(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)

容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有8060140139部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。即A∪B=A+B-A∩B容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。即A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C容斥原理1【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。15+12-4=23【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？【解析】100-(62+34-11)=15【例2】★一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。40-（48－37）=29人。【小试牛刀】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？6448种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=11296=1616【例3】★★实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？【解析】由“16：16“1216＋1220（16＋12－20）÷2=4书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。【例4】★★五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？【解析】（24+28-32）÷2=10【例5】★在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？7545因此，75＋45=120100207520：75－20=55【小试牛刀】40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？【解析】19人【例6】★★在1至1000这1000个自然数中，能被5或11整除的自然数一共有多少个？11590511511511511【解析】能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个能被11整除的自然数有多少个？1000÷11=90……10 有90个既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个1000÷55=18……10 有18个。所以能被5或11整除的自然数的个数是：200+90－18=272个。】 60名同学面向老师站成一横排老师先让同学们从左到右按照1234、……、5960的顺序依次报数再让报数是4的倍数的同学向后转接着又让报数是6的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？【解析】160，4，646：60÷12=5：60－（15+10－5）=40有5个，所以面向老师的学生还有40+5=45个。【例7】★★★有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？【解析】2404：240÷4－1=596米作一个记号，这样一共有：240÷6－1=3912重复了：240÷12－1=19个记号。因此绳子上共有记号数是：59+39－19=79，所以绳子一共被剪成了79+1=80段。容斥原理28★★2815131446既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明，这个报名表有误。15+13+14-4-6-5+2=29实际参加人数不符，所以这个报名表有误。【小试牛刀】 某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3【例9】★★★从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？【解析】能被3整除的自然数有多少个1000÷3=333……1 有333个能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个能被7整除的自然数有多少个？1000÷7=142……6 有142个既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个1000÷15=66……10 有66个。既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个1000÷21=47……13 有47个。既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个1000÷35=28……20 有28个。能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个1000÷（3×5×7）=9……55 有9个。3、5、7333+200+142－（66+47+28）+9=457所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000－543=457【小试牛刀】分母是1001的最简分数一共有多少个？【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。由容斥原理知:在1—1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.10★★ABCDOEFG9ABDAFDACDADABAD×AB÷2=15×8÷2=60（平方厘米。阴影部分面积=（ABDACD）－（AFDDEFG）=（60+60）-（60-9）=69（平方厘米。【小试牛刀】如图所示，AB、C分别是面积为1228、16的三张不同形状的纸片，它们重叠38ABB与C的公共部分的面积分别为8、7，AB、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．5687x35687x338x6．11】★★1208590706246215X120-85-90-70+62+46+X-21=5，X=43，43-21=22容斥原理中的最值问题【例12★★★10030盆，7580903个人浇过的花最少有多少盆？330455060100307070好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45506014015盆．100786858人都浇过的花最少有多少盆?46=3268-46=2258-32-22=4【小试牛刀】例题中恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？【解析】1002752.751430701552.21次，说明需要一些370355212727353421人。这个学校共有多少名教师？【解析】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。1015【解析】（102-82）×5-12×8=172（平方厘米）10043进了32次，王刚和李立一共投进了46次，王刚投进了多少次？【解析】100-43=5732+46=78进的次数，就是王刚投进的次数，列式为78-57=21次，所以王刚投进了21次。182218182020218+20=3822238-22=1616÷2=83211（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有多少人？【解析】通过你自己画图，观察图可以看出：32+27－11=48人，就表示五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共的人数。答：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有48人。502830，请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？【解析】30+28=5850，58－50=88385385=5×7×1138557775511357753511557385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240个。102518【解析】A，B25101518153人，因此这三人只能是第一题错，第二题也错，即两道题都错的有3人。1200423、51200421002668[2004/5]=4006334，10[2004/10]=200，15[2004/15]=133，302、3、52004-1002-668-400+334+200+133-66=535（“[]”表示对[]内的数取整.）5014181850-18=321432-14=183131-18=13一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积长方形面积之和重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140(平方厘米)．250838625