二次根式知识点及训练 公开课教学设计

二次根式单元复习与巩固知识框图目标认知学习目标

1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；

2.了解最简二次根式的概念；

3.理解并掌握下列结论：

(1)；(2)；(3)；

4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；

5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.

学习重点

1．二次根式(a≥0)的内涵．(a≥0)是一个非负数；；及其运用；

2．二次根式乘除法的规定及其运用；

3．最简二次根式的概念；

4．二次根式的加减运算．

学习难点

1．对(a≥0)是一个非负数的理解；对等式及理解及应用；

2．二次根式的乘法、除法的条件限制；

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：

1.；

2.；

3.；

4.积的算术平方根的性质：；

5.商的算术平方根的性质：.

6.若，则.

知识点二、二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2)注意知道每一步运算的算理；

(3)乘法公式的推广：

2．二次根式的加减运算

先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；

3．二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；

(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

四、规律方法指导

怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.

1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；

3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.

(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.

例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；

(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.

如：，利用了平方差公式.

所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.经典例题精析类型一、二次根式的概念与性质

1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)；(2)；(3).

思路点拨：本题考查二次根式的意义.

举一反三

【变式1】已知，求的值.

2．根据下列条件，求字母x的取值范围：

(1)；(2).

思路点拨：二次根式重要性质的运用.

举一反三

【变式1】把根号外的因式移到根号内，得()

A．B．C．D．

思路点拨：逆用二次根式的性质.

3.在实数范围内因式分解.

(1)；(2).

思路点拨：逆用二次根式的性质.

举一反三

【变式1】化简得()

-4

思路点拨：二次根式的性质和的运用.

注意隐含条件.

类型二、二次根式的混合运算

4．计算：

(1)；(2)；

(3)；(4).

思路点拨：(1)计算时首先把各个二次根式化为最简二次根式，再用整式的运算法则运算；

(2)如果可以约分化简或者乘方化为有理数，那么可以先运算再化简；

(3)除法不能直接约分化简的，应将除法转化为乘法；

(4)适当可以借用乘法公式化简运算过程.

总结升华：二次根式的混合运算要注意运算顺序，运算法则的使用及注意结果要化成最简形式.

举一反三

【变式1】计算

思路点拨：第一项分母有理化，第二项化为最简二次根式，第三项用化简，然后合并同类二次根式.

【变式2】计算：

(1)

(2)

思路点拨：利用乘法公式，平方差公式和完全平方公式.

总结升华：灵活运用计算法则可以大大简化运算过程.

【变式3】先观察下列分母有理化：

，从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值：

.

思路点拨：由已知可以猜想一般规律：来进行化简，把第一个括号内的每一项都分母有理化，然后合并同类二次根式.

总结升华：分母有理化时要注意利用分式的基本性质，把分子和分母同时乘以分母的有理化因式.

类型三、二次根式的化简求值

5.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简

思路点拨：利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.

类型四、二次根式的比较大小

6.比较大小.

(1)与；(2)与；(3)与；

(4)与；(5)与.

思路点拨：第(1)题可借助比较被开方数或采用平方法加以比较；第(2)题可以分母有理化之后再比较；第(3)题可利用作差法来比较；第(4)题可利用求商法来比较；第(5)题可借助倒数来比较.

总结升华：要注意观察两个二次根式的特点，选择灵活简便的方法.

类型五、二次根式的综合应用

7．某人用一架不等臂天平称一块铁a的质量，把铁块放在天平左盘时，称得它的质量为300克；把铁块放在天平右盘时，称得它的质量为9