公司债券跟踪信用评级报告 天津市 .10

目

录第二章动 量

守

恒质

点

动

力

学目

录第一节

惯

性

定

律目

录§2.1

惯性定律惯性定律Law

of

Inertia一个自由质点永远以恒定的速度运动，或者说，没有加速度。这就是说，一个自由质点可以沿直线作匀速运动，不然就是静止(速度为零)。这一定律也称牛顿第一定律。惯性系

Inertial

Frame自由质点或系统，也就是说，它不受世界上其他物体的作用。该参考系称为惯性参考系。目

录惯性定律原为伽利略所发现，这个定律不能被直接用实验去证明。原因：除非我们先有这个定律，否则我们实在无法回答什么是自由质点或系统，也就是说我们无法知道该质点或系统是否受其他物体的作用，这样也就无法选择作为描写相对运动的惯性参考系。所以我们与其说惯性定律还不如说惯性原理。它实际上是一个假说，事实上这个假说反映了我们所处空间的“平直”性质。如果空间是“弯曲”的话，则自由质点将沿“弯曲”空间运动，不再是沿直线运动。目Th录e

law

of

inertia

can’t

be

proved

by

experiReason：a

free

particle

or

system;no

interaction;an

inertial

frame

of

reference;Logical

cycle

appearsGalilean

ideal

experiment;vov1

>

vo目Th录e

law

of

inertia

can’t

be

proved

by

experiReason：a

free

particle

or

system;no

interaction;an

inertial

frame

of

reference;Logical

cycle

appearsGalilean

ideal

experiment;vov2

<

v1目Th录e

law

of

inertia

can’t

be

proved

byexperiment.Reason：a

free

particle

or

system;no

interaction;an

inertial

frame

of

reference;Logical

cycle

appearsGalilean

ideal

experiment;vov3

<

v2目Th录e

law

of

inertia

can’t

be

proved

byexperiment.Reason：a

free

particle

or

system;no

interaction;an

inertial

frame

of

reference;Logical

cycle

appearsGalilean

ideal

experiment;vov4

<

v3目Th录e

law

of

inertia

can’t

be

proved

by

experiReason：a

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particle

or

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inertial

frame

of

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cycle

appearsGalilean

ideal

experiment;vov5

<

v4目Th录e

law

of

inertia

can’t

be

proved

byexperiments.Reason：a

free

particle

or

system;no

interaction;an

inertial

frame

of

reference;Logical

cycle

appearsGalilean

ideal

experiment;vo

v6

=

voTherefore,

the

law

of

inertia

is

regard

as

tprinciple

of

inertia

(

a

sort

of

hypothesis

)目

录第二节动量守恒定律目

录§2.2

动量守恒定律2.2.1线动量Linear

Momentum质点的线动量定义为它的质量m和它的速度v

的乘积，以P

表示。P

=

mv线动量是一个矢量，它的方向与速度相同，它又简称动量，在SI中，动量的单位是公斤米/秒(kg·m/s)。我们现在可以将惯性定律重述如下：对一个惯性观察者而言，自由质点永远以一定的动量运动。目

录2.2.2

动量守恒定律1、隔离系统

Isolated

System系统内质点之间有相互作用，而与外界没有任何作用。2、动量守恒

Conservation

定律一个隔离的质点系统的总动量是恒定的

Ｐ=Ｐ1+Ｐ2

+Ｐ3

+=

Ｐi=

恒矢量惯性定律可以看作是动量守恒定律的一个特例（系统只有一个隔离质点）。目2.录2.3惯性质量Inertial

Mass

的定义在△t时间内质点动量的改变为△P

=△(mv)=m△v（假设m与速度无关）m2

/m1

=△v1

/△v2上式表明质点的速度改变与质量的大小成反比。因为质量越大的物体我们越不容易改变其运动状态，故我们可用质量来度量物体的惯性，所以我们把这种定义的质量称为惯性质量。质量单位为公斤（kg）目2.录2.4

牛顿第二定律和第三定律1、牛顿第二定律

Newton’s

Second

Law

两个质点系统：在时间间隔△t

=

t’-t，质点1和质点2的动量变化之间的关系△P1/△t

=

-△P2/△t上式表示在时间间隔△t内，两质点动量(矢量)的平均变化率大小相等而方向相反。如果令△t→0

时，dP1/dt

=

-

dP2/dt力的定义

：

F

=

dP

/

dt即为牛顿第二定律。目2、录牛顿第三定律

Newton’s

Third

Law因为利用力的定义dP1/dt

=

-

dP2/dtF1

=

-

F2式中F1

=dP1/dt是质点2对质点1的作用力

F2

=dP2/dt是质点1对质点2的作用力结论：当两个质点相互作用时，作用在一个质点上的力与作用在另一个质点上的力大小相等而方向相反。这就是牛顿第三定律。n个质点对质点m的作用

dP1/dt=F1+F2

+……+Fn在SI中，力的单位为牛顿(N)。评论：大小相同、方向相反；同时出现、同时消失。１、同时出现：隐含相互作用以无限大速度传播。

２、大小相同：如果相互作用是非接触的，例如：引力、电力、磁力等通过“场”作用，则大小可以不相同。因此，近代物理学往往不采用牛顿第三运动定律，而直接应用动量守恒定律。３、作用力于反作用力属于同一性质的力。3、常见力和基本力常见力：重力：物体受地球的吸引作用。弹力：发生形变的物体企图恢复原状， 对与它接触的物体产生作用。例如：正压力、张力、弹力等摩擦力：静摩擦滑动摩擦一般来说fs

max

=

μs

N

fk

=μk

Nμk

＜

μs

＜１目

录考虑在

处对圆心张角d的一段线元切向：[T(法向：[T(+d

)

-

T(+d

)

+T()

]

cos

d

/2

=

-)

]

sin

d

/2

=

-

d/2

d

/2，

cos

d因

d

很小，

sin

dT(

+d)

-

T(

)

dT，T(+d

)

+T(故上二式可写为：dT=-消去dN可得：ABdB

-

A

)dT

/

T

=

-

dTATB

dT

/

T

=

-ln

(

TB

/

TA

)

=

-

(TB

=

TA

e

-式中

=

B

-A。T(

)T(

+d

)dNdNdxdN，T

d

=dN。y基本力：万有引力

Gravitational

force电磁力

Electromagnetic

force强力

Strong

interaction弱力

Weak

interaction类型

源万有引力

质量相对强度10-38弱力

所有粒子电磁力

电荷强力

强子10-1510-21作用距离长（无限）短（10-17

m）长（无限）短（10-15

m）目P′录=

(m+dm)(v+dv)

+

(-dm)v′=

mv

+

mdv

+

vdm

+

dmdv

-

vdm[

dmdv

=

0

]=

mv

+

mdv

-

(v′-

v

)dm=

mv

+

mdv

-

vedm在dt时间内系统动量的变化为

dP

=P′-P

=mdv

-vedm而整个系统单位时间的动量变化为

dP/dt=mdv/dt-vedm/dt=FF

是作用在火箭上的外力

vedm/dt常称为火箭的推力Thrust

of

the

rocket目

录假设ve为定值，略去空气的阻力和重力随高度的变化，则唯一的外力是火箭的重量

mg，火箭方程：

mdv/dt

-

vedm/dt

=

mg特例：设运动是竖直，v

，ve

，g火箭方程的标量形式：mdv/dt

+

vedm/dt

=

-

mg初始条件：t=0，v0

，m0；t时刻，v，mdv+ve

dm/m=-gdtt0t

dt得即v0vdv

+

ve

m0mdm/m=

-

gv

-

v0+

veln(m/mo)

=

-

gtv

=

v0+

veln(m0/m)

-

gt目

录v

=

v0+

veln(m0/m)

-

gt如果t是用完全部燃料所需的时间，于是上式中的m就是最后的质量，而v是火箭所能达到的最大速度。例如火箭的初始质量为2.72×106

kg，燃料用完后的质量为2.52×106

kg，气体的排出速度为1290

kg/s，则用完燃料所需的时间t=155

s。如果我们假定喷出气体的速度ve=55000

m/s，v0

=0，则火箭的最大速度为：v=55000ln(2.72×106/2.52×106

)-

9.8×155=

2681

m/s目2.录2.5动量定理1、质心Centerof

Mass考虑由质量为m1，m2，……等若干质点

组成的系统，它们相对于惯性参考系的位矢分别为r1，r2，……，规定质点系的质心rc=∑miri

/∑mi=∑miri

/M其中M=∑mi

是系统的总质量。

2、质心速度（系统速度）假定这些质点的质量与其速度无关，

vc

=drc/dt=∑mi

dri

/dt/M=∑mi

vi

/

M

=∑Pi/M

=

P/M目

录3、质心参考系我们可选一个参照坐标系Xc、Yc、Zc，其原点固连在一个系统的质心上，则相对于此坐标系，质心是静止的(vc=0)。这个参考系称为质心参考系或C—参考系，相对于C—参考系，质点系的总动量恒为零，即Pc=∑Pi

=

0

(

在C

—

参考系中

)C

—

参考系之所以重要是因为我们在实验室或

L

—

参考系中所作的许多实验可以在

C

—

参考系内得到更简单的分析。目4、录动量定理孤立系：S和S′内力：S系质点之间的相互作用外力：S′系作用于S系质点上的力S+S′孤立系统，动量守恒定律。

P

=PS

+PS′=∑Pi

+∑Pj

=恒矢量dPi/dt

=

Fi

+

Fi1

+

Fi2

+

…=Fi

+∑j、i≠j

Fij其中Fi

为外力，Fij为质点j对质点i的内S研究对象：S系统S’目

录d∑Pi

/dt

=∑

dPi/dt=∑Fi

+∑j

∑j、i≠j

Fij

=∑Fi=

0动量定理的微分形式

F外=-F外’dPs

/dt=F外dPS’/dt=F外’讨论：(1)动量定理是矢量等式，三个分量等式。

(2)合外力分量仅对该系统分量的动量起作用，对其他分量是无贡献。如果合外力在某方向上的分量为零，尽管系统动量不守恒，但在该分量的动量却是守恒的。目(3录)在有些场合，如发生碰撞，爆炸等，系统所受外力显然存在，但远比系统内力为小，它们可以忽略不计，对这些过程就可用动量守恒定律来处理。或者可忽略合外力在某一方向分量的作用，运用该方向动量守恒来解决。5、质心定理因为

vc=PS

/M

，所以

F外=Mdvc

/dt

=

Mac其中

ac

是

S

系的质心加速度。此结果与质点牛顿第二定律比较可知：质点系的质心运动有如系统中的所有质量集中于质心在外力作用下的运动。例

2-2

水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹，炮车质量为M，炮身仰角为θ

，炮弹质

量为m，炮弹刚出口时，相对于炮身的速度为u，（1）求炮弹刚出口时，炮车的反冲速度的大小VX

；（2）若炮筒长为L，求发炮过程中炮车移动的距离ΔX。解：设炮弹相对地面速度为v弹地炮车反冲速度为V车地相对速度公式：v弹地=u弹车+V车地xumMθ1、水平方向内力很大，可忽略地面摩擦的影响，因此水平方向动量守恒。水平速度分量：vx

=ucosθ

+Vx水平动量守恒：0

=

MVx

+

mvx

=

MVx

+

m(ucosθ+

Vx

)故得：

Vx

=

-

mucosθ／(M

+

m)负号表示向后退。xumMθ2、以u(t)表示发炮过程中任一时刻炮弹相对炮身的速度，则该瞬时炮车的速度应为：Vx(t)=-mu(t)cosθ／(M+m)积分求炮车后退距离：ΔX=

o

T

Vx(t)dt

(T发炮过程所需时间)o

T

u(t)dt=

-

mcosθ

/(M

+

m)=-mLcosθ

/(M+m)负号表示向后退。xumMθ目例录2-3

水力采煤就是利用水枪在高压下喷射出来的强力水柱冲去煤层而使煤层碎裂。设所用水枪直径为d=3×10-2m，水速为

v=60m/s，水柱与煤层表面垂直。求水柱施xy于煤层的作用力。解：建立坐标系Oxy，取水枪dt时间内喷出的水作为质点系，该质点系在冲击煤层时受到两

O个外力：煤层对它的反作用力和重力，重力略去不计。目

录在冲击煤层前，dM为质点系的总质量，v

为水柱在冲击煤层前速度，ρ表示水的密度，总质量可表示：dM=ρπd2vdt/4总动量：P1

=dMv

i

=ρv2πd2

dt

/4

i在冲击煤层后，总动量

P2=0。所以该质点系在冲出煤层前后总动量的变化为dP

=

P2

-

P1

=

-ρv2πd2

dt

/4

i煤层对该质点系的反作用力

F′：F′=

dP/dt

=

-ρv2πd2/4

i水柱作用于煤层的作用力：F

=

-

F′，故F

=

-

F′=

ρv2πd2/4

i=

1000×602×3.14×0.032/4

i=2545

i

牛顿6目、录冲量定理

(1)质点已知力只是时间函数F(t),试求质点速度

v(t)和运动方程。初始条件：t=0,v

=vo牛顿第二定律:

F(t)

=

d(mv)/dt∫otF(t)dt

=∫vov

d(mv)

=

mv

-

mvo定义：

冲量

I

=

∫otF(t)dtI

=P

-

Po

（

动量定理积分形式）v

(t)

=

vo

+

I

/

mr(t)

=

ro

+

vo(t

-

to)

+∫ot

I

dt

/

m(2)质点系

I外

=

∫otF外(t)dt

=

PS

-

PSO例目

录2-4

一质量为

2

kg的质点，在

xy

平面上运动，受到外力

F=4i

-24t2j

(SI)的作用，t时，它的初速度为

vo

=3

i+4

j

(m/s)，求t=1时质点受到的法向力Fn

的大小和方向。解：设质点质量

m

=2kg，t

=1s时，速度为

v动量定理：mv-mvo=

o1

Fdt=

o1

(4

i

-

24t2v

=

o1

(2

i

-

12t2

j)dt

+

vo=2

i

-

4

j

+3

i

+4

j=5

i

m/s即切向方向为i

，法向方向为j。所以t=1时质点受到的法向力Fn=-24t2

j|t=1=-24

j

(冲量的几何意义：冲量在数值上等于Fx

~

t图线与坐标轴所围的面积。I

=∫

F

d

tt1目

录当力连续变化时t20tt12tFx+Ix

=∫Iy

=∫F

x

d

tFy

d

tt2t1t1t2Iz=∫Fz

d

tt2t1目

录平均冲力：用平均冲力表示的动量原理为：2

x1

xmvmv2

y1

yt1

)

=

mvt1

)

=

mvF

x

(t2F

y

(t2t0

t1

t

2FxFx(t

t

)21xt1dt

=

Fx∫t2

F目

录解一：对碰撞过程应用动量原理[例2-5]质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下，它与工件的碰撞时间为τ=0.01s，求：打击的平均冲力。=

1.6

6

×10

6

+

0

.0

3

×10

6

(N

)v

0

=

2gh(N

mg0)

=

0 (

m

v

)Nmgh0mvm工件mN=

m

2ghτ+

mg目

录解二：对整个过程应用动量原理mg

τ)mg

t

+

(

NN

=

mg(

tτ+

1

)=

1.69=

0

06×10

(N

)Nmgh0mvm工件m目

录vvYα

αXΔ

tcosα

+

mgN

x

=

0N

y

=

2mvmv

sinαsinαN

xΔ

t=

mv(N

y

mg)Δ

t

=

mv

cosα(

mv

cosα

)NNN

xymg=

2.0

+

0.2 (

N

)=

2.2

(

N

)3-1[

例2-6

]

一小球与地面碰撞m

=

2

×1

0kgα0=

==

6

0

v

v

5

.0

m

s,

.碰撞时间求:平均冲力。Δt=

0.05s目[例录2-7]

质量为m均匀链条，全长为L，手持其上端，下端与地面的距离为h。手一松，链条自由下落在地面上，试求链条下落在地面的长度为l

的瞬时，地面所受链条作用力的大小。LlL

-lhoyh+l解：设链条线密度为ρ则ρ=m/L。若链条下落在地面的长度为l

，则该段链条的质量为ml

=m

l

/L。l

段对地面的作用力：

ml

g=ml

g/L目

录此时，未落地部分的速度为

v=[2g(h+l

)]1/2在dt时间内，微元段间dt内受地面冲力f而致。动量原理：f

dt

=

0

-

(

-

ρvdt

v)

=

ρv2

dt所以

f

=

ρv2

=

2mg（h

+

l）/

L地面所受总作用力的大小为：F总=ml

g/L+2mg（h+l）/L=

mg（2h

+

3

l）/

LL落地后速度为

0，这是在时

lL

-lvdt落地。落地前速度为-v，hoyh+l目

录§2.3

伽利略相对性原理和非惯性系2.3.1经典相对性原理The

Classical

Principle

of

Relativi力学定律在所有惯性系中都相同，亦即力学定律在不同的惯性系中具有相同的形式，这个结论称经典相对性原理，也称力学相对性原理。如果没有外力作用于这些质点上，则根据在经典力学中，一切惯性系都等效，我们不可能借助任何力学实验把某一惯性系与其他任一惯性系区别开来。目

录此原理可用伽利略变换来解释

1、动量守恒定律考虑两个质点系统；惯性系

O

：

(

m1

,

v1

)，(

m2

,

v2

)惯性系

O’

：(

m1

,

v1’

=

v1

-

u

),(m2

,v2’=v2

-u

)惯性系O：m1v1+m2v2

=恒矢量惯性系O’：m1v1’+m2v2’=

m1(v1-

u

)

+

m2

(v2

-

u

)=

m1v1+

m2v2

+

(

m1+

m2

)u=恒矢量目

录2、牛顿第二定律惯性系

O

：

F

=

ma

惯性系

O’：

F’=

ma’因为

a

=

a’

（伽利略速度变换）所以

F’=

ma’=

ma

=

F尽管经典相对性原理是根据伽利略变换直接推出的结果，但它却是普遍的原理。经典相对性原理并没有绝对时空这一前提，也就是说，伽利略变换只是满足经典相对性原理的一种变换。目

录2.3.2

惯性力1、直线加速参考系中的惯性力在非惯性系K’中：每个质点具有相同的加速度A惯性系K与非惯性系K’之间加速度变换：a

=a’+A在惯性系K中：或f

=

ma

=

m(a’

+

A)f

-

mA

=

ma’-mA

称为惯性力，记为f惯在非惯性系K’中：采用牛顿第二定律形式

f’=f

+f惯=ma’其中f’是质点在K’系中受到的总有效力目

录f’是“真实的”力f与“假想的”惯性力f惯的合成例：设车厢以加速度a作直线运动，其中一张地张地光面光面滑观滑观的察的察桌者桌者子应子应上用上用放牛放牛着顿着顿一定一定个静止的物体m。律解释：物体m不受作用力，加速度为零，静止。v

=

0af

=

0mm-af惯=-ma车厢内观察者应用牛顿定律解释：物体m加速度为-a

，受一惯性力f惯=-ma。目

录若用弹簧将物体牵连着：车厢内观察者：弹簧伸长，有一力f

=

ma

作用在物体m上，使

物体获得与车厢一样的加速度a，但相对于车厢，物体并没有加速度。mf惯

f车厢内观察者应用牛顿定律解释：必须设想除f

外还有一力f惯=-f

=-ma作用在物体上，从而使物体静止。目

录注意：惯性力f惯不是由物体的相互作用引起的，而是在非惯性系中能沿用牛顿定律而引入的“假想力”。“真实的”力f

有反作用力，而“假想的”惯性力f惯不存在反作用力。目

录（2）失重台秤支持力N

=-m(g

-a)压力N’=-N

<mg实例：超重和失重（1）超重台秤支持力N

=-m(g

+a)压力N’=-N

>mgaNN’aNN’aθm解得：=

m

a2

+

g

2Tθga=

arc

cos2

+

g

2例2-8

加速运动中的一单摆处于平衡状态已知：a

,m

求：T、θ。mgTF

惯T

co

sθ

mg

=

0F

T

s

in =

0惯

θF

=

ma惯2目、录惯性离心力地面观察者：物体作匀速圆周运动物体m受弹簧拉力：f

=

mv2/R

=

mR2Rf惯fRf又称向心力(提供向心加速度)。以物体为观察者：物体静止应用牛顿定律解释：物体m受弹簧拉力f

外还受与向心加速度方向相反的惯性力f惯与其平衡，f惯

=

-

mR

2

，此惯性力又称惯性离心力。目

录3、科里奥利力若质点相对于转动的参考系运动，则质点还可能受到科里奥利力。设一圆盘绕铅直以角速度

转动，盘心有一光滑小孔，沿半径方向有光滑槽，其中置一小球

m

，以细线连之，绕另一端穿过小孔，可控制小球在槽中作匀速运动。m目

录现令小球以匀速v相沿槽中向外运动，经很短时间

t，圆盘转过角=

t，而小球自A运动至

B，A’B

=

v

t地面观察者解释：在A点小球具有径向速度

v相和切向速度

r。AA’BB’O此二速度合成应使小球在t时间内达到B但实际上到达B，这表明槽对小球作用有切向方向的力，它使小球获得加速度，并使小球多走弧长B’B。目

录AA’BB’O显然：弧长B’B=(OA+A’B)-

OA·=

(r

+

v相

t)

t

-

r=

v相

t2因

t

很短，可设小球以恒加速度

aC

多走出弧长

B’B

，故：于是有：

aC

=

2一般形式：aC

=2弧长

B’B

=

aC

t2/2v相v相aC

称为科里奥利加速度。槽壁作用于小球的推力：f

=2

m

v相目

录f

=

2

mv相ω右手法则ωv相fmv相f目

录旋转系中观察者：小球作惯性运动按牛顿定律解释：小球受到槽的侧向推力f

，但并未发生与槽垂直运动，故必存在惯性力fC

，又称为科里奥利力：fC

=-f

=-2

m

v相=

2

m

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