进行比较，需要规定一些具有代表性的信号，这些信号就称为典型输入信号。1.阶跃信号数学表达式当A=1时，称为单位阶跃信号22.斜坡信号数学表达式当A=1时，称为单位斜坡信号3.抛物线信号数学表达式当A=1时，称为单位抛物线信号34.脉冲信号数学表达式当A=1时，称为单位理想脉冲信号5.正弦信号数学表达式4二、时域性能指标围所需要的最小时间。：系统在响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分数。为

时的输出值。（2）稳态性能指标稳态性能指标用稳态误差ess来描述，是系统抗干扰精度或抗干扰能力的一种量度。（以单位阶跃信号输入时，系统输出为主要研究对象）（1）动态性能指标上升时间tr：响应曲线从零到第一次达到稳态值所需要的时间。峰值时间tp：响应曲线从零到第一个峰值所需要的时间。应快速性调节时间ts：响应曲线从零到达并停留在稳态值的

或

误差范最重要超调量5时域性能指标63.2一阶系统分析一、一阶系统用一阶微分方程描述的系统。二、一阶系统典型的数学模型微分方程传递函数三、典型输入响应1.单位阶跃响应7y(t)的特点：由动态分量和稳态分量两部分组成。是一单调上升的指数曲线。当t=T时，y=0.632。曲线的初始斜率为1/T。性能分析：超调量

不存在。（2）ts=3T或4T。2.单位斜坡响应8y(t)的特点：由动态分量和稳态分量两部分组成。输入与输出之间存在跟踪误差，且误差值等于系统时间常数“T”。

3.单位抛物线响应y(t)的特点：输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。4.单位脉冲响应y(t)的特点：

当

时，。9对一阶系统典型输入响应的两点说明：当输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入。三种响应之间的关系：系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入信号响应的微分（积分）。103.3二阶系统分析一、二阶系统用二阶微分方程描述的系统。二、二阶系统典型的数学模型（位置随动系统）例：对应的系统结构图：对应的微分方程：11二阶系统典型的数学模型：开环传递函数闭环传递函数二、典型二阶系统的单位阶跃响应在初始条件为0下，输入单位阶跃信号时特征方程：特征方程的根：（根的性质与阻尼比有关）12和

两个参数，在

不变情况下取决于

。二阶系统响应特性取决于1.过阻尼（

>1）的情况特征根及分布情况：阶跃响应：t0y响应曲线：1132.欠阻尼（

<1）的情况特征根及分布情况：阶跃响应：响应曲线：t14ξ=0.3ξ=0.50y(t)13.临界阻尼

（

=1）的情况特征根及分布情况：阶跃响应：4.无阻尼

（

=0）的情况特征根及分布情况：阶跃响应：结论：1、不同阻尼比有不同的响应，决定系统的动态性能。2、实际工程系统只有在

才具有现实意义。0ty(t)10ty(t)115三、二阶系统动态特性指标二阶系统的闭环传递函数为：对应的单位阶跃响应为：当阻尼比为时，则系统响应如图：t0y(t)trtpts161.上升时间

：在暂态过程中第一次达到稳态值的时间。对于二阶系统，假定情况

下，暂态响应：令

时，则经整理得：暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。2.峰值时间和超调量即，叫

峰值时间。最大超调量发生在第一个周期中时刻在

时刻对

求导，令其等于零。经整理得将其代入超调量公式得173.调节时间

：输出量

与稳态值

之间的偏差达到允许范围（

），并维持在允许范围内所需要的时间。结论：若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的

。为了降低超调量，改善系统的动态性能，需增大阻尼比，可以通过降低开环放大系数K实现,但降低K值又会使系统的稳态误差增大。18例有一位置随动系统，结构图如下图所示，其中K=4。求该系统的自然振荡角频率和阻尼比；求该系统的超调量和调节时间；若要阻尼比等于0.707，应怎样改变系统 放大倍数K？解（1）系统的闭环传递函数为写成标准形式可知19（2）超调量和调节时间（3）要求时，四、提高二阶系统动态性能的方法1.比例——微分（PD）串联校正未加校正网络前：20加校正网络后：校正后的等效阻尼系数（校正后开环放大系数未变，闭环传递函数分母s一次项的系数增加了一项

，校正后阻尼系数值增加，使系统的超调量下降，提高了动态性能）2.输出量微分负反馈并联校正未加校正网络前：21加校正网络后：校正后的等效阻尼系数：两种校正方法校正后等效阻尼系数：由于可得由于阻尼系数上升，超调量下降，从而提高了系统的动态性能。223.4高阶系统分析一、高阶系统数学模型为三阶或三阶以上的系统。二、高阶系统的数学模型其中

~

闭环传递函数极点；q为实极点个数；r为共轭极点对数；闭环传递函数零点。三、单位阶跃响应作拉氏反变换后得23结论：若所有实数极点为负值，所有共轭复数极点具有负实部，即所有闭环极点都分布在s平面的左半边，那么

时，动态分量趋于零，系统稳态输出为1，等于输入量。这时系统稳定。动态响应各分量衰减的快慢取决于指数衰减常数。闭环极点的负或负实部的绝对值越大，响应分量衰减得越迅速。分量的幅值与闭环极点、零点在s平面中的位置有关。四、闭环主导极点的概念：距离虚轴最近，又远离零点的闭环极点，在系统过渡过程中起主导作用，这个极点称为主导极点。主导极点若以共轭形式出现，该系统可近似看成二阶系统；若以实数形式出现，该系统可近似看成一阶系统。243.5稳定性分析及代数判据一、稳定的概念及条件：⒈稳定概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称系统是稳定的。⒉稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于ｓ平面的左半平面。二、判定系统稳定的方法：⒈一、二阶系统稳定条件：特征方程的各项系数均为正。⒉高阶系统应用劳斯判据和胡尔维茨稳定判据。25三、劳斯判据系统特征方程的标准形式：系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，可用劳斯判据判稳。系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必须为正。列劳斯表：26例四阶系统特征方程式：试判别系统的稳定性，并说明特征根中具有正部根的个数。列劳斯表：因为第一列元素值不满足全部为正。所以系统不稳定，其符号改变两次，所以特征方程有两个具有正实部的根。劳斯表中第一列元素符号改变次数，等于特征根中具有正实部根的个数。27三：补充28两种特殊情况：某行的第一列为0，而其余各项不为0，或不全为0。处理方法：可以用因子（s+a)乘以原特征方程，a为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据，由新劳斯表来判断。出现全零行（表明特征根中有一些绝对值相同但符号相反的特征根，例如，两个大小相等但符号相反的实根或一对共轭纯虚根，或者是对称于实轴的一对共轭复数根）处理方法：用全零行上行的系数构造辅助方程F(S)=0，并将F(S)对s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元，便可将劳斯判据继续运行下去，F(S)=0的次数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根的数目。四、劳斯判据的其它应用1.分析系统参数对稳定性的影响例系统如图所示，求使系统稳定的K值的范围。解：系统闭环特征方程为列劳斯表系统稳定必须满足所以292.确定系统的相对稳定性稳定裕量：系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部最大的特征根与虚轴的距离。若要求系统有（1）用的稳定裕量，则代入特征方程；（2）将z看作新坐标，用劳斯判据再次判稳。303.6稳态误差分析及计算一、误差及稳态误差概念定义1．误差：（2种定义）输入端定义输出端定义两者之间的关系31322．稳态误差：稳定系统误差的终值。3．稳态误差的计算公式：终值定理二、稳态误差计算1.在给定输入信号作用下的分析：令33的关系。考虑R(s)不同时，

与设其中K——开环放大倍数V——无差度阶数a.单位阶跃输入下的其中称为位置误差系数34b.单位斜坡输入下的其中称为速度误差系数35c.单位抛物线输入下的其中称为加速度误差系数36d.典型信号合成输入下的稳态误差可用叠加原理求出，即分别求出系统对阶跃、斜坡和抛物线输入下的稳态误差，然后将其结果叠加。37结论：要消除或减小

，必须针对不同的输入量来选择不同的系统，并且选择较大的K值。但K值必须满足稳定性的要求。2.在扰动输入信号作用下的分析：令νr(t)=1(t)r(t)=tr(t)=1/2t201/(1+K)∞∞101/K∞2001/K383.给定输入、扰动输入同时作用下的例已知系统结构图如下，当r(t)=n(t)=1时，求系统稳态误差。N(s)39+-R(s)Y(s)解：1.判断系统稳定性特征方程应用劳斯判据因为系统第一列元