第二章 多自由度系统的运动微分方程课件

基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制（此系统有一、两千个自由度（3D实体单元）

）多自由度振动系统多自由度系统的运动微分方程第二章：2.用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程3.用影响系数法建立系统的运动微分方程第一讲：第二章:多自由度系统的运动微分方程建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述1.多自由度系统运动微分方程的一般形式建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述

回想单自由度系统运动微分方程的一般形式

多自由度系统运动微分方程的一般形式质量矩阵位移向量阻尼矩阵刚度矩阵激振力向量多自由度系统运动微分方程的一般形式建立方法Hamilton原理：主要适用于连续系统建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述2.系统运动微分方程的建立方法牛顿第二定律:适用于自由度不多的离散系统或简单的连续系统动量矩定理:

主要适用于自由度不多的离散系统影响系数法：主要适用于自由度不多的离散系统Lagrange方程法：主要适用于离散系统有限单元法：离散系统，连续系统都适用，是一种最通用的建模方法返回用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程1.直角坐标形式的牛顿第二定律

列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。

加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要用或或表示就可以了。2.用牛顿第二定律列写运动微分方程用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.根据牛顿第二定律，得到系统的运动方程：返回用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程1.总体思路用影响系数法建立系统的运动微分方程影响系数法柔度影响系数刚度影响系数阻尼影响系数质量影响系数刚度影响系数

：第个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，需要在第自由度处沿着位移方向施加的力。用影响系数法建立系统的运动微分方程2.刚度影响系数解：令【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。用影响系数法建立系统的运动微分方程令刚度矩阵：用影响系数法建立系统的运动微分方程柔度矩阵柔度影响系数

：第个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，在第自由度上产生的位移。用影响系数法建立系统的运动微分方程3.柔度影响系数【例】用影响系数法写出图示系统的柔度矩阵。用影响系数法建立系统的运动微分方程柔度矩阵：用影响系数法建立系统的运动微分方程4.阻尼影响系数阻尼影响系数

：第个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零时，需要在第自由度处施加的力。质量影响系数

：第个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度为零时，需要在第自由度处施加的力。用影响系数法建立系统的运动微分方程5.质量影响系数

此系统用刚度法方便还是柔度法方便？奇异（秩亏损）用影响系数法建立系统的运动微分方程6.思考

能否对此系统实施柔度法？刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约束的数目，求解比较繁。柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所以刚度法的应用范围比柔度法要大。用影响系数法建立系统的运动微分方程7.小结【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程STOP1.多自由度系统运动微分方程的一般形式上次课内容回顾2.用牛顿第二定律列写运动微分方程受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.刚度影响系数

：第个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，需要在第自由度处沿着位移方向施加的力。3.刚度影响系数上次课内容回顾柔度影响系数

：第个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，在第自由度上产生的位移。4.柔度影响系数5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系6.刚度法和柔度法的优缺点上次课内容回顾刚度法：优点：当系统具有刚体运动自由度时，刚度法仍可应用，因此适用范围广；缺点：刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约束的数目，求解比较繁；柔度法：优点：柔度法维持原系统的约束，实施比较方便；缺点：如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效；第二讲：Lagrange方程的产生背景2.利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程3.课堂练习第二章:多自由度系统的运动微分方程Lagrange方程的产生背景1.牛顿力学方程的缺陷隔离体1的受力分析隔离体2的受力分析隔离体3的受力分析刚体平面运动微分方程：（见《理论力学》，范钦珊主编）Lagrange方程的产生背景隔离体3的受力分析Lagrange方程的产生背景Lagrange方程的产生背景隔离体的受力分析将未知约束力引入到动力学方程中导致动力学方程中未知变量急剧增加Lagrange方程的产生背景法国科学家Lagrange（1736-1813）

返回Lagrange方程的产生背景2.Lagrange方程的产生背景18世纪机器工业的发展迫切需要对受约束的机械系统进行动力学分析1788年，在《分析力学》中对力学提出了全新的叙述方式——Lagrange力学Lagrange方程避开了处理系统内部的约束反力Lagrange方程的产生背景利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程约束方程不包含质点的速度，或者包含质点的速度，但约束方程是可以积分的约束称为完整约束。约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为非完整约束。唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为广义坐标。

完整约束（《理论力学》范钦珊主编）

广义坐标（《理论力学》范钦珊主编）

系统不存在粘性阻尼时动能广义坐标势能广义坐标对应的非保守主动力

系统存在粘性阻尼时耗散函数1.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程2.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤①

判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;②

以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；3.用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点

不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力,是建立复杂离散系统运动微分方程的首选方法；⑤将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.③

对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；

即可用于线性系统，也可用于非线性系统。利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程4.【例题】试求图示双摆系统的运动方程。解：选取和为广义坐标取轴为重力势能零点，则系统的势能为系统的动能为利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程动能和势能的表达式方程是非线性的，在微振动假设下此方程可进一步简化利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程

由微振动假设,系统各个广义坐标和广义速度都可以看作是一阶小量,从而导出的微幅振动方程也将精确到一阶小量.

利用拉格朗日方程求系统的运动微分方程时，系统的能量要对广义坐标求一阶导数，求导后精度将降低一阶，所以在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。方同著《振动理论及应用》利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程5.微振动假设下的注意事项6.思考

在微振动假设下,在用Lagrange方程列写系统的运动微分方程时有两种处理方式：①在计算动能和势能时就将其精确到二阶小量，然后代入Lagrange

方程；②在计算动能和势能时不做任何处理，代入Lagrange方程后最后再化简（线性化）；问：哪一种方式简便？为什么？利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程7.【例题】在微振动假设下，试求图示双摆系统的运动方程。系统的势能为系统的动能为利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程对于离散系统,耗散函数的计算类似于系统弹性势能的计算,只不过需要将弹性势能的计算中的刚度系数换成阻尼系数,广义位移换成广义速度耗散函数:势能:利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程8.耗散函数的计算耗散函数：试列出如下系统的耗散函数：弹性势能：利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程返回【例1】

建立图示系统的运动方程解:

取为广义坐标，则该系统的动、势能分别为：课堂练习非保守外力在虚位移上所做虚功之和课堂练习【例2】

建立图示系统的运动方程取小车的绝对位移