弹性力学第2章平面问题的基本理论

上节课的主要内容弹性力学与材料力学、结构力学的关系根本概念：体力、面力、应力及符号规那么根本方程和根本未知数根本假设：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性〔理想弹性体〕、小变形假定。第二章平面问题的根本理论§2.1平面应力问题与平面应变问题§2.2平衡微分方程§2.3平面问题中一点的应力状态§2.4几何方程刚体位移§2.5物理方程§2.6边界条件§2.7圣维南原理及其应用§2.8按位移求解平面问题§2.9按应力求解平面问题相容方程§2.10常体力情况下的简化应力函数§2.1平面应力问题与平面应变问题重点：理解两个平面问题的概念一、平面应力问题几何：等厚度薄板受力：平行于板平面且沿厚度方向均布(z无关)板面上自由板很薄，外力沿厚度不变化，故：二、平面应变问题几何：等截面长柱体， 〔z方向无限长，任意截面为对称面〕受力：沿长度方向不变化平面应力、平面应变及板的比较相同点：等厚度板，载荷沿厚度不变，按平面问题处理，根本变量是x和y的函数。平面应变：一般厚度很厚，力作用在面内。平面应力：一般厚度很薄，力作用在面内。板：一般厚度很薄，力不作用在面内。平面应力与平面应变梁的弯曲问题拦水大坝带孔薄板的拉伸问题xy§2.2平衡微分方程单元体P：〔x，y〕A：〔x+dx，y〕B：〔x，y+dy〕弹性力学分析：平衡方程、几何方程、物理方程PABCxyfxfy平衡方程PABCxyfxfy本质：x、y方向合力为零。§2.3平面问题中一点的应力状态一点的应力状态的概念受力构件内一点处不同方位截面应力的集合.一点处的应力分量求任意斜截面上的应力记：xyOPABpnpxpy

n

n微元体平衡xyOPABpnpxpy

n

n设：AB=ds

斜截面上正应力斜截面上切应力xyOPABpnpxpy

n

n

主应力：过P点某一斜截面上剪力为零，那么该斜截面上的正应力称为P点的一个主应力。应力主面：主应力所在截面。应力主向：应力主面所在截面的法线方向 即主应力方向。确定主应力及应力主面位置设应力主面存在，那么该截面上只有正应力〔主应力〕记。xyOPABnpxpy

解得主应力：应力主方向确实定确定一点处最大最小正应力主应力就是一点处的最大最小正应力确定一点处最大最小切应力任意斜截面上的切应力结论主应力：主方向：最大剪应力：xyz3214761.8461.9271.9381.9391.940应力第一不变量：应力第二不变量：应力第三不变量：上节课的主要内容平面应力、平面应变及板的概念平衡微分方程：一点的应力状态主应力：主方向：§2.4几何方程刚体位移几何方程——形变分量与位移的关系xyOPABuvxyOPABuvPA:dxPB:dyP点的切应变

xy：直角的改变。xyOPABuv几何方程：位移求应变，完全确定。应变求位移，不能完全确定。由第三式可得：刚体位移不引起应变。u0：O沿x方向的刚体位移。v0：O沿y方向的刚体位移。xyOP

v-u

：绕O转过的角度。注意刚体位移由约束条件确定，仅应变无法完全确定位移。〔积分常数问题〕并非所有应变都是可能的应变！！！§2.5物理方程物理方程——应变分量与应力分量间关系。理想弹性体——Hooke定律平面应力问题平面应变问题§2.6边界条件边界条件：指边界上位移与约束或应力与面力之间的关系。可划分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。一、位移边界条件特例：xyqq二、应力边界条件y方向正面：y方向负面：x方向正面：x方向负面：三、混合边界条件xyO特例：注意：边界上任意点、任意方向上，位移和面力条件只能给定一个，且必须给定一个。上节课内容几何方程物理方程边界条件圣维南原理§2.7圣维南原理及其应用作用于小区域的静力等效的不同力系，其影响主要集中在近处，而对远处的影响可忽略。FFF/2F/2F/2F/2F/AF/AF满足圣维南条件：局部静力等效xyFSFNM当一小局部边界条件不能精确满足时，可以应用圣维南原理，此时的解不是精确解，而是圣维南意义下的精确解。梁问题：上下面必须精确满足，两头可圣维南满足！！xylh/2h/2q1MFNFSqy=-h/2

y=-qxy=0y=h/2

y=0

xy=-q1x=lu=0v=0x=0xxbh2h1yxg位移边界条件：时应力边界条件：精确满足：时圣维南满足：时§2.8按位移求解平面问题结构力学求解超静定结构：位移法、力法、混合法弹性力学求解问题：按位移求解、按应力求解、混合求解位移解法——以位移为根本未知量，将应力、应变用位移表示位移表示的应力：位移表示的平衡微分方程位移表示的应力边界条件解题步骤：求解位移表示的偏微分方程，使其满足边界条件。由求得的位移函数求应力。位移法：理论上适用于各种问题的求解，但由于微分方程复杂，很难找到解析解，但在数值分析中有广泛应用。xyhxyh(a)(b)gg设：=0，那么：u=0，v=v(y)(a)B=0(b)B=0一式自动满足。§2.9按应力求解平面问题相容方程相容方程:是否任意应力函数分布总可以是某种载荷下的解？解：按应力求解，不仅需满足平衡方程，还必须满足相容方程。——相容方程1.以下两种应变状态中，是可能的应变状态，是不可能的应变状态。A.B.协调方程：应力求解平面问题：〔1〕在域内满足平衡方程和协调方程，〔2〕在边界满足应力边界条件〔3〕对多连体，还必须满足位移单值条件。§2.10常体力情况下的简化应力函数常体力情况拉普拉斯方程：〔调和方程〕满足应力函数已使平衡方程得到满足，需满足协调方程，边界条件，多连通需满足单值条件。常体力