2024届高考数字圆锥曲线基础总结、二级结论、方法与技巧

第1页共29页ybybTabCPCMC平面内一动点P与两定点E、F₂距离之和为常数(大于|FF₂|)的点轨迹焦点焦点在x轴上范围顶点长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=|F₁F₂|=2c,c²=a²-b²焦点左焦点弦|AB|=2a+e(x₁+x₂),右焦点弦|AB|=2a-e(x₁+x₂)焦点(3)当P在椭圆短轴上时，张角θ最大，cosθ≥1-2e²论、方法与技巧第2页共29页eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee平面内一动点P与两定点F₁、F₂距离之差为常数(大于|F)F2|)的点轨迹焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形y虚轴Fy虚轴F实轴F虚轴实轴xFF虚轴实轴xF范围顶点虚轴长=2b,实轴长=2a,焦距=|F₁F₂|=2c,c²=a²+b²焦点PF|=a+ex₀,|PF₂|=-a+ex₀左支添“-”离心率渐近线最短焦点弦)焦点(1)由定义可知：PF|-|PF₂|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；yyPAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA第3页共29页4454444444444444444v444454444444444444444v4409平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹p2FxFpp2Fx顶点x轴y轴焦点范围过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦|AB|=2p(最短焦点弦)AB为过y²=2px(p>0)焦点的弦，A(x₁,h)、B(x₂,y₂),倾斜角为a.则：AB为过x²=2py(p>0)焦点的弦，A(xj,yh)、B(x₂,y₂),倾斜角为a.则：第4页共29页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA椭圆双曲线抛物线椭圆双曲线点差法与通法点差法与通法第5页共29页(t为参数)第6页共29页eeeeeeeeeeeeeeeeeeeVeeeeeeeeeeeeeeeeeeeV0为乡数):双曲线(0为参数)仿射变换与齐次式仿射变换与齐次式CAOC江y正则AB=√1+k²|x₁-x第7页共29页(水平宽不变，铅锤高缩小)垂高不变)拓展2:椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C',所有直线方程统一写为：mx+ny若直线AO的斜率为ki,直线CO的斜率为k₂,EO平分∠AOC第8页共29页).).(2)共点直线系方程：经过两直线l:A₁α(1)过直线l:Ax+By+C=0与圆C:x²+D₁x+Ey+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0,λ是待定③、α+β=0(0<0<π)⇔直线AB恒过定点.OA⊥OB⇔koA·kop=-1⇔|a-β|=受⇔直线AB恒过定点(第9页共29页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA6AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA6该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题,再利第10页共29页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA第11页共29页20.椭圆21.若P为椭圆上异于长轴端点的任一点，F₁,B₂是焦点，∠PRE=a,∠PER=B,22.椭圆+=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF|=a+ex,|MF₂|=a-ex₀(F(-c,0),F₂(c,0),M(x√Z-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P,使得PE是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项24.P为椭圆25.椭圆25.椭圆线垂直.第12页共29页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAALAAAAAAAAAAAAAAA33.椭圆33.椭圆Byo+C)².38.MN是经过椭圆b²x²+a²y²=a²b²(a>b>0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OP⊥MN第13页共29页4……444…444444444444144444444444444444444444444444444……444…4444444444441444444444444444444444444444444470000000A₂P和A₁Q交于点N,则MF⊥NF.l,作F₁、F₂分别垂直l于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x²+y²=45.设△ABC内接于椭圆T,且AB为T的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F,又D为l上一点，则CD与椭圆T相切的充要条件是D为EF的中点.的直线L,又设d是原49.已知椭圆,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点49.已知椭圆51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过日点的直线MN:&=n于M,N两点，则∠MBN=0T≈a+m=F0+m第14页共29页之之第15页共29页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA是(1)d₁d₂=b²,且F₁、F₂在L同侧⇔直线L和椭圆相切.(3)d₁d₂<b²,或F₁、F₂在L异侧⇔直线L和椭圆相交.第16页共29页eeeeepeeeeeeeeeeeeeeeeeee一 74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.比例.比例.所在直线平行.的长.椭圆长轴为直径的圆的切点.点.89.已知椭圆(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=名m及y=-名89.已知椭圆第17页共29页91.点P为椭圆91.点P为椭圆交直线x于Q,R,交直线x于Q,R,记△OMQ与△ONR的面积为S,S₂,已知,则P的轨迹方程是93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为,过焦点最长弦为长轴.94.过原点最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b.95.与椭圆95.与椭圆D)有共焦点的椭圆方程为-²).)有共焦点的格圆方程为)有共焦点的格圆方程为96.与椭圆97.焦点三角形：椭圆上的点P(x₀,y)与两焦点F,F₂构成的△PFF₂叫做焦点三角形.若ri=|PF₁|,r₂=|PF₂|,∠FPF₂=0,△PF₁F₂的面积在椭圆当且仅当r=r₂时，等号成立.最大值为bc;③△PF₁F₂的周长为2(a+c).第18页共29页eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA足∠AQF₁=0(O<0<否),则点Q在以C(0,±ccot0)为圆心，sino为半径的圆上.第19页共29页2.标准方程10.若点R(zn,3n)在双曲线12.若12.若AB是双曲线9b²·第20页共29页16.若双曲线16.若双曲线(ii)对C₂上任一点P(x₆,yb)在C₁上存在唯一的点M’,使得M’的任一直角弦都经过P'点.18.设P(xo,)为双曲线-#=20.双曲线,22.双曲线23.若双曲线)的左、右焦点分别为F、F2,左准线为L,则当1<e≤√2+1时，可在双曲线上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d₁与PF₂的比例中项.24.P为双曲线-#=1|AF₂|-2a≤|PA|+|PF|,当且仅当A,E,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.第21页共29页27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.29.设A,B为双曲线相交于P,Q,则AP=BQ.31.设S为双曲线的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记32.双曲线34.34.设双曲线35.35.经过双曲线)的实轴的两端点A₁和A₂的切线，与双曲线上任一点的切线相交37.MN是经过双曲线)过焦点的任一弦(交于两支),若AB是经过双曲线中心O38.38.MN是经过双曲线第22页共29页43.设A、B、C、D为双曲线点P(xn,0),则二第23页共29页第24页共29页60.过双曲线68.OA、OB是双曲线AB必经过一个定点第25页共29页70.如果一个双曲线虚半轴长为b,焦点R、F₂到直线L的距离分别为d₁、d₂,那么(1)d₁d₂=b²,且F₁、F₂在L异侧⇔直线L和双曲线相切，或L是双曲线的渐近线.(2)d₁d₂>b²,且F₁、F₂在L异侧⇔直线L和双曲线相离，(3)d₁d₂<b²,或F、F₂在L同侧⇔直线L和双曲线相72.设点P(zo,3b)为双曲线)的内部((含焦点的区域))一定点，AB是双曲线过定点P(xo,yo)的任一弦.74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.离成比例.段成比例.半径所在直线平行.半轴的长.和双曲线实轴为直径的圆的切点.第26页共29页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA两焦点.89.已知双曲线N,交y轴于R,Q,O89.已知双曲线N,交y轴于R,Q,O91.点P为双曲线第27页共29页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA…66666…cc………ooooooooooodAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA…66666…cc………oooooooooood已知抛物线y²=2px,(p>0),焦点为;准线为,AA₁⊥l,7.AP垂直平分A₁F9.PF⊥AB第28页共29页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA26.设点26.设点A、B在准线上的射影分别是A₁,B₁,则PA垂直平分A₁F,PB垂直平分B₁F,从而PA平方;第29页共29页;44v1vvvvvvvvvvvvvvvvvv;44v1vvvvvvvvvvvvvvvvvv结论9PA平分∠A₁AB,PB平分结论12结论15点M平分PQ第1页共68页54…454444444444v444444o54…454444444444v444444onoooogoooooooogooooooooogooooooagaeg 平面内一动点P与两定点F、F₂距离之和为常数(大于|F₁F2I)的点轨迹焦点焦点在x轴上焦点在y轴上yyCCabFOC 范围顶点长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=|F₁F₂|=2c,c²=a²-b²焦点左焦点弦|AB|=2a+e(x₁+x₂),右焦点弦|AB|=2a-e(x₁+x₂).过楠圆焦点且垂直于对称轴的弦长(最短焦点弦)焦点(3)当P在椭圆短轴上时，张角θ最大，cosθ≥1-2e²MMPP第2页共68页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA山山见见见见见见见见见见见见见见见见见见见见见见见见见见平面内一动点P与两定点F、F₂距离之差为常数(大于|F₁F₂|)的点轨迹焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yy实轴虚轴FyF虚轴实轴xyF虚轴实轴xF范围顶点虚轴长=2b,实轴长=2a,焦距=|FF₂|=2c,c²=a²+b²焦点PF|=a+ex₀,|PF₂|=-a+ex₀左支添“-”离心率渐近线(最短焦点弦)焦点(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(4)离心率：)CF)CFbbbbbb4454444444444444444v449平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线。图形yFxxFP2p2FxPxP2顶点对称轴x轴y轴焦点离心率范围过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦|AB|=2p(最短焦点弦)AB为过y²=2px(p>0)焦点的弦，A(x₁,μ)、B(x₂,y₂),倾斜角为a.则：AB为过x²=2py(p>0)焦点的弦，A(x,y₁)、B(x₂,y₂),倾斜角为a.则：yFBA丕aBp2第4页共68页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA;AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA;椭圆双曲线抛物线椭圆双曲线点差法与通法点差法与通法;;::::圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程第6页共68页eeeeeeeeeeeeeeeeeeeWeeeeeeeeeeeeeeeeeeeW(1)双曲线0为参数)双曲线0为参数):变换内COCCO正,由于kxc·kirc²=-1.,由于kxc·kigc=-1.则AB=√1+k²|x₁-x₂第7页共68页拓展2:椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B;则经过仿射变换后kow·kog=-1,所以SAoB为定值.圆锥曲线考点归类圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理若直线AO的斜率为k₁,直线CO的斜率为k₂,EO平分∠AOC第8页共68页(2)共点直线系方程：经过两直线l:A₁x+Biy+C=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0的交点的直线系方程为D₁x+Ey+F+λ(a²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0,λ是待定③、α+β=0(0<θ<π)⇔直线AB恒过定点.DA⊥DB≈karkoa=-1=直线AB恒过定点,0)第9页共68页 doooooooaoooooooooa【证明】第10页共68页LAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA;;第11页共68页3.标准方程3.标准方程4图第12页共68页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA【证明】至A,至A,使PA=PF₂,则△PAF₂是等腰三角形，AF₂中点即为射影H₂。贝,同理可得OH₁=a,所以射影H₁,H₂的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。贝7.以焦点弦7.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.8.以焦点半径PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.而|FT|=a+c=|F₁A₂|,T与A₂重合，故旁切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。第13页共68页则,即,· , ,第14页共68页设A(x₁,y),B(x₂,y₂)则,,,第15页共68页 代4 代4;(k²+1)x₁x₂-(k²n+kyw+x₀-mk)(x₁+x₂)+x6+→a²(k²+1)[(m-km)²-b²]+(k²n+kyo+xo-mk)2a²k(m-k→a²(k²+1)(m-kn)²-a²(k²+1)b²+(a²k²+b²)x6+(a²k²+b²)yb+(2y(m-kn)(a²k²+b²)-2a²k²(m-kn)²+2a²kr₀(m-km)+2a²k→a²(m-kn)²-a²(k²+1)b²+(a²k²+b²)xó+(a²k²+b²)yó+b²(m-kn→(a²k²+b²)(zi+y6)+(a²+b²)(m-kn)²-a²b²(k²+1)+2(m-hk→a²k²(xì+yí)+b²(xó+yó)+(a²+b²)m²+(a²+b²)k²n²-2kmn(a²+b²)-a²b(a²k²+b²)x²-2a²km(yn+kx)x+a³m²(,,(a²k²+b²)x²+2a²k(p-kq)x+a²a²k²(p-kq)²-a²b²k²-2a²k²(p-kq)(p-kq-w)+(p-kq-ya²(p-kq)²-a²b²+2a²kxn₀(p-kq第16页共68页→k²(mx6+q²-mqxo-Qxo)+k(mpx₀+px₀-mqyo+qyo-2pq)+(mpyo注意到m≠1,解(1)(3)得p=-myg,q=mxo,代入(2)式，成立。20.过椭圆20.过椭圆+=21.椭圆【证明】→(|PF|+|PF₂|)²=4c²+2|PF||第17页共68页,,,;,【证明】第18页共68页|PF₂I²=|PFl²+|FF₂l²-2|PF₁|×|F₁F₂|cosa=|PFl²+425.若椭圆25.若椭圆+=1(a>b>0)圆上求一点P,使得PF₁是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项.26.P为椭圆+=1(a当且仅当A,F₂,P三点共线时，等号成立.都当且仅当A、P、F2三点共线时取等号27.椭l)上存在两点关于直线l:y=k(x-x₀)对称的充要条件是28.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与28.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.【证明】由5即可得证。29.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.,27图30图第19页共68页5656∴FP⊥FA→c²=a²cos²φ+(a²-c²)sin²ọ=e²=c号)(+T+)=。第20页共68页二次函数y=c²t²-mx+a²与在[0,a]内的交点即为x₀的值。由图易知y=e²x²-mx31图31图34.椭圆A²+BW'>C.34.椭圆第21页共68页4v…vvvvvv………vvvvvvvv7…14vvvvv77vvvvvvvv117vvvvv14v…vvvvvv………vvvvvvvv7…14vvvvv77vvvvvvvv117vvvvv1△=4a⁴A²C²-4a²(C²-B²b²)(A²a²+B²b²)→(A²a²+B²b²)x²+2(a²AC-B²b²x₀+a²ABy)x+(△≥0→Aa²+B²b²≥A²x6+B²yó+C²+2ABr₀y+2ACx₀+36.设椭圆36.设椭圆00,38.38.已知椭圆第22页共68页椭,第23页共68页 的 的【证明】;;→sinφ+esingcosθ=esinθcosφ+sin(θ-φ)-esin(θ-φ)A₂P和A₁Q交于点N,则MF⊥NF.【证明】【证明】00第24页共68页44.设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l:y=kx的共轭直线y=k'x44.设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l:y=kx的共轭直线y=k'x相交于P,且P不在椭直线的倾斜角分别为a,β,直线AB与CD(b²cos²a+a²sin²a)t²+2(b²x₀cosa+a²ysina)t+(bl,作F₁、F₂分别垂直l于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x²+y²=,则,对历点：第25页共68页HH47.设△47.设△ABC内接于椭圆I,且AB为F的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F,又D为l上一点，则CD与椭圆T相切的充要条件是D为EF的中点.【证明】由伸缩变换将椭圆(左图)变为圆(右图),椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证命题变为证CD与圆O相切的充要条件是D为EF中点。∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD∴)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交48.过椭圆【证明】设∠MFx=φ,由椭圆极坐标方程：第26页共68页51.已知椭圆51.已知椭圆52.52.设P点是椭圆53.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过日点的直线AN;a=n于M,N两点，则∠MN=0T≈a+m=Fa+m :BM·BN=(n-m)+ymn=(n-m :BM·BN=(n-m)+ymn=(n-m)长轴顶点)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，B、F是精圆两个焦点，e是离则a是锐角且sina≤e或α≤arcsine(当且仅当|PH|=b时取等号).54.L是经过椭圆52.k=c,m=a52.k=c,m=a∴sina≤e,当且仅当PH=b时取等号。55.L是椭圆a+=1(a>b>0)时取等号).时取等号。第27页共68页44vvvvvvvvvvvvv4v1vvvvvv44vvvvvvvvvvvvv4v1vvvvvv56.L56.L是椭圆(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且由659.设59.设A、B是椭圆第28页共68页,,,,第29页共68页62.m=a,圆心坐标为,圆的半径)。轨迹方程是姊妹圆,圆心坐标为,圆的半径为轨迹方程是姊妹圆64.64.到椭圆62.m=a,圆心坐标为,圆的半径为轨迹方程是姊妹圆,圆心坐标),圆的半径为轨迹方程是姊妹圆65.到椭圆65.到椭圆)的两准线和x轴的交点的距离之比为是姊妹圆为半焦距)的动点的轨迹62.m=a,圆心坐标为,圆的半径为轨迹方程是姊妹圆.圆心坐标为,圆的半径为轨迹方程是姊妹圆66.已知P是椭圆66.已知P是椭圆上一个动点，A,A是它长轴的两个端点，且AQ⊥AP,AQ⊥A'P,则Q点的轨迹方程是67.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.的直线l,过A,A'分别作垂直于长轴的直线交l于M,M',则(1)|AM||A'M'=b².(2)四边形MAA'M'面积第30页共68页即第31页共68页AFvvvvvvv7…vvv7vvvv747v44vvvvvv44411v4vvvv444vv44vvonoAFvvvvvvv7…vvv7vvvv747v44vvvvvv44411v4vvvv444vv44vvonooooooooooogocoooooooooeog(1)d₁d₂=b²,且F₁、F₂在L同侧⇔直线L和椭圆相切.(3)d₁d₂<b²,或F、F₂在L异侧⇔直线L和椭圆相交.,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(·),:),△<0⇔A²a²+B²b²-C²<0⇔(A²+B²)b²+A²c²-第32页共68页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA由得xy=acosφ,消去参数φ得M点的轨迹方程为：-。当θ=0即AB与椭圆长轴平行当76.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.77.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.同理可证P在其他位置情况。78.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.76图第33页共68页【证明】77图由79中得到的内点坐标和22中的焦半径公式：由79中得到的内点坐标和22中的焦半径公式：比例.比例.径所在直线平行.轴的长.和椭圆长轴为直径的圆的切点.【证明】由5,7即证。第34页共68页则焦点.0)(包括圆在内)上有一点)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直91.已知椭圆及92.过平面上的P点作直线及的平行线，分别交x轴于M,N,交y轴于R,Q.(1)若第35页共68页644111v444444111444444444644111v444444111444444444均推出P点的轨迹方程为93.点P93.点P为椭圆,则P的轨迹方程是由此得P点的轨迹方95.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为95.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为过焦点最长弦为长轴.96.过原点最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b.97.与椭圆)有共焦点的楠圆方程为98.与椭圆)有共焦点的楠圆方程为.99.焦点三角形：椭圆上的点P(x,y)与两焦点F,F99.焦点三角形：椭圆上的点P(x,y)与两焦点F,F₂构成的△PFF₂叫做焦点三角形.若ri=|PF₁|,r₂=|PF₂|,∠F₁PF₂=θ,△PF₁F₂的面积为S,则在椭圆第36页共68页当且仅当r=r₂时，等号成立.b,即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc;③△PF₁F₂的周长为2(a+c).【证明】看成p,由椭圆第二定义知：d₁d₂=b²第37页共68页【证明】【证明】因为b²x₁x+a²yoy=a²b²和a²=b²+c²的公共焦点分别为F,F₂,P=以=k第38页共68页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA第39页共68页odooooodoooooooooodooooooooooo8.设P为双曲线上一点，则△PF₁F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.而|FT|=a+c=|F₁A₂|,T与A₂重合，故内切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。9.双曲线9.双曲线b>0)A.(-a,0),A.(a,0),P、P₂时A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程是则第40页共68页EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(由),因)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(10),为)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(得),点P)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up12(,),上)所以RR:①②13.若P₀(x₀,y)在双曲线第41页共68页OQl).a²-a²sin²a+b²sin²β(1-sin²a)+a²-a²sin²β+b;;17.给定双曲线C:bz²-aV²=atYa>b>0,G;Bt-av=(-Fo);,=(k²+1)x₁x₂+(kq-k²p-ky→2a²k(q-kp)(kq-k²p-kyw-x₀)-a²(k²+1)[(q-kp)²+b²]+((b²-a²k²)(q-kp-yo)²=0→2a²k²(q-kp)²-2a²k²w(q-kp)-2a²kx₀(qa²(q-kp)²-a²b²k²-a²b²+b²xi-a²k²x6+b²(q-kp-)²-a²k²yó-a²k²(q-kp)²→-2a²kx₀(q-kp)-a²(q-kp)²-b²k²x6+a²y³-a²k²x6+b²y³+b²(q-k→2a²k²px₀+b²k²p²-a²k²p²-b²k²x}-a²k²x3+2a²kpq-2a²kqxo+2b²kpw第42页共68页k不存在时，PP:x=mcnk不存在时，PP:x=mcn则(b²-a²k²)x²+2a²km(go+kx₀)x-a²m²(y,,b²分-ak：²)x设²-EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up13(P),2)₂²k(过q-px-(apEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up9(,),kp)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up13(P),a)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up13(P),²b)-a²(q-kp)²-a²b²-2a²kxn(q-kpq第43页共68页SS;【证明】→(|PF|-|PF₂I)²=4c²+2|PF|21.若P为双曲线21.若P为双曲线22.双曲线22.双曲线第44页共68页23.若双曲线23.若双曲线-=1(a>0,b>0)可在双曲线上求一点P,使得PF₁是P到对应准线距离d₁与PF2的比例中项.24.P24.P为双曲线-#|AF₂|-2a≤|PA|+|PF,当且仅当A,F₂,P三点共线且P在左支时，等号成立.2a。当且仅当A,E,P三点共线且P在左支时，等号成立.。25.25.双曲线【证明】25.易知当k=0时，只有x轴符合要求，但此时x₀不存在。故k≠0。当k≠0时，设A,B两点关于直线y=ka+m对称联立AB与双曲线方程得：(b²k²-a0②;o故对任意m,结论可统一表示)26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.【证明】26.由5即可得证。【证明】26.由5即可得证。27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂,第45页共68页6999999999999999999999999vvvv7vvvvvvvv7vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv6999999999999999999999999vvvv7vvvvvvvv7vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv27图FP⊥FA→c²=a²sec²φ+(c²-a²)tan²q→e²=sec²o,,,,第46页共68页,设,解得,,31.设S31.设S为双曲线第47页共68页今少1……今少1……当33.双曲线(a-a)u=1a>0,b>0)→(B²b²-Aa²)n²-2[B²b²x₀+a²A(Byo+C)]x+[B²b²x⁸-a²△≥0→Aa²-B²b²≤A²xi+B²yi+C²+2AB第48页共68页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA36.已知双曲线37.37.MN是经过双曲线,b>0)过焦点的任一弦(交于两支),若AB是经过双曲线中心○,AN:由参数的几何意义可知；39.设双曲线39.设双曲线A.P、A,Q(A,A,第49页共68页,直线A₁P;的方程为,直线A₂,直线A₁P;;,。→(c-a)sinφ=csin(θ+φ)cosθ-csinθcos(θ+φ)-asin(θ+φ)第50页共68页AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA【证明】41图42.42.设双曲线方程(b²cos²a-a²sin²a)t²+2(b²x₀cosa-a²wsina)t+(b分线为l,作F₁、F₂分别垂直l于R、S,当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是x²+y²=第51页共68页HHdoocoocoooooocgocoooecoccacg设,,则l:atangx+bsecoy-c²secotanφ=0,l则则;对压点：45.设45.设△ABC三顶点分别在双曲线F上，且AB为T的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F,又D为l上一点，则CD与双曲线F相切的充要条件是D为EF的中点.将双曲线变为等轴双曲线x²-y²=a²,原来的共轭直径变为两条关于y轴对称的直线。只需证明此情况即可证明原命题。;;;同理。C点处的切线分别联立EF与AC,EF与AB,EF与C点处的切线得：第52页共68页直平分线交x轴于P,则47.设A(x₁,y)是双曲线的直线L,又设d48.已知双曲线48.已知双曲线C、D四点，则|AB|=|CD|.49.已知双曲线-F∴∴AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN:x=n于M,N两点，则第53页共68页 ………HH ………HH;52.k=a,m=c∴sina≤,当且仅第54页共68页LAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA;则,当且仅当时取等号。LAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA;则EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up15(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up15(已),B)),直线L通过其右焦点F₂,且与双曲线右支交于A、B两点，将(当且仅当AB⊥x轴时取等号)..(2)tanatanβ=1-0点，且xA、xg的横坐标xA·xg=a²,(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则∠PBA=足xA·Xg=a². 【证明】58.(1)易知PQ的斜率为0和斜率不存在时，对任意x轴上的点A都成立。设PQ:x=ty+m;,,第55页共68页HH(2)作P关于x轴的对称点P',由(1)即证。P的轨迹是双曲线60.过双曲线60.过双曲线,,∴∴g和之间时的最小值为61.61.到双曲线第56页共68页。:第57页共68页66.设双曲线66.设双曲线)实轴的端点为A,A,P(a,w)是双曲线上的点过P作斜率为的直线l,过A,A'分别作垂直于实轴的直线交l于M,M',则(2)四边形AMA'M'面积趋近于2ab.(2)由基本不等式|AM|+|A'M|>2b(渐近线时取等号),则梯形(2)由基本不等式|AM|+|A'M|>2b67.67.已知双曲线线相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC⊥x轴，则直线AC经过线段EF的中点.(1)直线AB必经过一个定点).(2)以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是【证明】68.(1)由17可知当双曲线方程为时，AB过定点当双曲线方程变时，双曲线向右平移了a个单位，定点也应向右平移了a个单位，故此时AB过定点即(2)由69(2)P为原点，即m=n=0时Q的轨迹方程是迹方程是【证明】69.(1)由17可知当双曲线方程为时，AB过定点当双曲线方程变为时，双曲线向右平移了a个单位，定点也应向右平移了a个单位，故此时AB过定点第58页共68页,交.第59页共68页4145v44vvvvvv77vvvvvvvvv11744vvv7vvvv7vv4145v44vvvvvv77vvvvvvvvv11744vvv7vvvv7vv74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-