线性代数,群论

群论与现代化学王庶1397145180213971451802@化学与化工学院化学楼619#群论已成为现代化学不可缺少的重要工具，群论语言已深深渗透到化学之中，以至于不懂群论就难于读懂现代化学文献。群论的数学原理虽然非常复杂，但在本课程中关注的焦点是群论在化学中最基本的应用，而这并不需要复杂的数学。正确判断分子的点群是用群论解决化学问题的中首要步骤，群论在化学中的应用离不开特征标表。目录1线性代数2分子点群（对称操作群）3有限群的表示理论4群论与量子化学5群论在化学中的应用线性代数这个简要的复习材料所涉及到的数学知识并不复杂，但对学习本课程是重要的。目录1.1向量1.2矩阵13线性变换：对称操作的表示矩阵1.1向量一个n维向量是由n个数排成的一个有序数组:这n个数alfa2,...,an叫做向量的分量；它们是按规定顺序排列的实数或复数。三维空间中的向量是我们熟悉的一个例子，它的x,y,z分量分别用三个数表示。向量的正交归一如果二个向量的内积（标量积）为零，则此二向量正交。如果一个向量的范数为一，则称该向量是归一化的。如果一个向量组中的每一个向量都是归一化的，且任一向量与其它向量都正交，则称该向量组是正交归一向量组。注：我们用上标表示向量组中的不同向量，用下标表示一个向量的不同分量。线性无关的向量组如果只有全部的G=0时，方程qa1

+c2a2

+••・+=^c｛al=0i才有解，则向量组a1,a2,...,是线性无关的。如果在某些q#0时可解，则向量组｛V｝是线性相关的。正交的向量组是线性无关的向量组。线性无关的说明在一个平面上，任意二个不共线的矢量是线性无关的。任意三个矢量必定是线性相关的，第三个矢量总可以用前二个矢量的线性组合表达：p3

=+a^p2，

即:+(1逆2

-p3

=0在二维矢量空间里，一个线性无关的矢量组所能包含的最多矢量数目不能超过二。同理，在一个三维空间里，线性无关的矢量的最大数目不会超过三。线性空间考虑从一个平面（二维空间）的一个点（原点）引出有向线段的全体，这样的有向线段称为面向量。显然：（1）平面上的任意两个a和p相加的结果仍是这个平面上的向量：y=a+P（2）平面上任意一个向量乘上一个标量c,得到的仍是这个平面上的一个向量：ca。如是，该平面构成一个（二维）线性空间。线性空间其次，考虑二阶齐次线性微分方程（如Schrodinger方程）的完备解。显然，方程的任意两个解之和也是方程的一个解，若把任意解乘上一个标量c得到的新函数，仍是方程的解。这些性质与平面向量的性质是等同的，因此我们说，方程的完备解构成一个线性空间。向量空间在线性空间里定义了向量的内积（标量积），此线性空间就成为一个向量空间。jf.卒<a\/3>=a1/31

+a2/32H-----Fan/3n欧氏向量空间向量空间是向量的集合。欧氏向量空间是这样的一个向量空间:其向量的分量是实数的，且任意二向量的内积：<a\/3>=+a2/?2H-----Fanpn是实数的，是对称的<a\/3〉=<p\a>，双线性的<(a+f3)

1/>=<a

1/>+<夕1/>，和正值的<aI<z>>0。厄米向量空间厄米向量空间是这样的一个向量空间，其向量的分量可为复数的，且任意二向量可有复数内积：sf*st绝<a\P>=a1/31

+a2/32H-----ba’J3n这个复内积是厄米的<a\/3戸<f3\a>*,双线性的<(a+/3)l/>-<a\y>^<p\y>,和IE值白勺<aIa>>0。向量空间的维数向量空间的维是张成该向量空间所需的向量的最小数目。即，作为向量空间的基的向量组必须是线性无关的。如，任意二个向量都不足以张成3D空间，但四个向量又是多余的。Problem：虽然向量组(1,0,0),(0,1,0)，(1,1,0)的数目是三，但却不能张成3D空间，为什么？向量空间的基(basis)如果向量空间中的任一向量都能用某线性无关的向量组的线性组合表示，则称该向量空间由向量组｛^｝张成。这个线性无关的向量组｛V｝就称作是该向量空间的基。Forexample,向量(1,0,0＞，(0,1,0)，(0,0,1)张成一个3D空间。这些向量正是三个坐标方向上的单位向量，任一向量均可用这三个单位向量的线性组合表示。1.2矩阵一组元素的一个矩形排列称为矩阵。如:an^12a13…A=a21•_學^22*ft•“23■•學…a2m•—a»2•“attm

一一个h行w列的矩阵，称为维数为nxm的矩阵。其中：i为行标，/为列标，a,7表示位于第/行第/列的元素，称为矩阵元。行数和列数相等（H=ZH）的矩阵称为方阵，如:方阵对角线上的矩阵元a,7称为对角元。行数和列数相等(n=m)的矩阵称为方阵，如:^11^12^13a31

u32a33方阵对角线上的矩阵元心称为对角元。一个方阵的对角元之和，称为该矩阵的迹＜trace)□如上例:tr(A)=+^22+^33只有一行的矩阵称为行矩阵，如：B^13]=[办y]只有一列的矩阵称为列矩阵，如：=[cj群论、对称性及其应用主要涉及方阵、行矩阵和列矩阵。矩阵与行列式只有方阵才有对应的行列式。方阵A的行列式是以A的元素构成的行列式：detA=IAI=la"l矩阵与行列式只有方阵才有对应的行列式。方阵A的行列式是以A的元素构成的行列式：矩阵是一组有序的数组或符号，行列式代表一个数值。如:A=ababcddetA=IAI=Ia"1detA==ad-bc矩阵的运算矩阵虽然不能求值，但却可以依照某些规则进行加法、减法、乘法以及数与矩阵相乘等运算。1-矩阵的相等当矩阵A、B的对应元素都相等时，即：aij

=b/y

,则称矩阵A、B相等，记为A=B。显然，相等的两个矩阵一定是同阶的：有着相同的行数和列数。2.矩阵的加法(与减法)若矩阵A=(a{j

)，B=(〜)具有相同的阶，则定义矩阵A、B的和为:A+B=(a“+b“)o也就是说，两个mxn阶的矩阵相加时，只要将它们的相应元素相加，得到的新矩阵即为其和。矩阵减法的定义与加法的定义完全相同。例:A=214一302A+B=2+31-5-3+20+1B=4+12+33-512135-45-115例:A=214一302A+B=2+31-5-3+20+1A—B=2-31+5一3—20-13-512134+15-452+3-1154-1"-1632-3-5-1一13.数与矩阵的乘法若矩阵A=(a{j

)，而又是乘积为：/LA=AA~(Aa{j

)。个任意数，则定义矩阵A与又的3.数与矩阵的乘法若矩阵A=()，而A是一个任意数，则定义矩阵A与又的乘积为：/IA=A/L=(入aij

)。例：厂21413.数与矩阵的乘法若矩阵A=(aif

)，而A是一个任意数，则定义矩阵A与又的乘积为：/LA=A2=(2)。例:1402又=4'214_'8416_AA=4x-302—一12084.矩阵的乘法若A=(aik

)是11^11阶矩阵，B=(bkj

)是nxp阶矩阵，则定义矩阵A、B的积(记做AB或AB)是矩阵C=(Cij

)。C是一个mxp阶矩阵。n其中：4.矩阵的乘法若A=(aik

)是mxn阶矩阵，B=(bkj

)是nxp阶矩阵，则定义矩阵A、B的积(记做AB或AB)是矩阵C=(c/y

)。C是一个mxp阶矩阵。n其中：it-i注意：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相同，矩阵的积AB才有定义！例1:352-142352-1422x3+lx2+4x42x5-lxl+4x2--3x3+0x24-2x4-3x5-0xl+2x2

2417—=-1-11412-302214B=A

二-302例2:试求矩阵义=a!^2^3b3xyzaAbAcxAX=a2b2c2_^3

办3^3_与X二Xyz的乘积。axx+bAy+cxza2x+b2y-]-c2za3x+b3y+c3za!石1X例2:试求矩阵义=^2^2C2与X=y的乘积。^3^3C3

-zaAbAcxXa^x+b^y+c^zAX=a2b2c2y=a2x+b2y+c2z^3^3^3za3x+b3y+c3z一般说来，矩阵乘法不满足交换律，即AB^BA。但满足结合律，EPABC=(AB)C=A(BC)o矩阵的初等行运算对矩阵可实施的初等行运算为：1）用常数乘行；2）两行相加;3）交换两行。可用初等行运算彼此变换的矩阵，称为行等价矩阵。矩阵的初等行运算_____对矩阵可实施的初等行运算为：1）用常数乘行；2）两行相加；3）交换两行。可用初等行运算彼此变换的矩阵，称为行等价矩阵。如果一矩阵其对角线左下方的矩阵元皆为零，则该矩阵称为三角矩阵，如：

a12“130^22^2300^33如果以向量的分量为行形成的矩阵，经过初等行运算，可化为非全为零的行的三角矩阵，则此向量组是线性无关的。如果以向量的分量为行形成的矩阵，经过初等行运算，可化为非全为零的行的三角矩阵，则此向量组是线性无关的。Exercise：向量组(1,-1,3),(2,-4,1),(0,3,2)是线性无关的吗？1-13_1-13_1-13_21=>0一2-50-2一503203200-1反如果以向量的分量为行形成的矩阵，经过初等行运算，可化为非全为零的行的三角矩阵，则此向量组是线性无关的。Exercise：向量组<1,-1,3），<2,-4,1>，（0,3,2>是线性无关的吗?1-13—1-13_1-1321=>0-2-50-2-503203200-%向量组(1,0,0)，(0,1,0)，(1,1,0)呢？特殊矩阵零矩阵：所有矩阵元均为零的矩阵。特殊矩阵零矩阵：所有矩阵元均为零的矩阵。单位矩阵J或恒等矩阵E:对角元为1，其余均为零的方阵:10…001…0EorI=....-•00常数矩阵C:对角元为一常数,c

0…0c…c=•■«••••■參00…其余均为零的方阵。00对角矩阵：除对角元外均为零的方阵。A=an

00a22••••••00…0…0方块矩阵:aua120B

二•・•0…0b…0••_•_••••••^11c12C130…^21C22C23^31C32^33逆矩阵如果一个方阵A的行列式不等于零，该方阵A可以有逆矩阵，记为A-1,且满足：AA-^A^A^KE

＞。在矩阵的运算中没有除法，但用逆矩阵去乘相当于除法。不过，左乘、右乘有区别。若：AD=C,贝IJ:A=CD1,D=AAC因为：（ABMABfsE，由此可知：对称矩阵转置矩阵：A的转置矩阵是把矩阵A的H变成列’然。123~147_A=456At=258789369反之亦对称矩阵转置矩阵：A的转置矩阵AT是把矩阵？1的行变成列，反之亦然。123_~147~A二456At

=258789369对称矩阵：如果A=AT,即对所有的f和/，都有afj

=。对称矩阵一定是方阵。厄米矩阵转置共轭矩阵：A的转置共轭矩阵AH是取其转置矩阵AT的复共轭而得，即AH=(AT)*。14•t~i*e13_A=2«-tAH=(ATy=423e2i1—t«t1厄米矩阵转置共轭矩阵：A的转置共轭矩阵AH是取其转置矩阵AT的复共轭而得，即AH=(AT)*。14•t~i*e13_A=e!2«-tAH=(ATy=423e2i1—t«t1厄米矩阵：如果A=AH,即对所有的f和/,都有a/y=(ayi)*o厄米矩阵也一定是方阵。酉矩阵若矩阵A的转置共轭矩阵AH等于其逆矩阵，则矩阵A为酉矩阵：AH

=A1orAAH=AHA=E酉矩阵的列（或行）与向量空间里的一组正交归一的向量相关联。若矩阵义=[^]是酉矩阵，M^akiakjk=lJ则：=这等同于:若矩阵A=[ai}]是酉矩阵，则：AHA=E,这等同于:^ahakj=sijt,7=1,2,…nk=l上述表达式要求全体向量：7=1,2,-k是正交归一的。SP，A的各列构成正交归一向量r;。其中，ek(k1,2,...n

)是单位正交基向量。正交矩阵若矩阵X的转置矩阵AT等于其逆矩阵，则矩阵A为正交矩阵:=Ar1orAAT=ATA=E正交矩阵若矩阵A的转置矩阵等于其逆矩阵，则矩阵A为正交矩阵:AT

=A1orAAT=ATA=E正交矩阵的列（或行）同样与向量空间里的一组正交归一的向量相关联。cosd-sinOD(RZ)=sinOcosO00001相似变换若存在矩阵Q使Q^AQ=B,则称A与B为相似矩阵。若＜2为酉矩阵，则称之为酉变换。若＜2为正交矩阵，则称之为正交变换。重要结论：相似变换不改变矩阵的迹。证明略。酉矩阵经酉变换仍是酉矩阵！证明：^Q4AQ=B,且A与Q均为酉矩阵，贝ij:B1

=(AQY^Q=Q-^Q

=QHAH(QH)H=(AQ)H(Q1)H=(Q^AQ)h=BH同样，若Q和A都是正交矩阵(实的！)，则B也为正交矩阵。小节正交矩阵的逆是该正交矩阵的转置；酉矩阵的逆是该矩阵的复共轭的转置。正交矩阵或酉矩阵的行（或：歹U）是正交归一向量组。正交变换保存欧氏向量空间中向量的长度（归一性）和正交性;酉变换保存厄米向量空间中向量的正交性和归一性。1.3线性变换：对称操作的表示矩阵对称操作相当于坐标变换。如:逆时针旋转点P和顺时针旋转坐标系结果相同。坐标变换是一种线性变换，其一般表示形式为：Pf=APP'，P为新旧位置的列向量；A定义为该变换的表示矩阵。笛卡尔坐标系中的点P(x,y,z}与位置向量p(x,y,z)例：一个沿z轴的C„，逆时针转动0，使点P(%,yfz

)到点P'U',y',z')，该变换结果可表示为：x1Xcos^-sin^V-D(Cn)y——sin6^cos^Z'z00oT%01yz根据上式定义对应于对称操作Cn的矩阵。我们更习惯采用(x,y,z)标记三维物理空间中的一个空间点，或一个位置向量的分量。但若采用(xvx2/x3)标记，则上述变换结果可表示为：COS0sin6-sin6cosOo~|「xi0x2我们更习惯采用(X,y,2)标记三维物理空间中的一个空间点，或一个位置向量的分量。但若采用(xlzx2/x3)标记，则上述变换结果可表ZF为：cosOsinO0-sinOcosO0上式也能缩写成这样的形式:37=1t=l,2,3恒等操作E:D(E)=反演操作i:D(i)=100001001-10000-100-1反映操作cyxy:D(axy反映操作ayz

:)=0000100-1-100010001绕x轴的旋转Kx:D(RX)=绕y轴的旋转D(Ry)=100cosO0sinOcosO001sinO00-sinO