（全国卷II）高考数学调研卷（第二模拟）文（含解析）-人教版高三全册数学试题

2016年全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学（第二模拟）一、选择题：共12题1．若(m+i)2为实数,其中i为虚数单位,则实数m的值为A.1 B.0 C.-1 D.±1【答案】B【解析】本题主要考查复数的有关概念和乘法运算,考查考生对基础知识的掌握情况.解题时,先利用完全平方公式进行乘法运算,再根据实数的概念求解.∵(m+i)2=m2-1+2mi为实数,∴2m=0,m=0,故选B.

2．已知全集U={x∈Z|0<x<10},集合A={1,2,3,4},B={x|x=2a,a∈A},则(∁UA)∩B=A.{6,8} B.{2,4} C.{2,6,8} D.{4,8}【答案】A【解析】本题考查集合的定义以及集合的交、补运算等.首先根据集合的定义求出集合B,然后进行集合的运算;也可利用排除法进行求解.通解由已知得全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以∁UA={5,6,7,8,9},而B={2,4,6,8},故(∁UA)∩B={6,8},所以选A.优解因为2,4∈A,所以2,4∉∁UA,故2,4∉(∁UA)∩B,所以排除B、C、D,所以选A.

3．计划生育“二孩”政策开放,为此某街道计划生育办公室对本辖区满足条件的10对夫妻中女方的年龄进行了统计,其茎叶图如图所示,图中有一个数据较模糊,不妨记为x.已知10对夫妻中女方的年龄的平均数为29.2,则这10个数据的中位数是A.27 B.28 C.28.5 D.29【答案】C【解析】本题考查茎叶图、中位数、平均数等统计知识,考查考生对基础知识的掌握情况和基本的计算能力.由题意,得=29.2,解得x=8,则这10个数据的中位数是=28.5.

4．若不等式组表示的平面区域的面积为2,则实数a的值为A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域和三角形的面积公式,意在考查考生的作图与用图能力、运算求解能力.作出可行域是解题的关键.作出如图中阴影部分所示的可行域,得面积S=a2-(a-1)2=2,解得a=.

5．已知数列{}是公差为2的等差数列,且a1=-8,则数列{an}的前n项和Sn取最小值时n的值为A.4 B.5 C.3或4 D.4或5【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和,考查考生的运算能力.根据题意,=a1+2(n-1)=2n-10,∴an=n(2n-10).由an=n(2n-10)>0得,n>5,∴当n<5时,an<0,当n=5时,an=0,当n>5时,an>0,∴当n=4或5时,Sn最小.

6．已知函数f(x)=+x,其中a为大于零的常数,若f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为2,则f(x)在[4,6]上的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的最值、利用导数研究函数的单调性等知识,考查考生的运算求解能力.求函数f(x)的最值问题,可以考虑利用基本不等式或导数求解.解法一根据基本不等式,在区间(0,+∞)上,有f(x)=+x≥2,当且仅当=x,即x=时等号成立,故f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为2=2,解得a=1,所以f(x)=+x.因为f(x)=+x在[4,6]上为增函数,故f(x)max=f(6)=.解法二由题意可得,f'(x)=,当x>0时,令f'(x)>0得x>,故f(x)在(0,+∞)上的单调递减区间和递增区间分别为(0,),(,+∞),故f(x)min=f()=2=2,所以a=1.又f(x)=+x在[4,6]上为增函数,故f(x)max=f(6)=.

7．在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆C:(x-2)2+y2=5上的任意一点,点Q(2a,a+2),其中a∈R,则线段PQ长度的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】设点Q(x,y),则x=2a,y=a+2,∴x-2y+4=0,∴点Q在直线x-2y+4=0上.由于圆心(2,0)到直线x-2y+4=0的距离为d=,所以PQ长度的最小值为d--,故选A.

8．若O为平面内任意一点,=(-2,2t),=(t,1),=(5,-1),且A,B,C三点不能构成三角形,则实数t的值为A. B.3 C.或3 D.或3【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算、向量共线等知识,考查考生的运算求解能力和对基础知识的掌握情况.A,B,C三点不能构成三角形,即A,B,C在同一条直线上,故可以应用向量共线求解.-=(t+2,1-2t),-=(5-t,-2).∵A,B,C三点不能构成三角形,故A,B,C在同一条直线上,∴∥,即=λ.∴,解得t=或3.

9．已知函数f(x)=2cos(πx)·cos2-sin(πx)·sinφ-cos(πx)(0<φ<)的部分图象如图所示,则图中的x0的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质,考查考生的运算求解能力.解题时,先根据三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,然后结合函数的图象求得x0的值.f(x)=2cos(πx)·cos2-sin(πx)·sinφ-cos(πx)=cos(πx)·(2cos2-1)-sin(πx)·sinφ=cos(πx)·cosφ-sin(πx)·sinφ=cos(πx+φ).由题图可知,cosφ=,又0<φ<,∴φ=,又cos(πx0+)=,∴πx0+,∴x0=.

10．运行如图所示的程序框图,则输出的S为A.1008 B.2016 C.1007 D.-1007【答案】A【解析】本题主要考查程序框图.解题时,先根据程序框图计算,然后从中找出规律即可,需注意循环结束的条件.k=1,S=0;k<2016,S=0+(-1)0×1=1,k=1+1=2;k<2016,S=1+(-1)1×2=-1,k=2+1=3;k<2016,S=-1+(-1)2×3=2,k=3+1=4;k<2016,S=2+(-1)3×4=-2,k=4+1=5;k<2016,S=-2+(-1)4×5=3,k=5+1=6;k<2016,S=3+(-1)5×6=-3,k=6+1=7;……;当k=2015时,k<2016,S=-1007+(-1)2014×2015=1008,k=2015+1=2016.故输出的S为1008.

11．已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球面上,SA是球的直径,AC⊥AB,BC=SB=SC=2,则该球的表面积为A.4π B.6π C.9π D.12π【答案】B【解析】本题主要考查球的表面积、勾股定理等,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.由题意知,AC⊥SC,AB⊥SB,又BC=SB=SC=2,所以Rt△SAC≌Rt△SAB,则AC=AB.又AC⊥AB,所以AC=AB=,SA=,则球的半径R=,球的表面积为4πR2=6π.

12．已知函数f(x)=,且f(a2)=.若当0<x1<x2<1时,f(x1)=f(x2),则x1·f(x2)的取值范围为A.(,] B.(,1] C.[,) D.[,1)【答案】B【解析】本题以分段函数为切入点,主要考查函数的单调性、二次函数的值域等知识,考查考生的转化与化归意识、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.x1·f(x2)=x1·f(x1)=x1(6x1+1)=6+x1,从而将问题转化为二次函数求值域,确定变量的取值范围是解决本题的关键.因为0<a<1,所以0<a2<a,故f(a2)=12a3+1=,解得a=.所以f(x)=.当0<x<时,f(x)=6x+1单调递增,且1<f(x)<4,当≤x<1时,f(x)=x+2单调递减,且2<f(x)≤3.因为当0<x1<x2<1时,f(x1)=f(x2),所以0<x1<≤x2<1.令f(x1)=2,得x1=,令f(x1)=3,得x1=,所以<x1≤.又x1·f(x2)=x1·f(x1)=x1(6x1+1)=6+x1,所以x1·f(x2)在(,]上单调递增,故x1·f(x2)的取值范围为(,1].二、填空题：共4题13．设n为正整数,经计算得:f(2)>,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,由此可推出第n个式子为.

【答案】f(2n)>【解析】本题主要考查归纳推理,根据前几个不等式找出规律,得到一般性的结论.本题中,不等式的左边自变量的取值都是2的乘方,右边的分母统一为2,分子逐渐递增.f(2)>,f(4)=f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,由此推出f(2n)>.

14．如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积为.

【答案】2(π+)【解析】本题考查三视图和几何体表面积的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.由三视图可得该几何体为两个半圆锥的对接图形,且对接的是底面,由题意知,圆锥的底面圆的半径为1,母线长为2,所以该几何体的表面积为×π×2×2+2××2×=2(π+).

15．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成递减的等差数列.若A=2C,则的值为.

【答案】【解析】本题主要考查等差数列、正弦定理、余弦定理等知识,考查考生的运算求解能力.解题思路是依据题意得出a,b,c之间的关系,再结合正弦定理、余弦定理及A=2C,得出a,c之间的关系.依题意得b=,=2cosC=2×,即,a2=c[2(a-c)+],即(2a-3c)(a-c)=0,其中a>c,因此有2a=3c,.

16．已知双曲线C:x2-=1,直线y=-2x+m与双曲线C的右支交于A,B两点(A在B的上方),且与y轴交于点M,则的取值范围为.

【答案】(1,7+4)【解析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系,涉及二次函数的相关知识,对考生的运算求解能力要求较高.由可得x2-4mx+m2+3=0,由题意得方程在[1,+∞)上有两个不相等的实根,设f(x)=x2-4mx+m2+3,则

,得m>1,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),得x1=2m-,x2=2m+,所以=-1+,由m>1得,的取值范围为(1,7+4).

三、解答题：共8题17．已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足:a1=2,an≠1且(an-an+1)g(an)=f(an)(n∈N*).(1)证明:数列{an-1}是等比数列;(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1)由(an-an+1)g(an)=f(an)(n∈N*)得,4(an-an+1)(an-1)=(n∈N*).由题意an≠1,所以4(an-an+1)=an-1(n∈N*),即3(an-1)=4(an+1-1)(n∈N*),所以.又a1=2,所以a1-1=1,所以数列{an-1}是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)得an-1=()n-1,bn=

.则Tn=+++…++,①Tn=+++…++,②-②得,Tn=+++…+-=1+-=2--=2-.所以Tn=3-.【解析】本题主要考查等比数列的概念、通项公式以及错位相减法求和,考查考生的运算求解能力和推理论证能力.(1)根据等比数列的定义证明数列{an-1}为等比数列;(2)由(1)得到an,再利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn.【备注】高考对于数列问题的考查一般是等差数列、等比数列两个特殊数列的定义、通项公式、前n项和公式,利用裂项相消法、错位相减法等求和,有时也与函数、导数、不等式等知识综合考查.

18．如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC,△ABC分别是以A,B为直角顶点的等腰直角三角形,AB=1.(1)现给出三个条件:①PB=,②PB⊥BC,③平面PAB⊥平面ABC,试从中任意选取一个作为已知条件,并证明PA⊥平面ABC;(2)在(1)的条件下,求三棱锥P-ABC的体积.【答案】解法一选取条件①.(1)在等腰直角三角形ABC中,∵AB=1,∴BC=1,AC=.又PA=AC,∴PA=.在△PAB中,AB=1,PA=,PB=,∴AB2+PA2=PB2,∴∠PAB=90°,即PA⊥AB,又PA⊥AC,AB∩AC=A,∴PA⊥平面ABC.(2)由(1)可知PA⊥平面ABC.∴V三棱锥P-ABC=PA·S△ABC=×12=.解法二选取条件②.(1)∵PB⊥BC,又AB⊥BC,且PB∩AB=B,∴BC⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB,∴BC⊥PA,又PA⊥AC,BC∩AC=C,∴PA⊥平面ABC.(2)由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB=BC=1,AB⊥BC,∴AC=PA=.∴V三棱锥P-ABC=AB×BC×PA=×1×1×.解法三选取条件③.(1)∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC⊂平面ABC,BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB,∴BC⊥PA,又PA⊥AC,BC∩AC=C,∴PA⊥平面ABC.(2)由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB=BC=1,AB⊥BC,∴AC=PA=.∴V三棱锥P-ABC=AB×BC×PA=×1×1×.【解析】本题主要考查直线与平面垂直的证明、立体几何的体积公式等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力,考查化归与转化思想.【备注】立体几何是高考考查的重点内容,近年的高考试题常以棱柱或棱锥为载体来考查线面平行与垂直关系的证明,以及求距离、面积、体积.对空间想象能力,尤其是认识图、理解图、运用图的能力应长期坚持培养,做题时要多画、多看、多想,在训练中,应变换图形的位置角度,克服思维定势,真正树立空间观念.

19．为了吸引更多的优秀学子,全国“985”重点大学每年都会开展“夏令营活动”,据悉北京大学、复旦大学两所高校共接收1000名学生,分三个批次开展“夏令营活动”,每名学生只能参加其中一校“夏令营活动”的某一个批次,时间先后安排在暑假、国庆节、寒假期间,参加两校“夏令营活动”的学生人数如表所示:已知在参加两校“夏令营活动”的1000名学生中随机抽取1人,第二批次参加北京大学“夏令营活动”的频率是0.21.(1)现按批次用分层抽样的方法在所有学生中抽取50人,求应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数;(2)已知135≤y≤150,求第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加北京大学“夏令营活动”的人数比参加复旦大学“夏令营活动”的人数多的概率.【答案】(1)由题意知=0.21,解得x=210,第三批次参加“夏令营活动”的人数为y+z=1000-(150+200+160+210)=280.现用分层抽样的方法在所有学生中抽取50名,应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数为×280=14.(2)第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加北京大学“夏令营活动”的人数和参加复旦大学“夏令营活动”的人数记为(y,z),由(1)知y+z=280,且y,z∈N*,则总的基本事件有(135,145),(136,144),(137,143),(138,142),(139,141),(140,140),(141,139),(142,138),(143,137),(144,136),(145,135),(146,134),(147,133),(148,132),(149,131,),(150,130),共16个.设“第三批次参加‘夏令营活动’的学生中参加北京大学‘夏令营活动’的人数比参加复旦大学“夏令营活动”的人数多”为事件A,则事件A包含的基本事件有(141,139),(142,138),(143,137),(144,136),(145,135),(146,134),(147,133),(148,132),(149,131,),(150,130),共10个,所以P(A)=.【解析】本题主要考查分层抽样及古典概型的概率求解等知识,考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.(1)先由所给的频率求得x的值,进而可得y+z的值,再由分层抽样的方法即可求解;(2)结合限制条件,列出所有的基本事件,再找出满足条件的基本事件,利用古典概型的概率计算公式即可求解.【备注】解决古典概型问题,利用列举法求基本事件时,要注意用不同的字母或数字表示不同类的元素,这样便于区分,同时要注意按照一定的顺序进行列举,一一写出基本事件,否则容易出现遗漏或重复的现象.

20．已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过准线l与x轴的交点E,且斜率为k的直线m交抛物线于A,B两点.(1)若|AF|+|BF|=4,试求直线m的方程;(2)若|AF|=λ|BF|(λ>1),证明:k2=.【答案】由题意可得,F(1,0),l:x=-1,所以E(-1,0).由题意得直线m:y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消元化简得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由根与系数的关系得x1+x2=--2,x1x2=1.(1)因为|AF|+|BF|=4,且|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AF|+|BF|=4=x1+x2+2=.所以k2=1,解得k=±1.所以m:x+y+1=0或x-y+1=0.(2)因为|AF|=λ|BF|(λ>1),所以有x1>x2,且x1+1=λ(x2+1),即x1-λx2=λ-1.由x1x2=1可得λ+(λ-1)x2-1=0,解得x2=.因为x2>0,λ>1,所以x2=,所以x1=λ,所以x1+x2=λ+-2,解得k2=.【解析】本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系.(1)利用直线与抛物线相交,联立方程,结合根与系数的关系和抛物线的定义求得直线的方程;(2)将直线与抛物线的方程联立,建立方程组,消元,利用根与系数的关系,计算得到x1,x2,然后求解证明.【备注】近几年的高考题中,重点考查圆锥曲线的方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等.一般地,第(1)问是求圆锥曲线方程,属于送分题;第(2)问考查数学思想方法,通常在数形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次方程根与系数的关系是解决问题的常用工具.

21．设函数f(x)=ex-ax+a-e(a∈R),其中e是自然对数的底数.(1)若f(x)在R上为单调函数,求实数a的取值范围;(2)若a>0,求证:f(x)有唯一零点的充要条件是a=e.【答案】(1)f'(x)=ex-a.当a>0时,由f'(x)=0得x=lna.当x>lna时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数;当x<lna时,f'(x)<0,f(x)为单调递减函数.所以f(x)在R上不为单调函数.当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在R上为单调递增函数.所以实数a的取值范围是a≤0.(2)充分性:当a=e时,f(x)=ex-ex,f'(x)=ex-e.令f'(x)=0得x=1.当x>1时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数,所以f(x)>f(1)=0;当x<1时,f'(x)<0,f(x)为单调递减函数,所以f(x)>f(1)=0.所以函数f(x)有唯一零点x=1.必要性:设函数f(x)有唯一零点x0,因为f(1)=0,所以x0=1.因为a>0,由(1)知,当且仅当x=lna时,f(x)取得最小值f(lna)=2a-alna-e.记g(a)=2a-alna-e,所以g'(a)=1-lna,令g'(a)=0得a=e.当a>e时,g'(a)<0,g(a)为单调递减函数,g(a)<g(e)=0,即f(lna)<0,因为a>lna>1,且f(a)=ea-a2+a-e>0,所以f(x)在(lna,a)内有零点,与题意相矛盾.当0<a<e时,同理有f(lna)<0.因为lna<1,存在-<lna,有f(-)=-a·(-)+a-e=a+>0,所以f(x)在(-,lna)内有零点,与题意相矛盾.故a=e,综上,f(x)有唯一零点的充要条件是a=e.【解析】本题考查导数的运算、导数符号与函数单调性之间的关系、函数的极值与最值及函数的零点,考查考生的运算能力、综合运用知识分析和解决问题的能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等.(1)直接利用导数研究函数的单调性即可;(2)分充分性与必要性两方面进行证明.【备注】高考对于函数与导数部分往往综合考查曲线的切线,函数的单调性、极值、最值等,通过求导判断出函数的单调性,特别是含有参数的函数的单调性的讨论比较复杂,分类标准要把握准确,既要注意符号,又要注意各函数零点的大小判断,以及极大值、极小值的确定.对于不等式的证明问题,往往要转化为函数的最值问题解答,而对于方程的解的个数的讨论,则需要通过单调性和极值进行讨论.

22．如图,圆O的两条弦AB、CD交于点E,EF∥CB,EF交AD的延长线于点F,FG切圆O于点G.(1)求证:△DFE∽△EFA;(2)若EF=1,求FG的长.【答案】(1)∵EF∥CB,∴∠DEF=∠DCB,又∠DAB=∠DCB,∴∠DEF=∠DAB.又∠DFE=∠EFA,∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知△DFE∽△EFA,∴,∴EF2=FA·FD.又FG切圆O于点G,∴GF2=FA·FD.∴EF2=FG2,∴EF=FG.又EF=1,∴FG=1.【解析】本题主要考查相似三角形的判定、直线与圆的位置关系等知识,考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力.【备注】几何证明选讲主要是进一步认识相似三角形和圆,主要内容是射影定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及圆内接四边形的性质,要求能通过相关的性质和定理证明一些反映圆与直线关系的题目.常用的解题策略有:由相等关系找特殊点或特殊形(如中点、等腰三角形),由乘积关系找圆的相关定理,由比例关系找相似三角形,