因数和倍数的认识讲解及习题

五年级下册数学第二单元知识点探究新知〔一〕认识因数与倍数〔出示主题图〕观察上面的图，你看到了什么？用算式怎样表示？像这样的乘法算式中，三个数2、6、12之间还有一种关系，可以说2和6是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。注意因为是一种关系，所以在描述因数或倍数时，必须说清楚谁是谁的因数或谁是谁的倍数。不能单独说谁是因数或倍数，也就是说：因数和倍数不能单独存在，它们是相互依存的。比方能说12是倍数吗？〔图2〕从图上你可以列出怎样的算式？〔图3〕从图上你可以列出怎样的算式？(12×1＝12，1和12都是12的因数。12是1和2的倍数。)12的因数有哪几个？12=1×1212=2×612=3×4师：说说看你是怎么找的？〔预设：方法一用乘法一对一对找，如1×12＝12，2×6＝12…；方法二用整除的方法，12÷1＝12，12÷2＝6，12÷3＝4，12÷4＝…；〕教师引导学生按照一定的规律来找。其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：1，2，3，41，2，3，4，6，12所以以12的因数最小是1，最大是12总结：因数、倍数的意义1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。新|课|标|第|一|网2、字母表示：如果a÷b＝c〔a，b，c是非0自然数〕，那么b，c是a的因数，a就是b，c的倍数。1、找一个数的因数的方法①列除法算式找。用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且无余数，这些除数和商就是这个数的因数。②列乘法算式找。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。2、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。3、一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。wWw.xKb1.coM找一个数的倍数1、找一个数的倍数的方法①列除法算式找，看到哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这个数都是这个数的倍数。②列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。2、一个数的倍数的表示方法：①列举法；②集合法。3、一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。4、〔请注意〕不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数都是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。5、〔请注意〕在一定的范围内找一个数的倍数时，这个数的倍数的个数就是有限的，在表示时不用加省略号。【知识点1】倍数与因数的关系倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。例如：6是倍数、3和2是因数。〔×〕改正：6是3和2的倍数，3和2是6的因数。练习：〔1〕8×5=40，〔〕和〔〕是〔〕的因数，〔〕是〔〕和〔〕的倍数。〔2〕因为36÷9=4，所以〔〕是〔〕和〔〕的倍数，〔〕和〔〕是〔〕的因数。〔3〕在18÷6=3中，18是6的〔〕，3和6是〔〕的〔〕。〔4〕在14÷7=2中，〔〕能被〔〕整除，〔〕能整除〔〕，〔〕是〔〕的倍数，〔〕是〔〕的因数。〔5〕假设A÷B=C〔A、B、C都是非零自然数〕，那么A是B的〔〕数，B是A的〔〕数。〔6〕如果A、B是两个整数〔B≠0〕，且A÷B＝2，那么A是B的，B是A的。〔7〕判断并改正：因为7×6=42，所以42是倍数，7是因数。〔〕因为15÷5=3，所以15和5是3的因数，5和3是15的倍数。〔〕5是因数，15是倍数。〔〕 甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。〔〕〔8〕甲数×3=乙数，乙数是甲数的〔〕。A、倍数B、因数C、自然数【知识点2】倍数因数只考虑整数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。例如：0.6×5=3，虽然可以表示0.6的5倍是3但是，0.6是小数是不讨论倍数因数问题。因此类似的：因为0.6×5=3，所以3是0.6和5的倍数。是错误的说法。练习：〔1〕有5÷2=2.5可知〔〕A、5能被2除尽B、2能被5整除C、5能被2整除D、2是5的因数，5是2的倍数〔2〕36÷5=7……1可知〔〕A、5和7是36的因数B、5能整除36C、36能被5除尽D、36是5的倍数〔3〕属于因数和倍数关系的等式是〔〕A、2×0.25＝0.5B、2×25＝50C、2×0＝0【知识点3】0的意义你能举一个算式，并说说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？讨论：出示：0×30×100÷30÷10通过刚刚的计算，你有什么发现？0乘任何数都得0,0除以任何非0的数也都得0，那说明任何数是0的因数，0是任何非0的数的倍数。所以为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是整数，一般不包括0。【知识点4】没有前提条件确定倍数与因数例如：36的因数有〔〕。确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36重复的和相同的只算一个因数。一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。例如：7的倍数〔〕。确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35……还有很多。因此7的倍数有：7、14、21、28、35、42……一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。练习：〔1〕20的因数有：〔2〕45的因数有：〔3〕24的倍数有：〔4〕17的倍数有：〔5〕下面的数，因数个数最多的是〔〕。A、18B、36C、40〔6〕判断并改正：14比12大，所以14的因数比12的因数多〔〕1是1，2，3，4，5…的因数〔〕一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。〔〕一个数的最小倍数是它本身〔〕12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。〔〕但凡8的倍数也一定是2的倍数。〔〕〔7〕幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？〔8〕小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本同样的日记本，售货员阿姨说应付35元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗？【知识点5】有前提条件的情况下确定倍数与因数例如：25以内5的倍数有〔5、10、15、20、25〕。特别注意前提条件是25以内！例如：5、1、20、35、40、10、140、2以上各数中，是20的因数的数有〔〕；是20的倍数的数有〔〕；既是20的倍数又是20的因数的数有〔〕。首先我们应该明确20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！练习：〔1〕100以内19的倍数有：〔2〕在4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36中4的倍数：36的因数：一个数既是6的倍数，又是60的因数，这个数可能是用1、5、6、8、9组成的数中，是3的倍数的数有是2的倍数的数有。【知识点6】关于倍数因数的一些概念性问题一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。1是任一自然数〔0除外〕的因数。也是任一自然数〔0除外〕的最小因数。一个数的因数最少有1个，这个数是1。除1以外的任何整数至少有两个因数〔0除外〕。一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数练习：一个数的倍数个数是〔〕，最小的倍数是〔〕，〔〕最大的倍数。一个数的因数的个数是〔〕，最小的因数是〔〕，最大的因数是〔〕。在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指的是〔〕。判断并改正：一个数的因数都比他的倍数小。〔〕1是所有的自然数的因数。〔〕一个数的因数一定小于他本身。〔〕一个数的倍数一定比他的因数大。〔〕任何一个数的倍数个数一定比因数个数多。〔〕能力提升题一、判断题1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。()2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。()3、个位上是0的数都是2和5的倍数。()4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。()5、5是因数，10是倍数。()6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。()7、因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。()9、任何一个自然数最少有两个因数。()10、一个数如果是24的倍数，那么这个数一定是4和8的倍数。()11、15的倍数有15、30、45。()12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。()13、15的因数有3和5。()14、8的因数只有2，4。()三、选择题1、15的最大因数是〔〕，最小倍数是〔〕。①1②3③5④152、在14＝2×7中，2和7都是14的〔〕。①素数②因数③质因数3、一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是〔〕。①6②12③24④1444、一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有〔〕。①120个②90个